高中数学 331二元一次不等式及不等式组表示的平面区域练习 苏教版必修5.docx
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高中数学331二元一次不等式及不等式组表示的平面区域练习苏教版必修5
2019-2020年高中数学3.3.1二元一次不等式及不等式组表示的平面区域练习苏教版必修5
1．一般地，直线y＝kx＋b把平面分成两个区域：
y＞kx＋b表示直线上方的平面区域；y＜kx＋b表示直线下方的平面区域．
2．在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域；我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界，当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界，则把边界画成实线．
3．确定二元一次不等式所表示的平面区域有多种方法，常用的一种方法是“选点法”，若直线不过原点，通常选择原点代入检验．
4．二元一次不等式组表示的平面区域，是组内各不等式表示平面区域的公共部分．
5．满足不等式x＞1的区域位于直线l：
x＝1的右侧；满足不等式x－y－1＞0的区域位于直线l：
x－y－1＝0的下方；这两个区域的公共部分是不等式组
的解所对应的点的集合．
►基础巩固
一、选择题
1．不在3x＋2y＜6表示的平面区域内的点是（D）
A．（0，0） B．（1，1）
C．（0，2）D．（2，0）
解析：
特殊点代入法验证．
2．不等式2x－y－6＞0表示的平面区域在直线2x－y－6＝0的（D）
A．左上方B．右上方
C．左下方D．右下方
解析：
作直线2x－y－6＝0，将原点（0，0）代入检验．
3．不等式组
表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是（C）
A．（－∞，5）B．[8，＋∞）
C．[5，8）D．（－∞，5）∪[8，＋∞）
解析：
画图分析可知5≤a＜8.
4．下图中的平面区域（阴影部分包括边界）可用不等式组表示为（C）
A．0≤x≤2B.
C.
D.
解析：
将给出的不等式组与区域对比，可排除A、B、D三项．
5．已知点（－3，1）和（0，－2）在直线x－y－a＝0的同一侧，则a的取值范围是（D）
A．（－2，4）
B．（－4，2）
C．（－∞，－2）∪（2，＋∞）
D．（－∞，－4）∪（2，＋∞）
解析：
分两种情况讨论，分x－y－a＞0，x－y－a＜0.
二、填空题
6．点（1，3）和点（－4，2）在直线2x＋y＋m＝0的两侧，则m的取值范围是________．
解析：
∵（1，3）和（－4，2）在2x＋y＋m＝0的两侧，∴（2×1＋3＋m）[2×（－4）＋2＋m]＜0，即（m＋5）（m－6）＜0，即－5＜m＜6.
答案：
（－5，6）
7．若不等式2x＋y＋m＜3表示的平面区域包括点（0，0）和（1，1），则m的取值范围是________．
解析：
将（0，0）和（1，1）代入不等式得
⇒m＜0.
答案：
（－∞，0）
8．不等式组
表示的平面区域的面积是________．
解析：
由图可知，区域为△ABC，
∴S＝
×4×2＝4.
答案：
4
三、解答题
9．求由约束条件
确定的平面区域的面积S阴影部分和周长C阴影部分．
解析：
由约束条件作出其所确定的平面区域（阴影部分），如下图，其四个顶点为O（0，0），B（3，0），A（0，5），P（1，4）．过点P作y轴的垂线，垂足为C.
则AC＝|5－4|＝1，PC＝|1－0|＝1，OC＝4，OB＝3，AP＝
，PB＝
＝2
，
得S△ACP＝
AC·PC＝
，
S梯形COBP＝
（CP＋OB）·OC＝8，
∴S阴影部分＝S△ACP＋S梯形COBP＝
，
C阴影部分＝OA＋AP＋PB＋OB＝8＋
＋2
.
10．某糕点厂生产高档蛋糕和普通面包，生产高档蛋糕1千克分别需要面粉100克、糖200克、鸡蛋300克，生产普通面包1千克分别需要面粉300克、糖200克、鸡蛋100克．现已知库存面粉为15千克、糖12千克、鸡蛋15千克，若在此基础上进行生产，请列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域．
解析：
设高档蛋糕和普通面包应各生产x千克和y千克，则x、y所满足的数学关系式为
⇒
分别画出不等式组中各不等式所表示的平面区域，然后取交集．下图所示的平面区域（阴影部分）就是不等式组所表示的区域．
►能力升级
一、选择题
11．不等式组
表示的平面区域为（B）
A．正三角形
B．等腰三角形
C．一个无界区域
D．不包含第一象限内的点的一个有界区域
解析：
画出可行域，易得一个等腰三角形．
12．不等式组
表示的平面区域是一个（C）
A．三角形B．直角梯形
C．等腰梯形D．矩形
解析：
不等式组即
或
前一个不等式组围成区域如右上图所示，为一等腰梯形；后一个不等式组的解集为空集．
13．设集合A＝{（x，y）|x，y，2－x－y是三角形的三边长}，则A所表示的平面区域（不含边界的阴影部分）是（A）
解析：
由三角形任何两边之和大于第三边，得
⇒
故知围成的区域如选项A中的图所示．
二、填空题
14．已知函数f（x）＝x2－4x＋3，集合M＝{（x，y）|f（x）＋f（y）≤0}，集合N＝{（x，y）|f（x）－f（y）≥0}，则集合M∩N的面积是________．
解析：
f（x）＝x2－4x＋3，f（y）＝y2－4y＋3，
由f（x）＋f（y）≤0⇒x2＋y2－4x－4y＋6≤0⇒（x－2）2＋（y－2）2≤2.
由f（x）－f（y）≥0⇒x2－4x－y2＋4y≥0⇒（x－y）（x＋y－4）≥0.
集合M∩N所表示的图形为：
其面积是两个
圆面积，而圆半径为
，
∴面积为
×π×（
）2＝π.
答案：
π
15．△ABC的三个顶点坐标分别为A（0，4），B（－2，0），C（2，0），则△ABC内任意一点（x，y）所满足的条件为________．
解析：
将点（0，0）代入直线AB：
2x－y＋4＝0，得4＞0，代入直线AC：
2x＋y－4＝0，得－4＜0，故可知△ABC的内部位于x轴的上方，故
答案：
三、解答题
16．求不等式|x－2013|＋|y＋2014|≤2所表示的平面区域的面积．
解析：
将|x|＋|y|≤2表示的区域向右平移2013个单位，再向下平移2014个单位，即得|x－2013|＋|y＋2014|≤2所表示的区域，因此|x|＋|y|≤2和|x－2013|＋|y＋2014|≤2表示的区域面积相等，而|x|＋|y|≤2表示的区域是一个边长为2
的正方形，其面积为（2
）2＝8.
2019-2020年高中数学3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域教学设计新人教A版必修5
一、教材分析
本节课是新教材必修5第三章3.3.1节的内容，教学大纲对这部分内容的要求是了解二元一次不等式表示平面区域，并会简单的应用。
这是《新大纲》中增加的新内容，不仅为传统的高中数学注入新鲜的血液，而且给学生提供了学数学、用数学的机会，体现了新课程理念。
在此之前，学生已经学习了直线的方程，已掌握二元一次方程与平面直线的对应关系，同时也学习了数形结合的思想方法。
为研究二元一次不等式与平面区域的对应关系做了准备。
这节内容，是介绍直线方程的简单应用（即简单的线性规划）的基础，起到承前启后的作用。
二、教学目标分析
1、知识目标：
准确画出二元一次不等式（组）表示平面区域；
2、能力目标：
学生在学会知识的过程中，培养学生运用数学方法解决问题的能力，会准确地阐述自己的思路和观点，着重培养学生的认知和元认知能力；
3、情感目标：
通过对新知识的构建，优化学生的思维品质，通过自主探索、合作交流，增强数学的情感体验，提高创新意识。
三﹑教学的重点、难点
1、教学重点：
二元一次不等式（组）表示平面区域；
2、教学难点：
准确画出二元一次不等式（组）表示平面区域；
四、教法与学法指导及教学手段
1、教学方法：
引导发现法、探索讨论法、题组教学法等；
2、学法指导：
这是一节抽象的概念作图课，教师应注重创设认知情境，引导学生进行尝试、猜想、证明、归纳，帮助学生在原有经验上对新知识主动建构，在交流合作中学习。
３、教学手段：
采用坐标纸让学生动手操作，利用多媒体技术优化课堂教学。
五、教学过程设计
教学环节
教学内容
师生互动
说明
一、
创导
设入
情新
境课
1.建立二元一次不等式模型
【多媒体展示】
北京08年奥运会的主体育场“鸟巢”，它的外形结构是由许多巨大的钢架够成的，在当时为了按期完工，每天至少需要50根高质量的钢柱，已知只有两个厂有能力生产这样的钢柱，一号钢厂和二号钢厂每间车间的日生产量分别是10根和8根，但是两个厂每天总共能投入生产的车间至少6间，那么两个钢厂各提供多少车间才能满足每天的需求呢？
【学生解答】
解：
设一号钢厂提供x间车间，二号钢厂提供y间车间
则
师：
大家知道“鸟巢”吗？
请看多媒体的展示，这个问题中存在一些不等关系，我们应该用什么不等式模型来刻画它呢？
生：
解答
创设情景，构造问题悬念，激发兴趣，明确学习目标，引出概念
二，引入概念
2.二元一次不等式和二元一次不等式组的定义
（1）二元一次不等式：
含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式叫做二元一次不等式。
（2）二元一次不等式组：
有几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组。
（3）二元一次不等式（组）的解集：
满足二元一次不等式（组）的x和y的取值构成有序实数对（x,y），所有这样的有序实数对（x,y）构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集。
师：
刚才列出的不等式有什么特点？
生：
两个未知数，未知数的次数是1.
师:
我们把这个不等式称为什么?
生:
二元一次不等式
师:
这里有两个二元一次不等式,所以这个式子称为二元一次不等式组.
师：
二元一次不等式的解集具备什么条件？
可以用什么来表示？
生：
用序实数对（x,y）
明确概念,为探究实验做准备
三、
猜构
想建
探新
索知
三、
猜构
想建
探新
索知
3.探究二元一次不等式（组）的解集表示的图形
【共同探究】
从特殊到一般：
先研究具体的二元一次不等式
如图：
在平面直角坐标系内，表示一条直线（学生在坐标纸上作图）。
平面内所有的点被直线分成三类：
直线上的点,直线右上方,直线左下方
坐标满足：
（1,5），（2，4），（3,3），
坐标满足：
（1,6）,（2,5）,（3,4）,
坐标满足：
（1,4）,（2,3）,（3,2）,
【学生尝试】
把刚才列出的点描在坐标系内，观察。
【展示成果】
坐标满足的点在直线的右上方
坐标满足的点在直线的左下方
【提问1】
直线右上方的点坐标是否满足
直线左下方的点坐标是否满足
【探究实验】
利用几何画板
【总结】
表示直线右上方的平面区域。
表示直线左下方的平面区域。
表示直线是两区域的边界。
【提问2】
二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C＝0上方的区域吗？
【举例验证】
（0,0）0-0-6<0（1,0）1-0-6<0（6,-1）6+1-6>0
【一般结论】一般地，二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C＝0某一侧所有点组成的平面区域。
我们把直线画成虚线以表示区域不包含边界直线；不等式Ax+By+C≥0所表示的平面区域，包括边界直线，应把边界直线画成实线。
【结论】直线同侧点同号.
师:
表示什么图形?
生:
直线
师:
请同学们在坐标纸上作出这条直线.这条直线把直角坐标系上的点分成了几类?
如何描述
生:
三类,在直线上,直线的右上方,直线的左下方
师:
直线上的点坐标一定满足。
请举几个例子。
生:
（1,5），（2，4），（3,3），
师：
坐标满足的点有哪些呢？
生：
（1,6）,（2,5）,（3,4）,
师：
坐标满足的点
（1,4）,（2,3）,（3,2）
师：
他们落在坐标平面内的哪些区域呢？
请你们把这些点描在你们所作出的坐标系内。
学生展示成果
师：
你们发现了点与直线的位置关系式怎样的？
生：
（1,6）,（2,5）,（3,4）在直线的右上方；
（1,4）,（2,3）,（3,2）
在直线的左下方
师：
直线右上方的点坐标是否满足？
用几何画板做实验
生：
直线的右上方的点坐标满足。
师：
表示直线右上方的平面区域。
表示直线左下方的平面区域。
表示直线是两区域的边界。
师：
二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C＝0上方的区域吗？
生1:
是；生2:
不是。
师：
说不是的那位同学请你举个例子。
生：
比如直线x-y-6＝0直线上方的点（0,0），（1,0）使x-y-6<0直线下方的点（6,-1）使得x-y-6>0
师：
由此说明二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C＝0某一侧所有点组成的平面区域。
通过数学实验，为感性认识上升为理性认识打好基础。
四﹑练习反馈
4.练习反馈
强调：
直线Ax+By+C=0同一侧的所有点（x，y）把它的坐标代入Ax+By+C所得到的实数符号相同，所以在直线某一侧取一个特殊点（x0,y0）代入，从Ax0+By0+C的正负可以判断出Ax+By+C>0表示哪一侧的区域。
例1画出不等式表示的平面区域。
解：
先画直线（画成虚线）.
取原点（0，0），代入+4y-4,∵0+4×0-4=-4＜0,
∴原点在表示的平面区域内，不等式表示的区域如图：
归纳：
画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法。
特殊地，当时，常把原点作为此特殊点。
变式1、画出不等式表示的平面区域。
变式2、画出不等式所表示的平面区域。
概括：
“直线定界，取点定域”，特别地，当C≠0时，常把原点作为特殊点。
师：
直线Ax+By+C=0同一侧的所有点（x，y）把它的坐标代入Ax+By+C所得到的实数符号相同，所以在直线某一侧取一个特殊点（x0,y0）代入，从Ax0+By0+C的正负可以判断出Ax+By+C>0表示哪一侧的区域。
生：
画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法。
特殊地，当时，常把原点作为此特殊点。
通过练习，加强学生的认知结构，
得到规律，概括为口诀，便于操作。
五，探索新知
五，探索新知
5.探索新知
【例题示范１】（利用口诀“直线定界，取点定域”）
画出不等式2x+y－6<0表示的平面区域。
（强调画图规范和注意点）
变式一：
指出不等式-2x+y－6<0表示的平面区域；
变式二：
指出不等式2x－y－6≥0表示的平面区域；
变式三：
指出不等式-2x－y－6≥0表示的平面区域。
……
规律：
一般地，二元一次不等式Ax+By+C>0（A不等于0）当A>0时，Ax+By+C>0表示平面区域在直线Ax+By+C=0的右方，Ax+By+C<0表示平面在直线Ax+By+C=0的左方。
概括：
“系数化正、左小右大”，系数指x前系数A，“左（右）”指平面区域的左（右）方，“小（大）”指不等式的小于（大于）号。
【例题示范２】
画出不等式组
表示的平面区域。
变式一：
用二元一次不等式组表示下列平面区域；
变式二：
能画出不等式表示的平面区域吗？
引申：
能画出不等式表示的平面区域吗？
师：
从上面判断过程中能得到什么新规律，使区域的判断更方便呢？
生：
从不等号方向和A的正负考虑
生：
一般地，二元一次不等式Ax+By+C>0（A不等于0）当A>0时，Ax+By+C>0表示平面区域在直线Ax+By+C=0的右方，Ax+By+C<0表示平面在直线Ax+By+C=0的左方。
给学生提供活动的时（思维时间）空（思维空间），
通过问题变式，重组学生的认知结构，从而得到规律，概括为口诀，便于操作。
六、
小作
结业
提布
炼置
一，（思考、讨论得出小结，教师作适当的补充）
1、这节课学习的主要内容是什么？
2、如何理解口诀“直线定界，取点定域”和“系数化正，左小右大”。
3、请同学们认真总结在探索和交流中的体会。
二，
1、课本P93习题3.3第1,2题。
2、选做题：
求不等式表示的平面区域的面积。
3、预习第二课时。
培养学生自主学，合作交流的学习方式，培养探究能力
板
书
课题：
§3.3.1
1﹑定义
2、用二元一次不等式表示平面区域
3、判断方法：
注意事项…
讲解示范
例一
…
例二
…
练习1
练习二
…
学生板演
反映教材的重点、难点知识，体现教学意图。
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