七年级数学相交线与平行线讲义.docx

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七年级数学相交线与平行线讲义

相交线与平行线

一、相交线同步知识梳理

1．如果两个角有一条公共边，并且它们的另一边互为反向延长线，那么具有这种关系的两个角叫做互为邻补角．

2．如果两个角有公共顶点，并且其中一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，那么具有这种位置关系的两个角叫做对顶角．

3．对顶角的重要性质是对顶角相等．

4．当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．

5．垂线的性质

性质1：

平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．

性质2：

连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．

6．直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离．

7．内错角为“Z”型，同位角为“F”型，同旁内角为“U”型。

2、同步题型分析

题型1：

对顶角以及邻补角

例题1：

图中是对顶角的是（）．

例题2：

如图，∠1的邻补角是（）．

（A）∠BOC（B）∠BOC和∠AOF

（C）∠AOF（D）∠BOE和∠AOF

题型2：

垂线

例题3：

如图，直线AB，CD互相垂直，记作______；直线AB，CD互相垂直，垂足为O点，记作____________；线段PO的长度是点_________到直线_________的距离；点M到直线AB的距离是_______________．

题型3：

同位角、内错角、同旁内角

例题4：

如图所示，图中用数字标出的角中，同位角有______；内错角有______；同旁内角有______．

三、课堂达标检测

1、如图所示，直线l1，l2，l3相交于一点，则下列答案中，全对的一组是（）．

（A）∠1＝90°，∠2＝30°，∠3＝∠4＝60°

（B）∠1＝∠3＝90°，∠2＝∠4＝30°

（C）∠1＝∠3＝90°，∠2＝∠4＝60°

（D）∠1＝∠3＝90°，∠2＝60°，∠4＝30°

2、判断正误

（1）如果两个角相等，那么这两个角是对顶角．（）

（2）如果两个角有公共顶点且没有公共边，那么这两个角是对顶角．（）

（3）有一条公共边的两个角是邻补角．（）

（4）如果两个角是邻补角，那么它们一定互为补角．（）

（5）对顶角的角平分线在同一直线上．（）

（6）有一条公共边和公共顶点，且互为补角的两个角是邻补角．（）

3、如图，过A点作CD⊥MN，过A点作PQ⊥EF于B．

图a图b图c

4、如图，过A点作BC边所在直线的垂线EF，垂足是D，并量出A点到BC边的距离．

5、如图，下列结论正确的是（）．

（A）∠5与∠2是对顶角（B）∠1与∠3是同位角

（C）∠2与∠3是同旁内角（D）∠1与∠2是同旁内角

6、如图，直线AB，CD与直线EF，GH分别相交，图中的同旁内角共有（）．

（A）4对（B）8对

（C）12对（D）16对

一、平行线及其判定同步知识梳理

1．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．若直线a与直线b平行，则记作a∥b．

2．在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交、平行．

3．平行公理是：

经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．

4．平行公理的推论是如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．即三条直线a，b，c，若a∥b，b∥c，则a∥c．

5．两条直线平行的条件（除平行线定义和平行公理推论外）：

（1）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．这个判定方法1可简述为：

同位角相等，两直线平行．

（2）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．这个判定方法2可简述为：

内错角相等，两直线平行．

（3）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．这个判定方法3可简述为：

同旁内角互补，两直线平行．

二、同步题型分析

题型1：

例题1：

如图，根据下列条件，可推得哪两条直线平行？

并说明理由•

⑴∠CBD＝∠ADB；

⑵∠BCD＋∠ADC＝180°

⑶∠ACD＝∠BAC

例题2：

已知：

如图，请分别依据所给出的条件，判定相应的哪两条直线平行?

并写出推理的根据．

（1）如果∠2＝∠3，那么____________．

（____________，____________）

（2）如果∠2＝∠5，那么____________．

（____________，____________）

（3）如果∠2＋∠1＝180°，那么____________．

（____________，____________）

（4）如果∠5＝∠3，那么____________．

（____________，____________）

（5）如果∠4＋∠6＝180°，那么____________．

（____________，____________）

（6）如果∠6＝∠3，那么____________．

（____________，____________）

例题3：

已知：

如图，请分别根据已知条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由．

（1）∵∠B＝∠3（已知），

∴______∥______．（____________，____________）

（2）∵∠1＝∠D（已知），

∴______∥______．（____________，____________）

（3）∵∠2＝∠A（已知），

∴______∥______．（____________，____________）

（4）∵∠B＋∠BCE＝180°（已知），

∴______∥______．（____________，____________）

例题4：

已知：

点P是∠AOB内一点．过点P分别作直线CD∥OA，直线EF∥OB．

三、课堂达标检测

1、如图①不能判定

∥

的一组条件是（）

A．∠1=∠2B．∠1=∠5C．∠3=∠4D．∠2=∠6

2、如图②能够判定DE∥BC的条件是（）

A．∠DCE+∠DEC=

B．∠EDC=∠DCB

C．∠BGF=∠DCBD．CD⊥AB，GF⊥AB

3、已知：

如图，∠1＝∠2．求证：

AB∥CD．

（1）分析：

如图，欲证AB∥CD，只要证∠1＝______．

证法1：

∵∠1＝∠2，（已知）

又∠3＝∠2，（）

∴∠1＝_______．（）

∴AB∥CD．（___________，___________）

（2）分析：

如图，欲证AB∥CD，只要证∠3＝∠4．

证法2：

∵∠4＝∠1，∠3＝∠2，（）

又∠1＝∠2，（已知）

从而∠3＝_______．（）

∴AB∥CD．（___________，___________）

4、如图，AD平分∠BAC，EF平分∠DEC，且∠1＝∠2，试说明DE与AB的位置关系.

解：

∵AD是∠BAC的平分线（已知）

∴∠BAC＝2∠1（角平分线定义）

又∵EF平分∠DEC（已知）

∴（）

又∵∠1＝∠2（已知）

∴（）

∴AB∥DE（）

5、已知：

如图，CD⊥DA，DA⊥AB，∠1＝∠2．试确定射线DF与AE的位置关系，并说明你的理由．

（1）问题的结论：

DF______AE．

（2）证明思路分析：

欲证DF______AE，只要证∠3＝______．

（3）证明过程：

证明：

∵CD⊥DA，DA⊥AB，（）

∴∠CDA＝∠DAB＝______°．（垂直定义）

又∠1＝∠2，（）

从而∠CDA－∠1＝______－______，（等式的性质）

即∠3＝＿＿＿．

∴DF＿＿＿AE．（＿＿＿＿，＿＿＿＿）

6、已知：

如图，∠ABC＝∠ADC，BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC．且∠1＝∠3．

求证：

AB∥DC．

证明：

∵∠ABC＝∠ADC，

（）

又∵BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC，

（）

∴∠______＝∠______．（）

∵∠1＝∠3，（）

∴∠2＝∠______．（等量代换）

∴______∥______．（）

7、已知：

如图，∠1＝∠2，∠3＋∠4＝180°．试确定直线a与直线c的位置关系，并说明你的理由．

（1）问题的结论：

a______c．

（2）证明思路分析：

欲证a______c，只要证______∥______且______∥______．

（3）证明过程：

证明：

∵∠1＝∠2，（）

∴a∥______．（________，________）①

∵∠3＋∠4＝180°，（）

∴c∥______．（________，________）②

由①、②，因为a∥______，c∥______，

∴a______c．（________，________）

8、如图，∠D=∠A，∠B=∠FCB，求证：

ED∥CF．

一、能力培养

1、如图，已知AB、CD、EF相交于点O，AB⊥CD，OG平分∠AOE，∠FOD＝28°，求∠COE、∠AOE、∠AOG的度数．

2、如图所示,L1,L2,L3交于点O,∠1=∠2,∠3:

∠1=8:

1,求∠4的度数.

3、已知：

如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COB，∠AOD∶∠DOE＝4∶1．求∠AOF的度数．

解析：

考察角平分线的性质，对顶角的性质

4、当两条直线相交于一点时，共有2对对顶角；

当三条直线相交于一点时，共有6对对顶角；

当四条直线相交于一点时，共有12对对顶角.

问：

当有100条直线相交于一点时共有对顶角.

5、已知平面内有一条直线m及直线外三点A，B，C，分别过这三个点作直线m的垂线，想一想有几个不同的垂足?

画图说明．

6、已知点M，试在平面内作出四条直线l1，l2，l3，l4，使它们分别到点M的距离是1.5cm．

·M

2、已知∠B＝∠C，∠1＝∠2。

求证：

AE∥DF。

二、能力点评

相交线方面主要是考察基本概念和性质，尤其是在角平分线的性质方面需要加强。

垂线主要是考察垂线的做法以及点到直线的距离情况，平行线方面主要是考察平行线的判定。

主要是为后期学习平行线的性质以及坐标轴做准备。

学法升华

一、知识收获

主要是通过学习，掌握相交线的基本特点，运用相交线的三线八角解决对顶角以及平行线的判定问题

二、方法总结与技巧提炼

内错角为“Z”型，同位角为“F”型，同旁内角为“U”型，主要是见角找边，如，已知：

如图，∠1＝∠2．求证：

AB∥CD．我们可以知道∠1与∠2公用了EF这条边，然后只需要在EF这条边所截的三线八角中找到相等或互补关系的角即可。

课后作业

1、如图，∠EAC＝∠ADB＝90°.下列说法正确的是（）

A．α的余角只有∠BB．α的邻补角是∠DAC

C．∠ACF是α的余角D．α与∠ACF互补

2、如图，已知直线AB、CD被直线EF所截，则∠EMB的同位角为（）

A．∠AMFB．∠BMFC．∠ENCD．∠END

3、下列语句中正确的是（）

A．在同一平面内，一条直线只有一条垂线

B．过直线上一点的直线只有一条

C．过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条

D．垂线段就是点到直线的距离

4、如图，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，则下列结论中，正确的个数有（）

①AB⊥AC②AD与AC互相垂直③点C到AB的垂线段是线段AB④线段AB的长度是点B到AC的距离⑤垂线段BA是点B到AC的距离⑥AD＞BD

A．0B．2C．4D．6

5、点A、B、C是直线l上的三点，点P是直线l外一点，且PA＝4cm，PB＝5cm，PC＝6cm，则点P到直线l的距离是（）

A．4cmB．5cmC．小于4cmD．不大于4cm

6、将一副直角三角板按图所示的方法旋转（直角顶点重合），则∠AOB＋∠DOC＝.

7、如图，矩形ABCD沿EF对折，且∠DEF＝72°，则∠AEG＝.

8、在同一平面内，若直线a1∥a2,a2⊥a3,a3∥a4,…则a1a10.（a1与a10不重合）

9、如图所示，直线a、b被直线c所截，现给出下列四个条件：

①∠1＝∠5，②∠1＝∠7，③∠2＋∠3＝180°，④∠4＝∠7，其中能判断a∥b的条件的序号是.

10、在同一平面内两条直线的位置关系有.

11、如图，已知BE平分∠ABD，DE平分∠CDB，且∠E＝∠ABE＋∠EDC．试说明AB∥CD？

12、如图，已知BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，∠1＝∠2，那么直线AB与CD的位置关系如何？

13、如图，推理填空：

⑴∵∠A＝（已知）

∴AC∥ED（）

⑵∵∠2＝（已知）

∴AC∥ED（）

⑶∵∠A＋＝180°（已知）

∴AB∥FD．

14、如图，请你填上一个适当的条件使AD∥BC．