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单位根检验详解
第2节单位根检验
由于虚假回归问题的存在，因此检验变量的平稳性是一个必须解
决的问题。
在第十二章中介绍用相关图判断时间序列的平稳性。
这一章则给出序列平稳性的严格的统计检验方法，即单位根检验。
单位根检验有很多方法，这里主要介绍DF和ADF检验。
序列均值为0则无C,序列无时间趋势则无trend
在介绍单位根检验之前，先认识四种典型的非平稳随机过程。
1四种典型的非平稳随机过程
（1）随机游走过程。
2
yt=yt-i+ut,yo=0,utIID（0,-）
其均值为零，方差无限大（？
），但不含有确定性时间趋势。
（见图1a）
2
yt=+yt-i+5,yo=0,utIID（0,-）
其中〉称作位移项（漂移项）。
由上式知，E（yi）=:
（过程初始值的期望）。
将上式作如下迭代变换,
t
yt=+yt-i+ut=+（+yt-2+ut-i）+ut=…=t+yo+'u
i-4
tt
yt由确定性时间趋势项t和yo5组成。
可以把yo+'5看作随机
iAiJ
的截距项。
在不存在任何冲击Ut的情况下，截距项为y。
。
而每个冲
击Ut都表现为截距的移动。
每个冲击Ut对截距项的影响都是持久的，导致序列的条件均值发生变化，所以称这样的过程为随机趋势过程
（stochastictrendprocess），或有漂移项的非平稳过程（non-stationaryprocesswithdrift），见图2,虽然总趋势不变，但随机游走过程围绕趋势项上下游动。
由上式还可以看出，［是确定性
时间趋势项的系数（原序列％的增长速度）。
［为正时，趋势向上；-为负时，趋势向下。
因为对yt作一次差分后，序列就平稳了,
丄yt=yt-yt-1=:
+ut（平稳过程）
所以也称yt为差分平稳过程（difference-stationaryproces）?
是厶yt序列的均值，原序列yt的增长速度。
（3）趋势平稳过程
yt=0+1t+ut,ut=ut-1+vt,（‘<1,vtIID（0,2））
yt与趋势值飞+喘不同，差值为ut。
因为ut是平稳的，yt只会
暂时背离趋势。
yt+k的长期预测值将趋近于趋势线n+r（t+k）。
所以称
其为趋势平稳过程（trendstationaryprocess。
趋势平稳过程由确定
性时间趋势it所主导。
趋势平稳过程见图3,属于非平稳过程。
趋势平稳过程也称为退势平稳过程，因为减去趋势后，其为平稳过程，yt-it=0+ut。
yt='o+it+ut不必通过差分变为平稳过程。
因为趋势平稳过程的差分过程是过度差分过程。
yt=-1+ut-ut-i。
移动平均特征方程中含有单位根。
trendstationaryprocess
50
40
30
20
10
0
-10
-■■■I■■■■-■■■■■■■■■"■■■■■■■■■■■■■■■■-a■■■■||■■r■||■I■■■■■i■
50100l5020025030035。
400
图3yt=0.05+0・1t+AR
（1）,=0・8生成的序列
（4）趋势非平稳过程
yt=0+t+yt-i+ut,y0=0,utIID（0,二2）
其中0称作位移项（漂移项），：
•t称为趋势项。
上式是含有随机趋
势和确定性趋势的混合随机过程（见图4）。
图4y=0・01+0・01t+yt-i+山utIID（0,-2）生成的序列
对上式进行迭代运算（设定yo=0）
yt=i+t+yt-1+ut=l+t+[i+（t-1）+yt-2+ut-1]+ut
t
==y0+it+（t）t-（1+2+…+t）+'山
iT
tt
=yo+it+t2一（1+t）t+、u=（」一）t+二t2+、w,
2y22i吕
趋势非平稳过程是含有随机趋势和确定性趋势的混合过程。
趋势项中
包括t的1次和2次项。
这种过程在经济问题中非常少见。
下面分析随机趋势过程与平稳的AR
（1）过程的区别。
对于如下过程：
yt=0+1yt-1+Ut
当1=1时，yt是一个随机趋势过程；当11时，yt是一个均
值为亠的平稳过程。
1-%
随机趋势过程yt=0.1+yt-1+ut和带有漂移项的平稳过程yt=4+0.6yt-1+ut的比较见下图。
差别在于随机趋势过程的自回归系数为1，带有漂移项的平稳过程的自回归系数绝对值小于1。
40
30
20
10
0
-10
-20
stochastictrend一..AR⑴withmean
5DT10OT1^lr20Or25OT30^35^400
图5随机趋势过程和带有漂移项的平稳过程的比较
2、DF分布
（1）DF统计量的分布特征
三个简单的自回归模型:
yt=
叽5，yo=0，
utIID（0,r2）
（13.1）
yt=
「uw，yo=
2
0，utIID（0,-）
（13.2）
yt=
'■亠：
t■：
yt」ut，
2
yo=0，utIID（0,"）
（13.3）
其中■是漂移项，:
t是趋势项。
当真值1<1时，％是平稳的,当1=1时，yt是非平稳的。
现在以（13.1）式为例，讨论?
的分布特征如何。
若1=0，统计量t（?
）=二、t（T-1）,其极限分布为标准正态分布。
s（?
）
若-<1,统计量t（?
）=（）渐近服从标准正态分布。
当一：
=1时，变量非平稳，上述极限分布发生退化（方差为零）
定义DF统计量为：
DF=^
（2）DF统计量的分布特征与百分位数表
取样本容量T=100,分别用（13.3）、（13.2）和（13.1）各模拟10000次得到的DF的分布见图11。
红、绿、黑色直方图分别代表对应式子DF统计量的分布。
随着确定项的增加，分布越来越向左移。
黑色DF分布近似于t分布，但整体向左大约移动了1.6个单位。
图11DF统计量分布的蒙特卡罗模拟
Full（佃76）用蒙特卡罗模拟方法得到DF统计量的百分位数表,见附表5。
（3）进一步讨论
以上三个自回归模型对于研究实际经济变量太严格，还应该进一步讨论在AR（p）模型条件下，随机误差项非白噪声条件下，检验用统计量的分布特征。
（i）对于AR（p）过程
yt=1yt-1+2*2+…+pyt-p+u（13.4）
当％中含有单位根时，可以通过如下模型研究［=1条件下，检验用统计量DF的分布特征。
pj
yt=yt-1+'jyz+ut（13.5）
pp
其中-'i,j*=-v1,j=1,2,p,T。
i4T1
i为（13.4）式中的自回归系数。
为什么可以通过（13・5）式进行研
究呢？
看一个例子。
yt=iyt-i+2yt-2+3yt-3+u
上式右侧同时加减2yt-i，3yt-i，3yt-2然后合并同类项，
yt=iyt-i+2yt-i+3yt-i-2yt-i+2yt-2-3yt-i-3yt-2
+3yt-2+3yt-3+ut
=（i+2+3）yt-i-2yt-i-3yt-i-3yt-2+ut
=（i+2+3）yt-i-（2+3）yt-i-3yt-2+Ut
=-yt-i-i*yt-i-2*yt-2+ut
2
=:
yt-i4】〔叽+ut
j二
_3
其中1=\i，
iA
3
j*=-'i,j=i,2。
（i3.5）式中1的DF统计量的分布与yt=iyt-i+ut中］的DF统计
量的分布近似相同。
（i3.5）式中的差分项上yt-j,j=i,2,…,pT之
所以不会对DF统计量的分布产生影响是因为当ytI（i），则全部的
yt-jI（0）oyt与，yt-j的交叉积渐进被忽略，从而使两式中的DF
统计量的分布渐近相同。
当模型（i3・4）中含有位移项"■和趋势项：
t时，相应于1的DF统
计量的分布分别与模型（i3.2）和（i3・3）的DF统计量的分布渐近
相同
（ii）现在进一步放宽对yt的限制。
考虑如下AR
（1）过程
yt=yt-i+ut（13.6）
其中允许yt是一个ARMA（p,q），随机项ut是一个MA（q）过程（即
误差项ut中的自相关），甚至参数p,q的值也可未知。
则可以用下式研究：
和DF统计量的分布。
k
yt=?
yt-i+、?
yt-i+?
t（13.7）
i二
若一：
=1，上式是一个差分的AR（k）过程。
加入5滞后项的目的是捕捉（13.6）式误差项ut中的自相关。
（ut的自相关项对于模型（13.6）来说是移动平均项，所以「y滞后项的加入可以捕捉之。
）因为可逆的移动平均过程可以转化为一个无限阶的自回归过程，从而使?
t近似为一个白噪声过程。
Said-Dickey（1984）证明（13・7）式中］的DF统计量的分布与
（13.6）式中1的DF统计量的分布类似。
当（13・7）式中加入位移项
"■和趋势项:
t时，1的DF分布类似。
3、单位根检验
对于时间序列yt可用如下自回归模型检验单位根。
yt=yt-1+ut，
零假设和备择假设分别是：
Ho：
=1，
（yt非平稳）
H1：
<1，
（yt平稳）
在零假设成立条件下，用DF统计量进行单位根检验
DF=豊=——1
心响ytr
其中s（U）=；丄送Ut2叮-1^
若用样本计算的
DF>临界值，贝S接受Ho,yt非平稳；
DF<临界值，贝S拒绝Ho,yt是平稳的
图12单位根检验示意图
、卜\、、八
注意
（1）因为用DF统计量作单位根检验，所以此检验称作DF检
验（由Dickey-Fuller提出）。
（2）DF检验采用的是OLS估计。
（3）DF检验是左单端检验。
因为1>1意味着强非平稳，1<1意味着平稳。
当接受1<1,拒绝1=1时，自然也应拒绝1>1。
上述DF检验还可用另一种形式表达。
yt=:
yt-1+ut式两侧同减yt-1，得
yt=（-1）yt-1+ut,
令丫=:
-1,代入上式得厶y=「yt-1+ut,
与上述零假设和备择假设相对应，用于模型的零假设和备择假设是
Ho：
'=0，（y非平稳）
Hl：
P<0，（yt平稳）
这种变化并不影响DF统计量的值，所以检验规则仍然是：
若DF>临界值，则％是非平稳的；
若DF<临界值，则yt是平稳的。
这种检验方法是DF检验的常用方法。
（便于在计算机上实现）
举例说明以上两种单位根检验方法的DF值相同。
用同一组数据
yt得到的两个回归结果如下（括号内给出的是标准差），
y=0.1474yt-1
（13.8）
（0.1427）
s.e.=
:
0.87,
DW=
=1.93
?
t=0.8526yt-1
（13.9）
（0.1427）
s.e.=
:
0.87,
DW=
=1.93
对应（13.8）式，因零假设是1=1,所以统计量的计算方法是
对应（13.9）式，因零假设是「=0,所以统计量的计算方法是
两种计算方法的结果相同。
因为-5.97<-1.95（临界值），所以拒绝
Ho，认为yt是平稳的
注意:
（1）式子厶yt=5+u中‘yt和yt-1的下标分别为t和t-1，计
算时不要用错!
（2）在实际检验中，若Ho不能被拒绝，说明yt是非平稳序列（起码为一阶非平稳序列）。
接下来应该继续检验yt的平稳性。
即
2
yt=yt-i+ut,
直至结论为平稳为止。
从而获知yt为几阶单整序列
（3）当检验式中含有位移项」和趋势项:
t时
yt=l+yt-i+ut
yt=l+t+yt-i+ut
也可以把检验式写成如下形式
yt=J+'yt-i+ut
yt=i+：
t+「yt-i+ut
检验用临界值应分别从附表5的b,c部分中查找。
（4）厶yt=，yt-i+Ut的残差序列?
t不能存在自相关。
如存在自相关，说明yt不是一个AR（i）过程，则不能使用DF检验。
以上方法只适用于AR（i）过程的单位根检验。
当时间序列为AR（p）形式，或者由以上形式检验得到的残差序列存在自相关时，应米用如
下形式检验单位根。
k
yt=?
yt-i+'?
yt-i+v（i3.7）
i=1
因为上式中含有/yt的滞后项，所以对于’=0（yt非平稳）的检验称为增项DF检验或ADF检验。
、卜\、、八
注意:
（1）（13.7）式中yt滞后项个数k的选择准则是：
尽量小，以保持更大的自由度；充分大以消除Vt内的自相关。
（2）在前面已经证明，上式中检验单位根的统计量近似服从标准的DF分布，所以检验用临界值可以从附表5a部分中查找。
（3）当（13.7）式中含有位移项和趋势项:
t时，相应ADF检验用临界值应分别从附表5b,c部分中查找。
（4）因为实际经济时间序列一般不会是一个AR
（1）过程，所以最常用的单位根检验方法是ADF检验（增项DF检验）。
实际中并不知道被检验序列属于哪一种形式，怎样选择单位根检
验式呢？
一般方法是当被检验序列中存在趋势项时，则应该采用
（13.2）式和（13.3）式。
如不存在趋势项时，则应该采用（13.1）式。
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