高中数学新课程创新教学设计案例共50课时.docx

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高中数学新课程创新教学设计案例共50课时

高中数学新课程创新教学设计案例（共50课时）

集合概念的基本理论，称为集合论．它是近、现代数学的一个重要基础．一方面，许多重要的数学分支，如数理逻辑、近世代数、实变函数、泛函分析、概率统计、拓扑等，都建立在集合理论的基础上．另一方面，集合论及其反映的数学思想，在越来越广泛的领域中得到应用．在小学和初中数学中，学生已经接触过集合，对于诸如数集（整数的集合、有理数的集合）、点集（直线、圆）等，有了一定的感性认识．这节内容是初中有关内容的深化和延伸．首先通过实例引出集合与集合元素的概念，然后通过实例加深对集合与集合元素的理解，最后介绍了集合的常用表示方法，包括列举法，描述法，还给出了画图表示集合的例子．本节的重点是集合的基本概念与表示方法，难点是运用集合的两种常用表示方法―――列举法与描述法正确表示一些简单的集合．

教学目标

1.初步理解集合的概念，了解有限集、无限集、空集的意义，知道常用数集及其记法．2.初步了解“属于”关系的意义，理解集合中元素的性质．

3.掌握集合的表示法，通过把文字语言转化为符号语言（集合语言），培养学生的理解、化归、表达和处理问题的能力．

任务分析

这节内容学生已在小学、初中有了一定的了解，这里主要根据实例引出概念．介绍集合的概念采用由具体到抽象，再由抽象到具体的思维方法，学生容易接受．在引出概念时，从实例入手，由具体到抽象，由浅入深，便于学生理解，紧接着再通过实例理解概念．集合的表示方法也是通过实例加以说明，化难为易，便于学生掌握．

教学设计一、问题情境

1.在初中，我们学过哪些集合？

2.在初中，我们用集合描述过什么？

学生讨论得出：

在初中代数里学习数的分类时，学过“正数的集合”，“负数的集合”；在学习一元一次不等式时，说它的所有解为不等式的解集．

在初中几何里学习圆时，说圆是到定点的距离等于定长的点的集合．几何图形都可以看成点的集合．

3.“集合”一词与我们日常生活中的哪些词语的意义相近？

学生讨论得出：

“全体”、“一类”、“一群”、“所有”、“整体”，……4.请写出“小于10”的所有自然数．

0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．这些可以构成一个集合．5.什么是集合？

二、建立模型

1.集合的概念（先具体举例，然后进行描述性定义）

（1）某种指定的对象集在一起就成为一个集合，简称集．

（2）集合中的每个对象叫作这个集合的元素．（3）集合中的元素与集合的关系：

a是集合A中的元素，称a属于集合A，记作a∈A；

a不是集合A中的元素，称a不属于集合A，记作aA．

例：

设B＝｛1，2，3｝，则1∈B，42.集合中的元素具备的性质

B．

（1）确定性：

集合中的元素是确定的，即给定一个集合，任何一个对象是否属于这个集合的元素也就确定了．如上例，给出集合B，4不是集合的元素是可以确定的．

（2）互异性：

集合中的元素是互异的，即集合中的元素是没有重复的．例：

若集合A＝｛a，b｝，则a与b是不同的两个元素．

（3）无序性：

集合中的元素无顺序．

例：

集合｛1，2｝与集合｛2，1｝表示同一集合．3.常用的数集及其记法

全体非负整数的集合简称非负整数集（或自然数集），记作N．非负整数集内排除0的集合简称正整数集，记作N*或N+；全体整数的集合简称整数集，记作Z；全体有理数的集合简称有理数集，记作Q；全体实数的集合简称实数集，记作R．4.集合的表示方法［问题］

如何表示方程x2－3x＋2＝0的所有解？

（1）列举法

列举法是把集合中的元素一一列举出来的方法．例：

x2－3x＋2＝0的解集可表示为｛1，2｝．

（2）描述法

描述法是用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法．例：

①x2－3x＋2＝0的解集可表示为｛x｜x2－3x＋2＝0｝．②不等式x－3＞2的解集可表示为｛x｜x－3＞2｝．③Venn图法

例：

x2－3x＋2＝0的解集可以表示为（1，2）．5.集合的分类

（1）有限集：

含有有限个元素的集合．例如，A＝｛1，2｝．

（2）无限集：

含有无限个元素的集合．例如，N．

（3）空集：

不含任何元素的集合，记作注：

对于无限集，不宜采用列举法．

．例如，｛x｜x2＋1＝0，x∈R｝＝

．

三、解释应用

［例题］

1.用适当的方法表示下列集合．

（1）由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数．

（2）平面内到一个定点O的距离等于定长l（l＞0）的所有点P．（3）在平面a内，线段AB的垂直平分线．（4）不等式2x－8＜2的解集．2.用不同的方法表示下列集合．

（1）｛2，4，6，8｝．

（2）｛x｜x2＋x－1＝0｝．（3）｛x∈N｜3＜x＜7｝．

3.已知A＝｛x∈N｜66－x∈N｝．试用列举法表示集合A．（A＝｛0，3，5｝）

4.用描述法表示在平面直角坐标中第一象限内的点的坐标的集合．［练习］

1.用适当的方法表示下列集合．

（1）构成英语单词mathematics（数字）的全体字母．

（2）在自然集内，小于1000的奇数构成的集合．（3）矩形构成的集合．2.用描述法表示下列集合．

（1）｛3，9，27，81，…｝．

（2）

四、拓展延伸

把下列集合“翻译”成数学文字语言来叙述．

（1）｛（x，y）｜y＝x2＋1，x∈R｝．

（2）｛y｜y＝x2＋1，x∈R｝．（3）｛（x，y）｜y＝x2＋1，x∈R｝．（4）｛x｜y＝x2＋1，y∈N*｝．

点评

这篇案例注重新、旧知识的联系与过渡，以旧引新，从学生的原有知识、经验出发，创设问题情境；从实例引出集合的概念，再结合实例让学生进一步理解集合的概念，掌握集合的表示方法．非常注重实例的使用是这篇案例的突出特点．这样做，通俗易懂，使学生便于学习和掌握．例题、练习由浅入深，对培养学生的理解能力、表达能力、思维能力大有裨益．拓展延伸注重数学语言的转化和训练，注重区分形似而质异的数学问题，加强了学生对数学概念的理解和认识．

2集合之间的关系

教材分析

集合之间的关系是集合运算的基础和前提，是用集合观点理清集合之间内在联系的桥梁和工具．这节内容是对集合的基本概念的深化，延伸，首先通过类比、实例引出子集的概念，再结合实例加以说明，然后通过实例说明子集包括真子集和两集合相等两种情况．这节内容的教学重点是子集的概念，教学难点是弄清元素与子集、属于与包含之间的区别．

教学目标

1.通过对子集概念的归纳、抽象和概括，体验数学概念产生和形成的过程，培养学生的抽象、概括能力．

2.了解集合的包含、相等关系的意义，理解子集、真子集的概念，培养学生对数学的理解能力．

3.通过对集合之间的关系即子集的学习，初步体会数学知识发生、发展、运用的过程，培养学生的科学思维方法．

任务分析

这节内容是在学生已经掌握了集合的概念和表示方法以及两个实数之间有大小关系的基础上，进一步学习和研究两个集合之间的关系，采用从实例入手，由具体到抽象，由特殊到一般，再由抽象、一般到具体、特殊的方法，知识的产生、发生比较自然，易于学习、接受和掌握；采用分类讨论的方法阐述子集包括真子集、等集（两集合相等）两种情况，这可以使学生更好地认识子集、真子集、等集三者之间的内在联系．

教学设计一、问题情境

1.元素与集合之间的关系是什么？

元素与集合是从属关系，即对一个元素x是某集合A中的元素时，它们的关系为x∈A．若一个对象x不是某集合A中的元素时，它们的关系为x2.集合有哪些表示方法？

列举法，描述法，Venn图法．

数与数之间存在着大小关系，那么，两个集合之间是不是也存在着类似的关系呢？

先看下面两个集合：

A＝｛1，2，3｝，B＝｛1，2，3，4，5｝．它们之间有什么关系呢？

A．

二、建立模型

1.引导学生分析讨论

集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素．集合B中的元素4，5不是集合A中的元素．2.与学生共同归纳，明晰子集的定义

对于上述问题，教师点拨，A是B的子集，B不是A的子集．

子集：

对于两个集合A，B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，记作A子集．

B（或B

A），就说集合A是集合B的

用符号语言可表示为：

如果任意元素x∈A，都有x∈B，那么AB．

规定：

空集是任何集合的子集，即对于任意一个集合A

，有3.提出问题，组织学生讨论

A．

给出三个集合：

A＝｛1，2，3｝，B＝｛1，2，3，4，5｝，C＝｛1，2，3｝．

（1）A是B的子集吗？

B是A的子集吗？

（2）A是C的子集吗？

C是A的子集吗？

4.教师给出真子集与两集合相等的定义

上述问题中，集合A是集合B的子集，并且集合B中有元素不属于集合A，这时，我们就说集合A是集合B的真子集；集合A是集合C的子集，且集合A与集合C的元素完全相同，这时，我们就说集合A与集合C相等．

真子集：

如果集合A是集合B的子集，即A那么集合A叫作集合B的真子集，记作A

B，并且B中至少有一个元素不属于集合A，B或B

A．

AB的Venn图为

两集合相等：

如果集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，即AB的每一个元素也都是集合A中的元素，即B＝B．

B，反过来，集合

A，那么就说集合A等于集合B，记作A

A＝B的Venn图为

思考：

设A，B是两个集合，A5.子集、真子集的有关性质由子集、真子集的定义可推知：

B，AB，A＝B三者之间的关系是怎样的？

（1）对于集合A，B，C，如果AB，BC，那么AC．

（2）对于集合A，B，C，如果AB，BC，那么AC．

（3）AA．

（4）空集是任何非空集合的真子集．

三、解释应用

［例题］

1.用适当的符号（∈，，＝，，）填空．

（1）3___________｛1，2，3｝．

（2）5___________｛5｝．（3）4___________｛5｝．

（4）｛a｝___________｛a，b，c｝．

（5）

0___________．

（6）｛a，b，c｝___________｛b，c｝．

（7）___________｛0｝．

（8）___________｛｝．

（9）｛1，2｝___________｛2，1｝．

（10）G＝｛x｜x是能被3整除的数｝___________H＝｛x｜x是能被6整除的数｝．2.写出集合｛a，b｝的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集．3.说出下列每对集合之间的关系．

（1）A＝｛1，2，3，4，｝，B＝｛3，4｝．

（2）P＝｛x｜x2＝1｝，Q＝｛-1，1｝．（3）N，N*．

（4）C＝｛x∈R｜x2＝-1｝，D＝｛0｝．［练习］

1.用适当的符号（∈，，＝，，）填空．

（1）a___________｛a｝．

（2）b___________｛a｝．

（3）___________｛1，2｝．

（4）｛a，b｝___________｛b，a｝．

（5）A＝｛1，2，4｝___________B＝｛x｜x是8的正约数｝．2.求下列集合之间的关系，并用Venn图表示．A＝｛x｜x是平行四边形｝，B＝｛x｜x是菱形｝，C＝｛x｜x是矩形｝，

D＝｛x｜x是正方形｝．

拓展延伸

填表表2-1

（1）你能找出“集合中元素的个数”与“子集的个数”、“真子集的个数”之间关系吗？

（2）如果一个集合中有n个元素，你能写出计算它的所有子集个数与真子集个数的公式吗？

（用n表达）

点评

这篇案例结构严谨，思路清晰，概念和关系的引出注重从具体到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认识过程．具体地说就是，先结合实例研究两个具体集合的关系，从而引出子集的定义，然后再结合实例说明A

B，包括A

B，A＝B两种情况，再给出真子集、等集

的定义．这样的处理方式，符合学生的认知规律，符合新课程的理念，例题与练习由浅入深，注重数形结合，使学生从不同角度加深了对集合之间的关系的理解．拓展延伸注重培养学生从特殊到一般地解决数学问题的能力．值得注意的是，在引出子集定义时，最好明确指出，集合之间的“大小”关系实质上就是包含关系．

3逻辑联结词

教材分析

在初中阶段，学生已接触了一些简单命题，对简单的推理方法有了一定程度的了解．在此基础上，这节课首先从简单命题出发，给出含有“或”、“且”、“非”的复合命题的概念，然后借助真值表，给出判断复合命题的真假的方法．

在高中数学中，逻辑联结词是学习、掌握和使用数学语言的基础，是高中数学学习的出发点．因此，在教学过程中，除了关注和初中知识密切的联系之外，还应借助实际生活中的具体例子，以便于学生理解和掌握逻辑联结词．

教学重点是判断复合命题真假的方法，难点是对“或”的含义的理解．

教学目标

1.理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义，了解“或”、“且”、“非”的复合命题的构成．2.能熟练判断一些复合命题的真假性．

3.通过逻辑联结词的学习，使学生初步体会数学语言的严密性，准确性，并在今后数学学习和交流中，能够准确运用逻辑联结词．

任务分析

在初中数学中，学生已经学习了一些关于命题的初步知识，但是，对命题和开语句的区别往往搞不清．因此，应首先让学生弄懂命题的含义，以便其掌握复合命题．

由于逻辑中的“或”、“且”、“非”与日常用语中的“或”、“且”、“非”的意义不完全相同，故要直接讲清楚它们的意义，比较困难．因此，开始时，不必深讲，可以在学习了有关复合命题的真值表之后，再要求学生根据复合命题的真值表，对“或”、“且”、“非”加以理解，这样处理有利于掌握重点，突破难点．

为了加深对“或”、“且”、“非”的理解，最后应设计一系列的习题加以巩固、深化对知识的认识程度．

教学设计一、问题情境

生活中，我们要经常用到许多有自动控制功能的电器．例如，洗衣机在甩干时，如果“到达预定的时间”或“机盖被打开”，就会停机，即当两个条件至少有一个满足时，就会停机．与此对应的电路，就叫或门电路．又如，电子保险门在“钥匙插入”且“密码正确”两个条件都满足时，才会开启．与此对应的电路，就叫与门电路．随着高科技的发展，诸多科学领域均离不开类似以上的逻辑问题．因此，我们有必要对简易逻辑加以研究．

二、建立模型

在初中，我们已学过命题，知道可以判断真假的语句叫作命题．

试分析以下8个语句，说出哪些是命题，哪些不是命题，哪些是真命题，哪些是假命题．

（1）12＞5．

（2）3是12的约数．

（3）是整数．

（4）是整数吗？

（5）x＞．

（6）10可以被2或5整除．（7）菱形的对角线互相垂直且平分．

（8）不是整数．

（可以让学生回答，教师给出点评）

我们可以看出，

（1）

（2）是真命题；（3）是假命题；因为（4）不涉及真假；（5）不能判断真假，所以（4）（5）都不是命题；（6）（7）（8）是真命题．

其中，“或”、“且”、“非”这些词叫作逻辑联结词．像

（1）

（2）（3）这样的命题，不含逻辑联结词，叫简单命题；像（6）（7）（8）这样，由简单命题与逻辑联结词构成的命题，叫复合命题．

如果用小写的拉丁字母p，q，r，s，…来表示命题（这里应明确（6）（7）（8）三个命题中p，q分别代表什么），则上述复合命题（6）（7）（8）的构成形式分别是p或q，p且q，非p．其中，非p也叫作命题p的否定．

对于以上三种复合命题，如何判断其真假呢？

下面要求学生自己设计或真或假的命题来填下面表格：

结合学生回答情况，将上面的表格补充完整，并给出真值表的定义．要求学生对每一真值表用一句话总结：

（1）“非p”形式的复合命题的真假与p的真假相反．

（2）“p且q”形式的复合命题当p与q同为真时为真，其他情况时为假．（3）“p或q”形式的复合命题当p与q同为假时为假，其他情况时为真．

三、解释应用

［例题］

1.分别指出下列各组命题构成的“p或q”、“p且q”、“非p”形式的复合命题的真假．

（1）p：

2＋2＝5，q：

3＞2．

（2）p：

9是质数，q：

8是12的约数．（3）p：

1∈｛1，2｝，q：

｛1｝

｛1，2｝．

（4）p：

｛0｝，q：

＝｛0｝．

注：

引导学生进一步熟悉真值表．

2.说出下列复合命题的形式，并判断其真假．

（1）5≥5．

（2）5≥1．

解：

（1）p或q形式．其中，p：

5＞5，q：

5＝5．p假，q真，∴p或q为真，即5≥5为真命题．

（2）p或q形式．其中，p：

5＞4，q：

5＝4，p真，q假，∴p或q为真，即5≥4为真命题．［练习］

1.命题：

方程x2－1＝0的解是x＝±1，使用逻辑联结词的情况是（）．A.没用使用逻辑联结词B.使用逻辑联结词“且”C.使用逻辑联结词“或”D.使用逻辑联结词“非”

（C）

2.由下列命题构成的“p或q”、“p且q”形式的复合命题均为真命题的是（）．A.p：

4＋4＝9，q：

7＞4

B.p：

a∈｛a，b，c｝，q：

｛a｝｛ａ，ｂ，ｃ｝

C.p：

15是质数，q：

4是12的约数D.p：

2是偶数，q：

2不是质数

（B）

四、拓展延伸

在一些逻辑问题中，当字面上并未出现“或”、“且”、“非”字样时，应从语句的陈述中搞清含义，从而解决问题．

例：

小李参加全国数学联赛，有三名同学对他作如下猜测：

甲：

小李非第一名，也非第二名；乙：

小李非第一名，而是第三名；

丙：

小李非第三名，而是第一名．竞赛结束后发现，一人全猜对，一人猜对一半，一人全猜错，问：

小李得了第几名？

由上可知：

甲、乙、丙均为“p且q”形式，所以猜对一半者也说了错误“命题”，即只有一个为真，所以可知是丙是真命题，因此小李得了第一名．还有一些逻辑问题，应从命题与命题之间关系去寻找解题思路．

例：

曾经在校园内发生过这样一件事：

甲、乙、丙、丁四名同学在教室前的空地上踢足球，忽然足球飞向了教室的一扇窗户，听到响声后，李主任走了过来，看着一地碎玻璃，问道：

“玻璃是谁打破的？

”甲：

是乙打破的；乙：

不是我，是丁打破的；丙：

肯定不是我打破的；丁：

乙在撒谎．

现在只知道有一个人说了真话，请你帮李主任分析：

谁打破了玻璃，谁说了真话．分析此题关键在于找清乙说的与丁说的是“p”与“非p”形式，因此说真话者可能是乙，也可能不是乙，是丁．由此分析可知，是丙打破的玻璃．

点评

这篇案例的突出特点是对知识的认知由浅入深，层层渐进．这篇案例的所有例子均结合学生的数学水平取自学生掌握的知识范围之内或者直接源于现实生活，这有利于学生对问题的实质的理解和掌握．如果在“建立模型”的结束时及时给出相关的例子，使学生正确区分哪些是简单命题，哪些是复合命题，学生的印象会更深．

4四种命题

教材分析

在初中，学生接触的简单的逻辑推理及命题间关系（原命题和逆命题）主要来源于几何知识，有很强的几何直观性，便于掌握．高中学生要面对大量代数命题，因此，很有必要学习四种命题及四者之间的关系，以适应高中数学学习的需要，这节课的主要教学目的就在于此．同时，这节课又是学习和运用反证法这种基本解题方法的基础．这节课的重点是四种命题间的关系．

学生现有的认知水平虽然脱离了初中阶段的简单几何知识，但是新的知识体系并未形成，因此，随着学生对概念理解的深入，这节课的例题将逐步引导学生理解几何命题，进而理解代数命题．这种处理方式符合学生的认知规律．

教学目标

通过这节课的教与学，应使学生初步理解四种命题及其关系，进而使学生掌握简单的推理技能，发展学生的思维能力．同时，帮助学生从几何推理向代数推理过渡．

任务分析

在这节课的教学过程中，要注意控制教学要求，即只研究比较简单的命题，而且命题的条件和结论比较明显；不研究含有逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题的逆命题、否命题和逆否命题．

这节中“若p则q”形式的命题中的“p”，“q”可以都是命题，也可以不都是命题，不能等同于前面的复合命题．

教学设计一、问题情境

在以前的数学学习中，有这样的知识：

菱形的对角线相互垂直．那么，这一真命题变一下形式是否真命题呢？

如：

“如果一个四边形对角线相互垂直，那么它是菱形”，再如：

“对角线不相互垂直的四边形不是菱形”．这些变形后的命题的真假是否和原命题有关呢？

为解决这一问题，这节课我们就来学习“四种命题”．

二、问题解决

首先让学生回忆初中学习过的有关命题的定义：

互逆命题、原命题、逆命题．（学生回答，教师补充完整）例：

如果原命题是

（1）同位角相等，两直线平行．让学生说出它的逆命题．

（2）两直线平行，同位角相等．再看下面的两个命题：

（3）同位角不相等，两直线不平行．（4）两直线不平行，同位角不相等．

在命题

（1）与命题（3）中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫作互否命题．把其中一个命题叫作原命题，另一个就叫作原命题的否命题．

在命题

（1）与命题（4）中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫作互为逆否命题．把其中一个命题叫作原命题，另一个就叫作原命题的逆否命题．换句话说：

（1）交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题．

（2）同时否定原命题的条件和结论，所得命题是否命题．

（3）交换原命题的条件和结论，并同时否定，所得命题是逆否命题．

一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用非p和非q分别表示p和q的否定．于是，四种命题的形式就是：

原命题：

若p则q．逆命题：

若q则p．否命题：

若非p则非q．逆否命题：

若非q而非p．

下面让学生考虑这样一个问题：

四种命题之间，任意两个是什么关系？

（学生回答，教师补充，最后出示下图）

给出一个命题：

“若a＝0，则ab＝0．”让学生写出其他三种命题，并判断四个命题的真假，然后考虑其他三种命题的真假是否与原命题的真假有某种关系．不难发现如下关系：

（1）原命题为真，它的逆命题不一定为真．

（2）原命题为真，它的否命题不一定为真．（3）原命题为真，它的逆否命题一定为真．

三、解释应用

［例题］

1.把下列命题先改写成“若p则q”的形式，再写出它们的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假．

（1）负数的平方是正数．

（2）正方形的四条边相等．

分析：

关键是找出原命题的条件p与结论q．

解：

（1）原命题可以写成：

若一个数是负数，则它的平方是正数．逆命题：

若一个数的平方是正数，则它是负数．逆命题为假．否命题：

若一个数不是负数，则它的平方不是正数．否命题为假．逆否命题：

若一个数的平方不是正数，则它不是负数．逆否命题为真．

（2）原命题可以写成：

若一个四边形是正方形，则它的四条边相等．逆命题：

若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．逆命题为假．否命题：

若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等．否命题为假．逆否命题：

若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形．逆否命题为真．

2.设原命题是“当c＞0时，若a＞b，则ac＞bc”，写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假．

分析：

“当c＞0时”是大前提，写其他命题时应该保留，原命题的条件是a＞b，结论是ac＞bc．

解：

逆命题：

当c