完整版初一年级数学经典例题.docx
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完整版初一年级数学经典例题
数学天地：
初一年级数学核心题目赏析
有理数及其运算篇
【核心提示】有理数部分概念较多，其中核心知识点是数轴、相反数、绝对值、乘方.通过数轴要尝试使用“数形结合思想”解决问题，把抽象问题简单化.相反
数看似简单，但互为相反数的两个数相加等于0这个性质有时总忘记用..绝对值是中学数学中的难点，它贯穿于初中三年，每年都有不同的难点，我们要从七年级把绝对值学好，理解它的几何意义.乘方的法则我们不仅要会正向用，也要会逆向用，难点往往出现在逆用法则方面.
1
20062007
【核心例题】
例1计算：
11
122334
2
不就变得简单了吗？
由此想到拆项，如第一项可拆
分析此题共有2006项，通分是太麻烦.有这么多项，我们要有一种“抵消”思想，如能把一些项抵消了，
会迎刃而解.
例3计算：
11010
分析本题看似复杂，其实是纸老虎，只要你敢计算，马上就会发现其中的技巧，问题会变得很简便.
999897211
解原式==
100999832100
例4计算：
2-22-23-24-⋯⋯-218-219+220.
分析本题把每一项都算出来再相加，显然太麻烦.怎么让它们“相互抵消”呢？
我们可先从最简单的情况考虑.2-22+23=2+22（-1+2）=2+22=6.再考虑2-22-23+24=2-22+23（-1+2）=2-22+23=2+22（-1+2）=2+22=6.这怎么又等于6了呢？
是否可以把这种方法应用到原题呢？
显然是可以的.
解原式=2-22-23-24-⋯⋯-218+219（-1+2）
=2-22-23-24-⋯⋯-218+219=2-22-23-24-⋯⋯-217+218（-1+2）=2-22-23-24-⋯⋯-217+218
23
=2-22+23=6
1、已
核心练习】
知│ab-2│与│b-1│互为相反数，试求：
参考答案】
字母表示数篇
核心提示】
用字母表示数部分核心知识是求代数式的值和找规律.求代数式的值时，单纯代入一个数求值是很简单的.如果条件给的是方程，我们可把要求的式子适当
变形，采用整体代入法或特殊值法
典型例题】
例1已知：
3x-6y-5=0,则2x-4y+6=
分析对于这类问题我们通常用“整体代入法”，先把条件化成最简，然后把要求的代数式化成能代入的形式，代入就行了.这类问题还有一个更简便的方法，可以用“特殊值法”，取y=0,由3x-6y-5=0，可得x5,把x、y的值代入3
2x-4y+6可得答案28.这种方法只对填空和选择题可用，解答题用这种方法是不
3
合适的.
5
解由3x-6y-5=0，得x2y
3
所以2x-4y+6=2（x-2y）+6=256=28
33
例2已知代数式xnx（n1）1，其中n为正整数，当x=1时，代数式的值是，当x=-1时，代数式的值是.
分析当x=1时，可直接代入得到答案.但当x=-1时，n和（n-1）奇偶性怎么确定呢？
因n和（n-1）是连续自然数，所以两数必一奇一偶.
解当x=1时，
当x=-1时，
22
例3152=225=100×1（1+1）+25，252=625=100×2（2+1）+2522
352=1225=100×3（3+1）+25，452=2025=100×4（4+1）+25⋯⋯22
752=5625=，852=7225=
（1）找规律，把横线填完整；
（2）请用字母表示规律;
（3）请计算20052的值.
分析这类式子如横着不好找规律，可竖着找，规律会一目了然.100是不变的，加25是不变的，括号里的加1是不变的，只有括号内的加数和括号外的因数随着平方数的十位数在变.
解
（1）752=100×7（7+1）+25，852=100×8（8+1）+25
2
（2）（10n+5）2=100×n（n+1）+25
2
（3）20052=100×200（200+1）+25=4020025
例4如图①是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图②，再
分析当n=4时，我们可以继续画图得到三角形的个数.怎么找规律呢？
单纯从结果有时我们很难看出规律，要学会从变化过程找规律.如本题，可用列表法来找，规律会马上显现出来的.
解
（1）S=13
（2）可列表找规律：
n
1
2
3
⋯
n
S
1
5
9
⋯
4（n-1）+1
S的变化过程
1
1+4=5
1+4+4=9
⋯
1+4+4+⋯+4=4（n-1）+1
所以S=4（n-1）+1.（当然也可写成4n-3.）
【核心练习】
1、观察下面一列数，探究其中的规律：
—1，1，1，1，1，1
—1，2，3，4，5，6
①填空：
第11，12，13三个数分别是，，；
②第2008个数是什么？
③如果这列数无限排列下去，与哪个数越来越近？
.
2、观察下列各式:
1+1×3=22,1+2×4=32,1+3×5=42,⋯⋯请将你找出的规律用公式表示出来:
参考答案】
11
1;②1;③0
1312008
2
11
1、①，
11122、1+n×（n+2）=（n+1）
平面图形及其位置关系篇
【核心提示】
平面图形是简单的几何问题.几何问题学起来很简单，但有时不好表述，也就是写不好过程.所以这部分的核心知识是写求线段、线段交点或求角的过程.每个人写的可能都不一样，但只要表述清楚了就可以了，不过在写清楚的情况下要尽量简便.
典型例题】
个，最多为
例1平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为个.
分析6条直线两两相交交点个数最少是1个，最多怎么求呢？
我们可让直线由少到多一步步找规律.列出表格会更清楚.
解找交点最多的规律：
直线条数
2
3
4
⋯
n
交点个数
1
3
6
⋯
n（n1）
2
交点个数变化过程
1
1+2=3
1+2+3=6
⋯
1+2+3+⋯+（n-1）
图形
图1
图2
图3
⋯
例2两条平行直线m、n上各有4个点和5个点，任选9点中的两个连条直线，则一共可以连（）条直线.
分析与解让直线m上的4个点和直线n上的5个点分别连可确定20条直线，再加上直线m上的4个点和直线n上的5个点各确定的一条直线，共22条
直线.故选D.
例3如图，OM是∠AOB的平分线.射线OC在∠BOM内，ON是∠BOC的平分线，已知∠AOC=8°0，那么∠MON的大小等于
（2）当OC在∠AOB内绕O点旋转时，OD、OE仍是∠BOC和∠AOC的平分线，问此时∠DOE的大小是否和
（1）中的答案相同，通过此过程你能总结出怎样的结论.
分析此题看起来较复杂，OC还要在∠AOB内绕O点旋转，是一个动态问题.当你求出第
（1）小题时，会发现∠DOE是∠AOB的一半，也就是说要求的∠DOE，和OC在∠AOB内的位置无关.
解
（1）因为OC是∠AOB的平分线，OD、OE分别平分∠BOC和∠AOC.11
所以∠DOC=∠BOC，∠COE=∠COA
22
1111
所以∠DOE∠=DOC∠+COE=1∠BOC+1∠COA=1（∠BOC∠+COA）=1∠AOB
2222
因为∠AOB=6°0
11
所以∠DOE=∠AOB=×60°=30°
22
1
（2）由
（1）知∠DOE=1∠AOB，和OC在∠AOB内的位置无关.故此时∠DOE的大小和
（1）中的答案相同.
【核心练习】
1、A、B、C、D、E、F是圆周上的六个点，连接其中任意两点可得到一条线段，这样的线段共可连出条.
2、在1小时与2小时之间，时钟的时针与分针成直角的时刻是1时分.
【参考答案】
96
1、15条2、219分或546分.
1111
一元一次方程篇
【核心提示】
一元一次方程的核心问题是解方程和列方程解应用题。
解含分母的方程时要找出分母的最小公倍数，去掉分母，一定要添上括号，这样不容易出错.解含参
数方程或绝对值方程时，要学会代入和分类讨论。
列方程解应用题，主要是列方程，要注意列出的方程必须能解、易解，也就是列方程时要选取合适的等量关系。
【典型例题】
例1已知方程2x+3=2a与2x+a=2的解相同，求a的值.
分析因为两方程的解相同，可以先解出其中一个，把这个方程的解代入另一个方程，即可求解.认真观察可知，本题不需求出x，可把2x整体代入.
解由2x+3=2a，得2x=2a-3.
把2x=2a-3代入2x+a=2得
2a-3+a=2，
3a=5,
所以a5
3
分析这是一个非常好的题目，包括了去分母容易错的地方，去括号忘变号的情况.
解两边同时乘以6，得
6x-3（x-1）=12-2（x+1）
去分母，得
6x-3x+3=12-2x-2
6x-3x+2x=12-2-3
5x=7
7x=
5
例3某商场经销一种商品，由于进货时价格比原进价降低了6.4%，使得利润增加了8个百分点，求经销这种商品原来的利润率.
分析这类问题我们应首先搞清楚利润率、销售价、进价之间的关系，因销售价=进价×（1+利润率），故还需设出进价，利用销售价不变，辅助设元建立方程.
解：
设原进价为x元，销售价为y元，那么按原进价销售的利润率为
93.6%x
yx100%+8%=y93.6%x100%
解得y=1.17x
故这种商品原来的利润率为1.17xx100%=17%.
x
例4解方程│x-1│+│x-5│=4
分析对于含一个绝对值的方程我们可分两种情况讨论，而对于含两个绝对值的方程，道理是一样的.我们可先找出两个绝对值的“零点”，再把“零点”放中数轴上对x进行讨论.
解：
由题意可知，当│x-1│=0时，x=1；当│x-5│=0时，x=5.1和5两个“零点”把x轴分成三部分，可分别讨论：
1）当x<1时，原方程可化为–（x-1）-（x-5）=4，解得x=1.因x<1，所以x=1应舍去.
2）当1≤x≤5时，原方程可化为（x-1）-（x-5）=4，解得4=4，所以x在1≤x≤5范围内可任意取值.
3）当x>5时，原方程可化为（x-1）+（x-5）=4，解得x=5.因x>5，故应舍去.所以，1≤x≤5是比不过的。
【核心练习】
1、已知关于x的方程3[x-2（x-a）]=4x和3xa15x1有相同的解，那么这
3128
个解是.（提示：
本题可看作例1的升级版）
2、某人以4千米/小时的速度步行由甲地到乙地，然后又以6千米/小时的速度从乙地返回
甲地，那么某人往返一次的平均速度是千米/小时.
【参考答案】
1、272、4.8
28
生活中的数据篇
【核心提示】生活中的数据问题，我们要分清三种统计图的特点，条形图表示数量多少，折线图表示变化趋势，扁形图表示所占百分比.学会观察，学会思考，这类问题相对是比较简单的.
【典型例题】
例1下面是两支篮球队在上一届省运动会上的4场对抗赛的比赛结果：
（单位：
分）
研究一下可以用哪些统计图来分析比较这两支球队，并回答下列问题：
（1）你是怎样设计统计图的？
（2）你是怎样评价这两支球队的？
和同学们交流一下自己的想法.
分析选择什么样的统计图应根据数据的特点和要达到的目的来决定.本题可以用复式条形统计图，达到直观、有效地目的
解用复式条形统计图：
（如下图）
（1）三幅统计图分别表示了什么内容？
（2）从哪幅统计图你能看出世界人口的变化情况？
（3）2050年非洲人口大约将达到多少亿？
你是从哪幅统计图中得到这个数据的？
（4）2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多，你从哪幅统计图中可以明显地得到这个结论？
分析这类问题可根据三种统计图的特点来解答.
解
（1）折线统计图表示世界人囗的变化趋势，条形统计图表示各洲人囗的多少，扇形统计图表示各洲占世界人囗的百分比.
（2）折线统计图
（3）80亿，折线统计图
（4）扇形统计图
核心练习】
1、如下图为第27届奥运会金牌扇形统计图，根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）哪国金牌数最多？
（2）中国可排第几位？
3）
如果你是中国队的总教练，将会以谁为下一次奥运会的追赶目标？
参考答案】
1、
（1）美国
（2）第3位（3）俄罗斯.
平行线与相交线篇
【核心提示】
平行线与相交线核心知识是平行线的性质与判定.单独使用性质或判定的题目较简单，当交替使用时就不太好把握了，有时不易分清何时用性质，何时用判定.我们只要记住因为是条件，所以得到的是结论，再对照性质定理和判定定理就容易分清了.
这部分另一核心知识是写证明过程.有时我们认为会做了，但如何写出来呢？
往往不知道先写什么，后写什么.写过程是为了说清楚一件事，是为了让别人能看懂，我们带着这种目的去写就能把过程写好了.
【典型例题】
例1平面上有5个点，其中仅有3点在同一直线上，过每2点作一条直线，一共可以作直线（）条.
A．7B．6C．9D．8
分析与解这样的5个点我们可以画出来，直接查就可得到直线的条数.也可
以设只有A、B、C三点在一条直线上，D、E两点分别和A、B、C各确定3条直线共6条，A、B、C三点确定一条直线，D、E两点确定一条直线，这样5个点共确定8条直线.故选D.
例2已知∠BED=6°0,∠B=40°,∠D=20°,求证：
AB∥CD.分析要证明两条直线平行，可考虑使用哪种判定方法得到平行？
已知三个角的度数，但这三个角并不是同位角或内错角.因此可以考虑作辅助线让他们建立联系.延长BE可用内错角证明
平行.过点E作AB的平行线，可证明FG与CD也平行，由此得到AB∥CD.连接BD，利用同旁内角互补也可证明.
解延长BE交CD于O，
∵∠BED=60°,∠D=20°，
∴∠BOD∠=BED-∠D=60°-20°=40°,
∵∠B=40°，
∴∠BOD∠=B，∴AB∥CD.
其他方法，可自己试试！
例3如图，在△ABC中，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，AC∥ED，CE是∠ACB的平分线，求证：
∠EDF=∠BDF.
分析由CE、DF同垂直于AB可得CE∥DF，又知AC∥ED，利用内错角和同位角相等可得到结论.
解∵CE⊥AB，DF⊥AB，
∴CE∥DF
∴∠EDF=∠DEC，∠BDF=∠DCE，
∵AC∥ED，
∴∠DEC=∠ACE，
∴∠EDF=∠ACE.
∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠DCE=∠ACE，
∴∠EDF=∠BDF.
例4如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB与∠CBA的平分线相交于O点，求∠AOB的度数.
分析已知∠C=90°，由此可知∠CAB与∠CBA的和为
90°，由角平分线性质可得∠OAB与∠OBA和为45°，所以可得∠AOB的度数.解∵OA是∠CAB的平分线，OB是∠CBA的平分线，
11
∴∠OAB=∠CAB，∠OBA=∠CBA，
22
1111
∴∠OAB+∠OBA=∠CAB+∠CBA=（∠CAB+∠CBA）=（180°-∠C）=45
2222
∴∠AOB=18°0-（∠OAB+∠OBA）=135°.
1注：
其实∠AOB=18°0-（∠OAB+∠OBA）=180°-（180°-∠C）
2
1=90°+1∠C.
2
所以∠AOB的度数只和∠C的度数有关，可以作为结论记住.）
【核心练习】
1、如图，AB∥ED,α=∠A+∠E,β=∠B+∠C+∠D,求证：
α.（提示：
本题可看作例2的升级版）
2、如图，E是DF上一点，B是AC上一点，∠1=∠2，∠C=∠D，求证：
∠A=∠F.
【参考答案】
1、可延长BC或DC，也可连接BD，也可过C做平行线.
2、先证BD∥CE，再证DF∥AC.
三角形篇
【核心提示】
三角形全等的核心问题是证全等.根据全等的5种判定方法，找出对应的边和角，注意一定要对应，不然会很容易出错.如用SAS证全等，必须找出两边和其夹角对应相等.有时为了证全等，条件中不具备两个全等的三角形，我们就需要适当作辅助构造全等.
【典型例题】
例1如图，在△ABC中，AB=AC，D、E分别在BC、AC边上，且∠1=∠B，AD=DE求.证：
△ADB≌△DEC.
分析要证△ADB和△DEC全等，已具备AD=DE一对边，
由AB=AC可知∠B=∠C，还需要一对边或一对角.由条件∠1=∠B知，找角比较容易.通过外角可得到∠BDA=∠CED.
证明∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠1=∠B，
∴∠1=∠C，
∵∠BDA=∠DAC+∠C，∠CED=∠DAC+∠1
∴∠BDA=∠CED.在△ADB和△DEC中
BC
BDACED，
ADDE
∴△ADB≌△DEC（AAS）.
例2如图，AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB、∠过点E，求证：
AB=AC+BD.
分析要证AB=AC+BD有两种思路，可以把AB分成两段分别和AC、BD相等，也可以把AC、BD平移连接成一条线段，证明其与AB相等.下面给出第一种思路的过程.
证明在AB上截取AF=AC，连接EF，∵EA别平分∠CAB，
∴∠CAE=∠FAE，在△ACE和△AFE中
ACAF
CAEFAE，
AEAE
∴△ACE≌△AFE（SAS），∴∠C=∠AFE.
∵AC∥BD，
∴∠C+∠D=180°，
∵∠AFE+∠BFE=180°，∴∠BFE=∠D.
∵EB平分∠DBA,
∴∠FBE=∠DBE
在△BFE和△BDE中
FBEDBE
BFED
BEBE
∴△BFE≌△BDE（AAS）,
∴BF=BD.
∵AB=AF+BF,
∴AB=AC+BD.
例3如图，BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，点P在BD的延长线上，BP=AC，点Q在CE上，CQ=AB求.证：
（1）AP=AQ；
（2）AP⊥AQ.
分析观察AP和AQ所在的三角形，明显要证△ABP和△QCA全等.证出全等AP=AQ可直接得到，通过角之间的等量代
换可得∠ADP=90°.
证明
（1）∵BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，
∴∠AEC=∠ADB=9°0，∴∠ABP+∠BAC=∠QCA+∠CAB=90°，∴∠ABP=∠QCA在△ABP和△QCA中
BPCA
ABPQCA
CQBA
∴△ABP≌△QCA（SAS）,∴AP=AQ.
（2）由
（1）△ABP≌△QCA，∴∠P=∠QAC，
∵∠P+∠PAD=90°，
∴∠QAC∠+PAD=9°0，∴AP⊥AQ.
核心练习】
1、如图，在△ABC中，AB=BC=C，ACE=BD，则∠AFE=度.
2、如图，在△ABC中，∠BAC=90°AB=AC.D为AC中点，AE⊥BD，垂足为E.延长AE交BC于F.求证：
∠ADB=∠CDF【参考答案】
1、60
2、提示：
作∠BAC的平分线交BD于P，可先证△ABP≌△CAF，再证△APD≌△CFD.
生活中的轴对称篇
核心提示】
轴对称核心问题是轴对称性质和等腰三角形.轴对称问题我们要会画对称点和对称图形，会通过对称点找最短线路.等腰三角形的两腰相等及三线合一，好
记但更要想着用，有时往往忽略性质的应用
典型例题】
例1判断下面每组图形是否关于某条直线成轴对称
MA
分析与解根据轴对称的定义和性质，仔细观察，可知
（1）是错误的，
（2）是成轴对称的.
例2下列图形中对称轴条数最多的是（）
C.等腰三角形D.等腰梯形
G.线段H.圆I.正五角星
分析与解有一条对称轴的是C、D、F、G，有三条对称轴是E，有四条对称轴的是A，有两条对称轴的是B，有五条对称轴的是I，有无数条对称轴的是H.故选H.
例3如图，AOB是一钢架，且∠AOB=1°0，为使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管EF、FG、GH⋯⋯添加的
钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管根.E
分析由添加的钢管长度都与OE相等，可知每增加一FHB根钢管，就增加一个等腰三角形.由点到直线的所有线段中垂线段最短可知，当添加的钢管和OA或OB垂直时，就不能再添加了.
解每添加一根钢管，就形成一个外角.如添加EF形成外角∠FEA，添加FG形成外角∠GFB.可列表找规律：
添加钢管数
1
2
3
4
⋯
8
形成的外角度数
20
30
40
50
⋯
90
当形成的外角是90°时，已添加8根这样的钢管，不能再添加了.故最多能添加这样的钢管8根.
例4小明利用暑假时间去居住在山区的外公家，每天外公都带领小明去放羊，早晨从家出发，到一片草场放羊，天黑前再把羊牵到一条小河边饮水，然后再回家，如图所示，点A表示外公家，点B表示草场，直线l表示小河，请你帮助小明和他外公设计一个方案，使他们每天所走路程最短？
分析本题A（外公家）和B（草场）的距离已确定，只需找从B到l（小河）再到A的距离如何最小.因A和B在l的同侧，直接确定饮水处（C点）的位置不容易.本题可利用轴对称的性质把A点转化到河流的另一侧，设为A′，不论饮水处在什么位置，A
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