材料力学练习册答案.docx
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材料力学练习册答案
第二章轴向拉伸和压缩
2.1
求图示杆11、22、及3
解:
11截面，取右段如（a）
Fx0，得卩阳0
2截面，取右段如（b）
FX0，得FN2P
3截面，取右段如（c）
Fx0，得FN30
2.2
图示杆件截面为正方形，边长a20cm，杆长l4m，2kN/m3。
在考虑杆本身自重时，11和22截面上的轴力。
10kN，比重
解:
11截面，取右段如（a）
Fx0，得
2
Fn1la/40.08kN
2截面，取右段如（b）
Fx0，得
Fn23la2/4P10.24kN
2.3横截面为10cm2的钢杆如图所示，已知P20kN，Q
P
杆的总伸长及杆下端横截面上的正应力。
E钢200GPa。
解：
轴力图如图。
20kN
10cm
杆的总伸长:
FnI
12
EA
c200000.1门“5
29210m
200100.001
■-
20kN
10cm
10cm
Fn图
Fn20000
A1000
20MPa
杆下端横截面上的正应力:
2
1.2610cm。
试求荷载P及在P作用下杆内的最大正应力。
（E铜80GPa，E钢200GPa）。
解：
由I巳，得
EA
440.440.6、
1.26104P（926926）
20010940210680109402106
仁40cm
B铜、C
60cm
2.4两种材料组成的圆杆如图所示，已知直径d40mm，杆的总伸长
解得：
P16.7kN
杆内的最大正应力:
Fn
~A
416700
40^"
13.3MPa
2.5在作轴向压缩试验时，在试件的某处分别安装两个杆件变形仪，其放大倍数各为
nA36mm，
kA1200，kB1000，标距长为s20cm，受压后变形仪的读数增量为nB10mm，试求此材料的横向变形系数（即泊松比）。
解：
纵向应变:
nA
nBsks
36
201200
0.0015
横向应变:
2010000.0005
A
泊松比为:
2.6图示结构中AB梁的变形和重量可忽略不计，杆1
为钢质圆杆，直径
d120mm，
E1200GPa，杆2为铜质圆杆，直径d?
25mm，E2
100GPa，试问:
⑴荷载P加在何处，才能使加力后刚梁AB仍保持水平?
⑵若此时P30kN，则两杆内正应力各为多少?
解：
Fn1Px/2。
Fn2P（2
x）/2
⑴要使刚梁AB持水平，则杆
1和杆2的伸长量相等,
2（m
1.5m
解得:
-Pc
Px1.54P（2
2
20020100
0.9209m
x）14
252
2m
FN1/A4Px/2d2
4300000.9209
Fn2/A4P（2x）/2
d2
2202
4300001.0791
44MPa
25233MPa
IB
2.7横截面为圆形的钢杆受轴向拉力
100kN，若杆的相对伸长不能超过丄，应力
2000
不得超过120MPa，试求圆杆的直径。
200GPa
解：
由强度条件「得
4P4100000
[]，120106
32.6mm
由刚度条件JJA得
dJ4100000200035.7mm.
\\E\200109
则圆杆的直径d36mm
2.8由两种材料组成的变截面杆如图所示。
和Abc10cm2。
若Q2P，钢的许用应力[试求其许用荷载[P]。
解：
由钢的强度条件p[]得
a
RA,[],1000120120kN
由铜的强度条件竺[]得
a
P2A2[]2/22000160/2160kN
AB、BC的横截面面积分别为Aab20cm
]1160MPa，铜的许用应力[]2120MPa，
故许用荷载[P]120kN
2.9结构如图所示，水平梁CD的刚度很大，可忽略其变形，AB为一钢杆
（E钢200GPa），直径d3cm，a1m，试问：
⑴若在AB杆上装有杠杆变形仪，加力后其读数增量为14.3格（每格代表丄mm），1000
杠杆仪标距s2cm，试问P为多少？
⑵若AB杆材料的许用应力[]160MPa，试求结构的许用荷载P及此时D点的位
移。
解：
⑴AB杆的内力为：
Fn2P
AB杆的应变为：
14.3
7.15
104
100020
则PEA/2
200
3024
7.151050.5kN
42
PA[]/2
302
42
16056.55kN
AB杆的应变为:
AB杆的变形为:
D点的位移为：
-8
104
E
l8
104m
3.1图示圆轴的直径d100mm,
⑴试作轴的扭矩图;
⑵求轴的最大切应力;
⑶求C截面对A截面的相对扭转角
解：
⑴扭矩图如图。
⑵轴的最大切应力
TBC
max
Wn
第三章
50cm
AC0
165000
103
扭转
M17kN
25.5MPa
m,M25kNm,G82GPa,
M2—rfkC
⑶C截面对A截面的相对扭转角ac
II
S>1
T图
色丨
上imJ
2kNm
5kNm
TabITbcI（25）10005032
AC
GIpGIp
82000
104
1.86
103rad
3.2已知变截面圆轴上的M118kNm
M212kNmo
试求轴的最大切应力和最大相对
扭转角。
80GPa
解:
BC
TBC
W
1612000488.9MPa
53
AB
Wn
也嚳362.2MPa
7.53
f
7,
L
5]M
1〔50M
=*-
-一卜-i
0.75m
r0.5mi
2
max
BC
BC
TBC
GIp
488.9MPa
321200f0.244rad/m
80054
12kNm
AB
GIp
3230叫0.121rad/m
7.54
30kNm
max
BC
800
0.244rad/m
3.3
图示钢圆轴（G80GPa）所受扭矩分别为M1
80kNm,M2120kNm，及
M3
40kNm。
已知：
L130cm,L270cm,
材料的许用切应力[]50MPa，许用
单位长度扭转角[]0.25/m。
求轴的直径。
Tmax
max
解：
按强度条件
[]计算Wn
M1
/M2
16T
[]
1680000
6201mm
5010
L1
按强度条件
Tmax
max
[]计算GIp
80kNm
43280000180
29219.8mm
2801090.25
nswii
40kNm
故，轴的直径取d220mm
3.4实心轴和空心轴通过牙嵌离合器连在一起，已知轴的转速n100r/min，传递功率
P7.35kW,[]
20MPa。
试选择实心轴的直径
di和内外径比值为丄的空心轴的外径D2
2
解：
求扭矩：
P7.35
T95509550701.925Nm
n100
di
316T
316701.92f
\2010
56.3mm
16T
4）
316701.92516
\2010615
57.6mm
28.8mm
故，实心轴的直径d156.3mm，空心轴的外径D57.6mm，内径d
3.5今欲以一内外径比值为0.6的空心轴来代替一直径为40cm的实心轴，在两轴的许用
切应力相等和材料相同的条件下，试确定空心轴的外径，并比较两轴的重量。
解：
要使两轴的工作应力相等，有W空W实，即卩
f1
d空（10.64）d实d空d实3441.9cm
空空实10.64
22
d空（10.6）
d|
两轴的重量比
22
0.7024
41.9（10.6）
402
3.6图示传动轴的转速为200r/min，从主动轮2上传来的功率是58.8kW，由从动轮1、
3、4和5分别输出18.4kW、11kW、22.05kW和7.35kW。
已知材料的许用切应力
[]20MPa，单位长度扭转角[]0.5/m，切变模量G82GPa。
试按强度和刚度条
解:
求扭矩：
P
22.05
T4
9550-
9550
1052.89Nm
n
200
P
18.4
T1
9550
9550
878.6Nm，
T2
n
200
P
11
T3
9550-
9550
525.25Nm，
T5
n
200
件选择轴的直径
最大扭矩Tmax1929.1Nm
P58.8K1
955095502807.7Nm
n200
P735
95509550350.96Nm
n200
按强度条件T竺[]计算:
maxL」
78.9mm
按刚度条件
Tmax
Glp
［］计算:
432Tmax
E
321929.1180
2821090.5
72.4mm
故，轴的直径取d78.9mm
3.7图示某钢板轧机传动简图，传动轴直径d320mm，今用试验方法测得45方向的
max89MPa，
问传动轴承受的转矩M是多少?
解:
由max，
3
32389
16
572.6kNm
45
maxmin
M
3.8
空心轴外径
120mm，
内径d60mm，受外力偶矩如图。
M1
M25kNm，
M3
16kNm，
M4
6kNm。
已知材料的G
80GPa，许用切应力［]40MPa,许
用单位长度扭转角［
]0.2/m
试校核此轴。
解：
最大扭矩Tmax
10kNm
校核强度条件:
{ff1
■1m■
71m亠
M1
M3
M2
Tmax
max
Wn
16
1610000
3
1215
31.44MPa[]
40MPa
校核刚度条件:
Tmax
maxG?
7
321610000180
800212415
0.375
/m[]
0.2o/m
故，轴的强度满足，但刚度条件不满足。
3.9传动轴长L510mm，其直径D
50mm，当将此轴的一段钻空成内径d125mm的
内腔，而余下的一段钻成d238mm的内腔。
设切应力不超过70MPa。
试求:
⑴此轴所能承受的扭转力偶M的许可值;
⑵若要求两段轴长度内的扭转角相等，则两段的长度各为多少?
解：
⑴此轴能承受的扭转力偶M
MWm.[]
D3（10.764）
16
70
1144.9Nm
2
⑵要使两段轴长度内的扭转角相等，即
Th
GIp1
□
GIp2
即5
12
Ip110.54
1.41
Ip21
0.764
故，L1
1.41
1
510
298.4mm，
L2
510
211.6mm
2.41
2.41
3.10直径d20mm的实心轴，在轴的两端承受扭转力偶M作用，在轴的表面某点A，
O
试求此时圆轴所承受扭转力偶M解：
由广义胡克定律有
1
E（
—2000.576.923MPa
110.3
20376.923
120.83kNm
16
d3
76"
3.11
等截面传动轴，主动轮输入力矩M14.9kN
m，从动轮输出力矩分别为
M2
2.1kNm，M32.8kNm，已知材料的G80GPa，
许用切应力［］70MPa，许用
M2
M,
」.5m
0.5m
按强度条件T聲［］计算:
d316T]
3164900
70106
70.9mm
按刚度条件
GI
［］计算:
d4max
.G[]
324900180
2
801091
77.3mm
单位长度扭转角［］1/m。
⑴试设计轴的直径；
⑵按经济的观点各轮应如何安排更为合理？
为什么?
解：
⑴设计轴的直径：
最大扭矩Tmax4.9kNm
（a）
故，轴的直径取d77.3mm
⑵将主动轮与从动轮2对换，这样可以降低最大弯矩值，从而减少材料消耗，而降低成本。
附录I截面的几何性质
I.1、试求图示图形对y轴的静矩Sy，并求形心坐标ZC
解：
dAb（z）dz;b（z）2R2z2
SyzdA
yA
2z：
R2z2dz
0
R.R2z2d（R2z2）-R303
_Sy3R3/34R
zc2
AR2/23
zC
A1Z]cA2z2C
A1A2
20020
1002
60
2002
1002
（b）
建立坐标如图
zc
A1z1CA2z2C
A1A2
2016080
10030
15
20160
10030
yc
Aly1CA2y2C
AlA2
2016010
10030
70
解：
（a）选择原来坐标
48.55mm
20mm
20
+z
39mm
I.3、
同理:
2016010030
试求图示图形的ly、
lz和lyzo
z2dA
A
些3dz
0h
4bh3
（b）
2|zA『dA
bh
0by
2（h
y）dy
IyzAzydA
b
—z
h
0
yzdydz-b2h2
8
解：
（a）建立如图坐标
A1z1C
A2z2CA3z3C
40180（130）
2
55.7mm
Zc
AA2A3
240180240
80
I.4、试求图示图形对形心轴的
IyC和
Izc
o
I
yC
IyC1IyC2IyC3
13
2[401803
12
4
188182864cm
40180（13055.7）2]—240803
12
2408055.72
IzCIzC1IzC2IzC3
132134
2[403180401801002]24038023808cm4
1212
【80
260
240
（a）
（b）建立如图坐标
Zc
A1Z1CA2Z2C
A3Z3C80160（140）36060130
18.68mm
A1A
A3
80160360
60
100
200
IyC
IyC1
IyC2I
yC3
1
3
16080
80160
158.68
2丄100
2003
200
2
10018.68
12
12
1
3
2
4
12
36060
60360
（130
18.68）
11686.6246cm
IzC
IzC1IzC2
IzC3
1
3
360
60—
200
3
100
1
160
380
4
27725.33cm
12
12
12
（C）建立坐标如图
（b）
Zc
A1Z1C
A2z
2C
60100（20）
60100202
25.3mm
yCyC1
yC2
1
3
60100
60
2
1005.3
12
（—
404
202
4
25.3）424cm
64
zCIzC1
IzC2
1
603100
—
204167cm4
12
64
Ai
A2
60
第四章弯曲应力
4.1、作图示结构的弯矩图和剪力图，并求最大弯矩Mmax和最大剪力FQ,max。
（内力方程
法）
ri
*
*
Pap|
/
:
一a_
**a1
1
qa
3aa_
2Pa
FQmaxP；Mmax2Pa
11
FQmaxqa；
6
Mmax49qa2
36
2
FQmaxqa;Mmax
3R”32
FQmax—qa；Mmax—qa
44
Q
Fq
斟iTDlTTr^
HHnninaqL2
a2/2
17|^3qa2/2甘伽nWTrrm
2
qa
M
Fq
M
qL2
Q
FQmax
FQmax
5-qa；
4
qL
Mmax
；Mmax
32
4qa
qL
qa
7qa/6
qa
V|G4qi
2
qa
”Fq
Jqa
qa
M
Fq
11qa/6
qa2/2
aq
Fqmax
qa;Mmaxqa2
11“1212
FT-qa；Mmax52qa
iiTwn
3qa2
51qaj
|…q,
IHIHH
La.
—2a.1
4.2、作图示
弯矩图和剪
并求最大弯
和最大剪力
rrm
结构的力图，矩Mmax
Smax
（简易方法）
qa
qa/2
52
8qa
Qmax
3qa
Mmax5qa
FQmax
max
；rrwnl
#1
8a■一2a」
2aa
qa
qa
|禰
Tlrrrr^
2
qa
■
、i
qa2/2
Fq
Q
112
FQmaxqa；Mmaxqa
6
qa
I
11;
FQmax~~qa；Mmax
6
q
彳HHI「卜.
Fq
qa
/2M
qa
qa
qa
max
qa
am
MF
72
Pa2
a
1-^
Fq
2
Fqmax
32
5
2
Fqmax
2
qa；Mmaxqa
FSmax
2
qa；Mmaxqa
lz/£20.4cm
Fsmax168kN
max
Wz
168kN32kN
max
67200
400
FSmax
168MPa
IHHIrm
Sz
Izb
168000
20410
82.35MPa
45.2kNm
67.2kNm
22kN
102kN
分布图
4.3、截面为No24工字型的梁，受力如图所示
⑴试求梁的最大正应力和最大切应力;
⑵绘出危险截面上正应力及切应力的分布图解：
⑴、作内力图如右。
Mmax67.2kNm
⑵、危险截面在D的左侧。
应力分布如图
4.4、外径为25cm，壁厚为5mm的铸铁管简支梁，跨度为12m，铸铁的容重
17.8g/cm3。
若管内装满水（容重2
解：
原结构化为满均布力作用的简支梁。
其集度为：
222
q[—（2524）7.8241]9.8
44
737N/m
1g/cm‘）。
试求管内的最大正应力
max
1
2
Mmax
—
737
12
13266Nm
8
D3
244
3
Wz
（1（
））
231cm
32
25
M
max
max
Wz
13266
231
57.4MPa
4.5、图示一铸铁梁。
若[』30MPa,[c]解：
弯矩图如图。
Mmax4kNm
Mmax2.5kNm
由比较可知B截面由拉应力控制，
60MPa，试校核此梁的强度。
而最大C截面也由拉应力控制
MByBt
B,max'
1z
452100
763
27.3MPa
Mcyet
C,max'
1z
2.588100
763
28.8MPa
[t]
因此该梁的强度不足
4.6、吊车主梁如图所示。
跨度I8m，试问当小车运行到什么位置时，梁内的弯矩最大,
解：
F1
-（7.85
8
x），
F2
P
（0.15x）
8
P
M1（x）
7.85
x）x
P
P
M2（x）
—I
（7.85
x）（x
0.3）
-0.15
8
2
并求许用起重荷载。
已知[]100MPa
Iz8950cm4
令dMMx）
Vdx
0或dM2（x）0；得x3775mm或x3925mm
dx
P
故Mmax（2Ia）20.856P（Nm）
16I
由强度条件
max
0.856P
max
Wz
579106
得：
P3.88kN
4.7、若梁的[]160MPa，试分别选择矩形
h2）、圆形、及管形（D2）三种截面,
bd
并比较其经济性。
解：
弯矩图如图。
Mmax6.25kNm
15kN
10kN/m
5kNm
由强度条件max
Mmax
Wz
矩形：
Wz訶，得b｛警38・8mm;
h77.6mm
园形：
wz护，得df帶73.6mm
管形:
3
Wz32d（1
4
），得
32Mmax
4）[]
（i
75.2mm；
三面积之比:
A矩形:
A圆形：
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