复变函数课后习题答案.docx
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复变函数课后习题答案
复变函数课后习题答案
习题一答案1．求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数：
（1）
（2）（3）（4）解：
（1），因此：
，
（2），因此，，（3），因此，，（4）因此，，2．将下列复数化为三角表达式和指数表达式：
（1）
（2）（3）（4）（5）解：
（1）
（2）（3）（4）（5）3．求下列各式的值：
（1）
（2）（3）（4）（5）（6）解：
（1）
（2）（3）（4）（5）（6）4．设试用三角形式表示与解：
，所以，5．解下列方程：
（1）
（2）解：
（1）由此，
（2），当时，对应的4个根分别为：
6．证明下列各题：
（1）设则证明：
首先，显然有；
其次，因固此有从而。
（2）对任意复数有证明：
验证即可，首先左端，而右端，由此，左端=右端，即原式成立。
（3）若是实系数代数方程的一个根，那么也是它的一个根。
证明：
方程两端取共轭，注意到系数皆为实数，并且根据复数的乘法运算规则，，由此得到：
由此说明：
若为实系数代数方程的一个根，则也是。
结论得证。
（4）若则皆有证明：
根据已知条件，有，因此：
，证毕。
（5）若，则有证明：
，，因为，所以，，因而，即，结论得证。
7．设试写出使达到最大的的表达式，其中为正整数，为复数。
解：
首先，由复数的三角不等式有，在上面两个不等式都取等号时达到最大，为此，需要取与同向且，即应为的单位化向量，由此，，8．试用来表述使这三个点共线的条件。
解：
要使三点共线，那么用向量表示时，与应平行，因而二者应同向或反向，即幅角应相差或的整数倍，再由复数的除法运算规则知应为或的整数倍，至此得到：
三个点共线的条件是为实数。
9．写出过两点的直线的复参数方程。
解：
过两点的直线的实参数方程为：
，因而，复参数方程为：
其中为实参数。
10．下列参数方程表示什么曲线？
（其中为实参数）
（1）
（2）（3）解：
只需化为实参数方程即可。
（1），因而表示直线
（2），因而表示椭圆（3），因而表示双曲线11．证明复平面上的圆周方程可表示为，其中为复常数，为实常数证明：
圆周的实方程可表示为：
，代入，并注意到，由此，整理，得记，则，由此得到，结论得证。
12．证明：
幅角主值函数在原点及负实轴上不连续。
证明：
首先，在原点无定义，因而不连续。
对于，由的定义不难看出，当由实轴上方趋于时，，而当由实轴下方趋于时，，由此说明不存在，因而在点不连续，即在负实轴上不连续，结论得证。
13．函数把平面上的曲线和分别映成平面中的什么曲线？
解：
对于，其方程可表示为，代入映射函数中，得，因而映成的像曲线的方程为，消去参数，得即表示一个圆周。
对于，其方程可表示为代入映射函数中，得因而映成的像曲线的方程为，消去参数，得，表示一半径为的圆周。
14．指出下列各题中点的轨迹或所表示的点集，并做图：
解：
（1），说明动点到的距离为一常数，因而表示圆心为，半径为的圆周。
（2）是由到的距离大于或等于的点构成的集合，即圆心为半径为的圆周及圆周外部的点集。
（3）说明动点到两个固定点1和3的距离之和为一常数，因而表示一个椭圆。
代入化为实方程得（4）说明动点到和的距离相等，因而是和连线的垂直平分线，即轴。
（5），幅角为一常数，因而表示以为顶点的与轴正向夹角为的射线。
15．做出下列不等式所确定的区域的图形，并指出是有界还是无界，单连通还是多连通。
（1），以原点为心，内、外圆半径分别为2、3的圆环区域，有界，多连通
（2），顶点在原点，两条边的倾角分别为的角形区域，无界，单连通（3），显然，并且原不等式等价于，说明到3的距离比到2的距离大，因此原不等式表示2与3连线的垂直平分线即2.5左边部分除掉2后的点构成的集合，是一无界，多连通区域。
（4），显然该区域的边界为双曲线，化为实方程为，再注意到到2与到2的距离之差大于1，因而不等式表示的应为上述双曲线左边一支的左侧部分，是一无界单连通区域。
（5），代入，化为实不等式，得所以表示圆心为半径为的圆周外部，是一无界多连通区域。
习题二答案1．指出下列函数的解析区域和奇点，并求出可导点的导数。
（1）
（2）（3）（4）解：
根据函数的可导性法则（可导函数的和、差、积、商仍为可导函数，商时分母不为0），根据和、差、积、商的导数公式及复合函数导数公式，再注意到区域上可导一定解析，由此得到：
（1）处处解析，
（2）处处解析，（3）的奇点为，即，（4）的奇点为，2．判别下列函数在何处可导，何处解析，并求出可导点的导数。
（1）
（2）（3）（4）解：
根据柯西—黎曼定理：
（1），四个一阶偏导数皆连续，因而处处可微，再由柯西—黎曼方程解得：
，因此，函数在点可导，，函数处处不解析。
（2），四个一阶偏导数皆连续，因而处处可微，再由柯西—黎曼方程解得：
，因此，函数在直线上可导，，因可导点集为直线，构不成区域，因而函数处处不解析。
（3），四个一阶偏导数皆连续，因而处处可微，并且处处满足柯西—黎曼方程因此，函数处处可导，处处解析，且导数为（4），，，，因函数的定义域为，故此，处处不满足柯西—黎曼方程，因而函数处处不可导，处处不解析。
3．当取何值时在复平面上处处解析？
解：
，由柯西—黎曼方程得：
由
（1）得，由
（2）得，因而，最终有4．证明：
若解析，则有证明：
由柯西—黎曼方程知，左端右端，证毕。
5．证明：
若在区域D内解析，且满足下列条件之一，则在D内一定为常数。
（1）在D内解析，
（2）在D内为常数，（3）在D内为常数，（4）（5）证明：
关键证明的一阶偏导数皆为0！
（1），因其解析，故此由柯西—黎曼方程得------------------------
（1）而由的解析性，又有------------------------
（2）由
（1）、
（2）知，，因此即为常数
（2）设，那么由柯西—黎曼方程得，说明与无关，因而，从而为常数。
（3）由已知，为常数，等式两端分别对求偏导数，得----------------------------
（1）因解析，所以又有-------------------------
（2）求解方程组
（1）、
（2），得，说明皆与无关，因而为常数，从而也为常数。
（4）同理，两端分别对求偏导数，得再联立柯西—黎曼方程，仍有（5）同前面一样，两端分别对求偏导数，得考虑到柯西—黎曼方程，仍有，证毕。
6．计算下列各值（若是对数还需求出主值）
（1）
（2）（3）（4）（5）（6）解：
（1）
（2），为任意整数，主值为：
（3），为任意整数主值为：
（4）（5），为任意整数（6），当分别取0，1，2时得到3个值：
，，7．求和解：
，因此根据指数函数的定义，有，，（为任意整数）8．设，求解：
，因此9．解下列方程：
（1）
（2）（3）（4）解：
（1）方程两端取对数得：
（为任意整数）
（2）根据对数与指数的关系，应有（3）由三角函数公式（同实三角函数一样），方程可变形为因此即，为任意整数（4）由双曲函数的定义得，解得，即，所以，为任意整数10．证明罗比塔法则：
若及在点解析，且，则，并由此求极限证明：
由商的极限运算法则及导数定义知，由此，11．用对数计算公式直接验证：
（1）
（2）解：
记，则
（1）左端，右端，其中的为任意整数。
显然，左端所包含的元素比右端的要多（如左端在时的值为，而右端却取不到这一值），因此两端不相等。
（2）左端右端其中为任意整数，而不难看出，对于左端任意的，右端取或时与其对应；反之，对于右端任意的，当为偶数时，左端可取于其对应，而当为奇数时，左端可取于其对应。
综上所述，左右两个集合中的元素相互对应，即二者相等。
12．证明证明：
首先有，因此，第一式子证毕。
同理可证第二式子也成立。
13．证明（即）证明：
首先，，右端不等式得到证明。
其次，由复数的三角不等式又有，根据高等数学中的单调性方法可以证明时，因此接着上面的证明，有，左端不等式得到证明。
14．设，证明证明：
由复数的三角不等式，有，由已知，，再主要到时单调增加，因此有，同理，证毕。
15．已知平面流场的复势为
（1）
（2）（3）试求流动的速度及流线和等势线方程。
解：
只需注意，若记，则流场的流速为，流线为，等势线为，因此，有
（1）流速为，流线为，等势线为
（2）流速为，流线为，等势线为（3）流速为，流线为，等势线为习题三答案1．计算积分，其中为从原点到的直线段解：
积分曲线的方程为，即，，代入原积分表达式中，得2．计算积分，其中为
（1）从0到1再到的折线
（2）从0到的直线解：
（1）从0到1的线段方程为：
，从1到的线段方程为：
，代入积分表达式中，得；
（2）从0到的直线段的方程为，，代入积分表达式中，得，对上述积分应用分步积分法，得3．积分，其中为
（1）沿从0到
（2）沿从0到解：
（1）积分曲线的方程为，，代入原积分表达式中，得
（2）积分曲线的方程为，，代入积分表达式中，得4．计算积分，其中为
（1）从1到+1的直线段
（2）从1到+1的圆心在原点的上半圆周解：
（1）的方程为，代入，得
（2）的方程为，代入，得5．估计积分的模,其中为+1到-1的圆心在原点的上半圆周。
解：
在上，=1，因而由积分估计式得的弧长6．用积分估计式证明：
若在整个复平面上有界，则正整数时其中为圆心在原点半径为的正向圆周。
证明：
记，则由积分估计式得，因，因此上式两端令取极限，由夹比定理，得，证毕。
7．通过分析被积函数的奇点分布情况说明下列积分为0的原因，其中积分曲线皆为。
（1）
（2）（3）（4）（5）解：
各积分的被积函数的奇点为：
（1），
（2）即，（3）（4）为任意整数，（5）被积函数处处解析，无奇点不难看出，上述奇点的模皆大于1，即皆在积分曲线之外，从而在积分曲线内被积函数解析，因此根据柯西基本定理，以上积分值都为0。
8．计算下列积分：
（1）
（2）（3）解：
以上积分皆与路径无关，因此用求原函数的方法：
（1）
（2）（3）9．计算，其中为不经过的任一简单正向闭曲线。
解：
被积函数的奇点为，根据其与的位置分四种情况讨论：
（1）皆在外，则在内被积函数解析，因而由柯西基本定理
（2）在内，在外，则在内解析，因而由柯西积分公式：
（3）同理，当在内，在外时，（4）皆在内此时，在内围绕分别做两条相互外离的小闭合曲线，则由复合闭路原理得：
注：
此题若分解，则更简单！
10．计算下列各积分解：
（1），由柯西积分公式
（2），在积分曲线内被积函数只有一个奇点，故此同上题一样：
（3）在积分曲线内被积函数有两个奇点，围绕分别做两条相互外离的小闭合曲线，则由复合闭路原理得：
（4），在积分曲线内被积函数只有一个奇点1，故此（5），在积分曲线内被积函数有两个奇点，围绕分别做两条相互外离的小闭合曲线，则由复合闭路原理得：
（6）为正整数，由高阶导数公式11．计算积分，其中为
（1）
（2）（3）解：
（1）由柯西积分公式
（2）同理，由高阶导数公式（3）由复合闭路原理，其中，为内分别围绕0，1且相互外离的小闭合曲线。
12．积分的值是什么？
并由此证明解：
首先，由柯西基本定理，，因为被积函数的奇点在积分曲线外。
其次，令，代入上述积分中，得考察上述积分的被积函数的虚部，便得到，再由的周期性，得即，证毕。
13．设都在简单闭曲线上及内解析，且在上，证明在内也有。
证明：
由柯西积分公式，对于内任意点，，由已知，在积分曲线上，，故此有再由的任意性知，在内恒有，证毕。
14．设在单连通区域内解析，且，证明
（1）在内；
（2）对于内任一简单闭曲线，皆有证明：
（1）显然，因为若在某点处则由已知，矛盾！
（也可直接证明：
，因此，即，说明）（3）既然，再注意到解析，也解析，因此由函数的解析性法则知也在区域内解析，这样，根据柯西基本定理，对于内任一简单闭曲线，皆有，证毕。
15．求双曲线（为常数）的正交（即垂直）曲线族。
解：
为调和函数，因此只需求出其共轭调和函数，则便是所要求的曲线族。
为此，由柯西—黎曼方程，因此，再由知，，即为常数，因此，从而所求的正交曲线族为（注：
实际上，本题的答案也可观察出，因极易想到解析）16．设，求的值使得为调和函数。
解：
由调和函数的定义，因此要使为某个区域内的调和函数，即在某区域内上述等式成立，必须，即。
17．已知，试确定解析函数解：
首先，等式两端分别对求偏导数，得----------------------------------
（1）-------------------------------
（2）再联立上柯西—黎曼方程------------------------------------------------------（3）----------------------------------------------------（4）从上述方程组中解出，得这样，对积分，得再代入中，得至此得到：
由二者之和又可解出，因此，其中为任意实常数。
注：
此题还有一种方法：
由定理知由此也可很方便的求出。
18．由下列各已知调和函数求解析函数解：
（1），由柯西—黎曼方程，，对积分，得，再由得，因此，所以，因，说明时，由此求出，至此得到：
，整理后可得：
（2），此类问题，除了上题采用的方法外，也可这样：
，所以，其中为复常数。
代入得，，故此（3）同上题一样，，因此，其中的为对数主值，为任意实常数。
（4），，对积分，得再由得，所以为常数，由知，时，由此确定出，至此得到：
，整理后可得19．设在上解析，且，证明证明：
由高阶导数公式及积分估计式，得，证毕。
20．若在闭圆盘上解析，且，试证明柯西不等式，并由此证明刘维尔定理：
在整个复平面上有界且处处解析的函数一定为常数。
证明：
由高阶导数公式及积分估计式，得，柯西不等式证毕；下证刘维尔定理：
因为函数有界，不妨设，那么由柯西不等式，对任意都有，又因处处解析，因此可任意大，这样，令，得，从而，即，再由的任意性知，因而为常数，证毕。
习题四答案1．考察下列数列是否收敛，如果收敛，求出其极限．
（1）解：
因为不存在，所以不存在，由定理4.1知，数列不收敛．
（2）解：
，其中，则．因为，，所以由定义4.1知，数列收敛，极限为0．（3）解：
因为，，所以由定义4.1知，数列收敛，极限为0．（4）解：
设，则，因为，都不存在，所以不存在，由定理4.1知，数列不收敛．2．下列级数是否收敛？
是否绝对收敛?
（1）解：
，由正项级数的比值判别法知该级数收敛，故级数收敛，且为绝对收敛．
（2）解：
，因为是交错级数，根据交错级数的莱布尼兹审敛法知该级数收敛，同样可知，也收敛，故级数是收敛的．又，因为发散，故级数发散，从而级数条件收敛．（3）解：
，因级数发散，故发散．（4）解：
，由正项正项级数比值判别法知该级数收敛，故级数收敛，且为绝对收敛．3．试确定下列幂级数的收敛半径．
（1）解：
，故此幂级数的收敛半径．
（2）解：
，故此幂级数的收敛半径．（3）解：
，故此幂级数的收敛半径．（4）解：
令，则，故幂级数的收敛域为，即，从而幂级数的收敛域为，收敛半径为．4．设级数收敛，而发散，证明的收敛半径为．证明：
在点处，，因为收敛，所以收敛，故由阿贝尔定理知，时，收敛，且为绝对收敛，即收敛．时，，因为发散，根据正项级数的比较准则可知，发散，从而的收敛半径为1，由定理4.6，的收敛半径也为1．5．如果级数在它的收敛圆的圆周上一点处绝对收敛，证明它在收敛圆所围的闭区域上绝对收敛．证明：
时，由阿贝尔定理，绝对收敛．时，，由已知条件知，收敛，即收敛，亦即绝对收敛．6．将下列函数展开为的幂级数，并指出其收敛区域．
（1）解：
由于函数的奇点为，因此它在内处处解析，可以在此圆内展开成的幂级数．根据例4.2的结果，可以得到．将上式两边逐项求导，即得所要求的展开式=．
（2）解：
①时，由于函数的奇点为，因此它在内处处解析，可以在此圆内展开成的幂级数．===．②时，由于函数的奇点为，因此它在内处处解析，可以在此圆内展开成的幂级数．==．（3）解：
由于函数在复平面内处处解析，所以它在整个复平面内可以展开成的幂级数．．（4）解：
由于函数在复平面内处处解析，所以它在整个复平面内可以展开成的幂级数．（5）解：
由于函数在复平面内处处解析，所以它在整个复平面内可以展开成的幂级数．=．（6）解：
由于函数在复平面内处处解析，所以它在整个复平面内可以展开成的幂级数．===．7．求下列函数展开在指定点处的泰勒展式，并写出展式成立的区域．
（1）解：
，，．由于函数的奇点为，所以这两个展开式在内处处成立．所以有：
．
（2）解：
由于所以．（3）解：
=．展开式成立的区域：
，即（4）解：
，，，……，，，……，故有因为的奇点为，所以这个等式在的范围内处处成立。
8．将下列函数在指定的圆域内展开成洛朗级数．
（1）解：
,故有
（2）解：
①在内②在内（3）解：
①在内，②在内（4）解：
在内（5）解：
在内故有9．将在的去心邻域内展开成洛朗级数．解：
因为函数的奇点为，所以它以点为心的去心邻域是圆环域．在内又故有10．函数能否在圆环域内展开为洛朗级数？
为什么？
答：
不能。
函数的奇点为,，所以对于，内都有的奇点，即以为环心的处处解析的圆环域不存在，所以函数不能在圆环域内展开为洛朗级数．习题五答案1．求下列各函数的孤立奇点，说明其类型，如果是极点，指出它的级．
（1）解：
函数的孤立奇点是，因由性质5.2知，是函数的1级极点，均是函数的2级极点．
（2）解：
函数的孤立奇点是，因，由极点定义知，是函数的2级极点．（3）解：
函数的孤立奇点是，因，由性质5.1知，是函数可去奇点．（4）解：
函数的孤立奇点是,①，即时，因所以是的3级零点，由性质5.5知，它是的3级极点②，时，令，，因，，由定义5.2知，是的1级零点，由性质5.5知，它是的1级极点（5）解：
函数的孤立奇点是,令，，①时，，，，由定义5.2知，是的2级零点，由性质5.5知，它是的2级极点，故是的2级极点．②时，，，由定义5.2知，是的1级零点，由性质5.5知，它是的1级极点，故是的１级极点．（６）解：
函数的孤立奇点是，令，，①时，因，所以是的2级零点，从而它是的2级极点．②时，，，由定义5.2知，是的1级零点，由性质5.5知，它是的１级极点．2．指出下列各函数的所有零点，并说明其级数．
（1）解：
函数的零点是，记，①时，因，故是的2级零点．②时，，，由定义5.2知，是的1级零点．
（2）解：
函数的零点是，因，所以由性质5.4知，是的2级零点．（3）解：
函数的零点是，，，，记，①时，是的1级零点，，的1级零点，的2级零点，所以是的4级零点．②，时，，，由定义5.2知，，是的1级零点．③，时，，，由定义5.2知，，是的1级零点．3．是函数的几级极点？
答：
记，则，，，，，将代入，得：
，，由定义5.2知，是函数的5级零点，故是的10级极点．4．证明：
如果是的级零点，那么是的级零点．证明：
因为是的级零点，所以，，即，，由定义5.2知，是的级零点．5．求下列函数在有限孤立奇点处的留数．
（1）解：
函数的有限孤立奇点是，且均是其1级极点．由定理5.2知，，．
（2）解：
函数的有限孤立奇点是，且是函数的3级极点，由定理5.2，，．（3）解：
函数的有限孤立奇点是，因所以由定义5.5知，．（4）解：
函数的有限孤立奇点是，因所以由定义5.5知，．（5）解：
函数的有限孤立奇点是，因所以由定义5.5知，．（6）解：
函数的有限孤立奇点是．①，即，因为所以是的2级极点．由定理5.2，．②时，记，则，因为，所以由定义5.2知，是的1级零点，故它是的1级极点．由定理5.3，．6．利用留数计算下列积分（积分曲线均取正向）．
（1）解：
是被积函数在积分区域内的有限孤立奇点，且为2级极点，由定理5.2，，由定理5.1知，．
（2）解：
是被积函数在积分区域内的有限孤立奇点，且为1级极点，所以由定理5.1及定理5.2，．（3）解：
是被积函数在积分区域内的有限孤立奇点，因为，所以由性质5.1知是函数的可去奇点，从而由定理5.1，，由定理5.1，．（4）解：
是被积函数在积分区域内的有限孤立奇点，且为2级极点，由定理5.2，，由定理5.1，．（5）解：
是被积函数在积分区域内的有限孤立奇点，由性质5.6知是函数的1级极点，由定理5.1，．（6）解：
被积函数在积分区域内的有限孤立奇点为：
，由定理5.3，这些点均为的1级极点，且由定理5.1，．7．计算积分，其中为正整数，．解：
记，则的有限孤立奇点为，且为级极点，分情况讨论如下：
①时，均在积分区域内，由定理5.1，故有．②时，均不在积分区域内，所以．③时，在积分区域内，不在积分区域内，所以习题五8．判断是下列各函数的什么奇点？
求出在的留数。
解：
（1）因为所以，是的可去奇点，且。
（2）因为所以于是，是的本性奇点，且。
（3）因为所以容易看出，展式中由无穷多的正幂项，所以是的本性奇点。
。
（4）因为所以是的可去奇点。
。
9．计算下列积分：
解：
（1）
（2）从上式可知，所以。
10．求下列各积分之值：
（1）解：
设则，。
于是
（2）解：
设则，。
于是（3）解：
显然，满足分母的次数至少比分子的次数高二次，且在实轴上没有奇点，积分是存在的。
在上半平面内只有一个奇点，且为2级极点。
于是（4）解：
显然，满足分母的次数至少比分子的次数高二次，且在实轴上没有奇点，积分是存在的。
在上半平面内只有和二个奇点，且都为1级极点。
于是所以（5）解：
显然，满足分母的次数至少比分子的次数高一次，且在实轴上没有奇点，在上半平面内只有一个奇点，且为1级极点。
于是（6）解：
显然，满足分母的次数至少比分子的次数高一次，且在实轴上没有奇点，在上半平面内只有一个奇点，且为1级极点。
于是11．利用对数留数计算下列积分：
解：
（1），这里为函数在内的零点数，为在内的极点数。
（2）这里为函数在内的零点数，为在内的极点数；为函数在内的零点数，为在内的极点数。
（3）这里为函数在内的零点数，为在内的极点数。
（4）这里为函数在内的零点数，为在内的极点数。
12．证明方程有三个根在环域内证明：
令，。
因为当时，有所以，方程与在内根的数
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