1718版 必修5 第1章 12 第2课时 角度问题.docx

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1718版必修5第1章12第2课时角度问题

第2课时　角度问题

1．能灵活运用正弦定理及余弦定理解决角度问题．（重点）

2．会将实际问题转化为解三角形问题．（难点）

3．能根据题意画出几何图形．（易错点）

[基础·初探]

教材整理　方位角

阅读教材P15例6和P19A组T1，完成下列问题．

方位角

从指北方向顺时针转到目标方向线所成的水平角．如点B的方位角为α（如图1216所示）．

方位角的取值范围：

0°～360°.

图1216

1．判断（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）如图1217所示，该角可以说成北偏东110°.（　　）

图1217

（2）方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系，其范围均是.（　　）

（3）方位角210°的方向与南偏西30°的方向一致．（　　）

【解析】　

（1）×，因本图所标角应为方位角，可以说成点A的方位角为110°.

（2）×，因为方向角的范围为0°～90°，而方位角的范围

为0°～360°.

（3）√，由方位角与方向角的定义知正确．

【答案】　

（1）×　

（2）×　（3）√

2．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系是

（　　）

A．α＞βB．α＝β

C．α＋β＝90°D．α＋β＝180°

【解析】　要正确理解仰角、俯角的含义，准确地找出仰角、俯角的确切位置，如图，在A处望B处的仰角α与从B处望A处的俯角β是内错角（根据水平线平行），即α＝β.

【答案】　B

3．某人从A处出发，沿北偏东60°行走3km到B处，再沿正东方向行走2km到C处，则A，C两地的距离为________km.

【解析】　如图所示，由题意可知

AB＝3，BC＝2，∠ABC＝150°.

由余弦定理得

AC2＝27＋4－2×3×2×cos150°＝49，AC＝7.

所以A，C两地的距离为7km.

【答案】　7

[小组合作型]

角度问题

（1）如图1218，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的（　　）

A．北偏东10°

B．北偏西10°

C．南偏东80°

D．南偏西80°

图1218

（2）有一拦水坝的横断面是等腰梯形，它的上底长为6m，下底长为10m，高为2m，那么此拦水坝斜坡的坡比和坡角分别是（　　）

A.，60°B.，60°

C.，30°D.，30°

【精彩点拨】　

（1）两座灯塔A、B与观察站C的距离相等，说明∠A与∠B有何大小关系？

灯塔B在观察站南偏东60°，说明∠CBD是多少度？

（2）本小题关键是理解坡比与坡角的意义．

【自主解答】　

（1）由条件及图可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.

（2）如图所示，横断面是等腰梯形ABCD，AB＝10m，CD＝6m，高DE＝2m，则AE＝＝2m，

∴tan∠DAE＝＝＝，

∴∠DAE＝60°.

【答案】　

（1）D　

（2）B

测量角度问题画示意图的基本步骤

[再练一题]

1．在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行，此时，风向是北偏东30°，风速是20km/h；水的流向是正东，流速是20km/h，若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的速度的方向为北偏东________，大小为________km/h.【解析】　∠AOB＝60°，由余弦定理知OC2＝202＋202－800cos120°＝1200，故OC＝20，∠COY＝30°＋30°＝60°.

【答案】　60°　20

求航向的角度

　某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45°，距离为10nmile的C处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9nmile/h的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以21nmile/h的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间．

【精彩点拨】　本题中所涉及的路程在不断变化，但舰艇和渔轮相遇时所用时间相等，先设出所用时间t，找出等量关系，然后解三角形．

【自主解答】　如图所示，根据题意可知AC＝10，∠ACB＝120°，设舰艇靠近渔轮所需的时间为th，并在B处与渔轮相遇，则AB＝21t，BC＝9t，在△ABC中，根据余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos120°，所以212t2＝102＋81t2＋2×10×9t×，即360t2－90t－100＝0，解得t＝或t＝－（舍去）．所以舰艇靠近渔轮所需的时间为h.

此时AB＝14，BC＝6.

在△ABC中，根据正弦定理得＝，

所以sin∠CAB＝＝，

即∠CAB≈21.8°或∠CAB≈158.2°（舍去）．

即舰艇航行的方位角为45°＋21.8°＝66.8°.

所以舰艇以66.8°的方位角航行，需h才能靠近渔轮．

1．测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．

2．在解三角形问题中，求某些角的度数时，最好用余弦定理求角．因为余弦函数在（0，π）上是单调递减的，而正弦函数在（0，π）上不是一一对应，一个正弦值可以对应两个角．但角在上时，用正、余弦定理皆可．

[再练一题]

2．某海上养殖基地A，接到气象部门预报，位于基地南偏东60°相距20（＋1）nmile的海面上有一台风中心，影响半径为20nmile，正以每小时10nmile的速度沿某一方向匀速直线前进，预计台风中心将从基地东北方向刮过且＋1h后开始影响基地持续2h．求台风移动的方向．

【解】　如图所示，设预报时台风中心为B，开始影响基地时台风中心为C，基地刚好不受影响时台风中心为D，则B、C、D在一直线上，且AD＝20，AC＝20.

由题意AB＝20（＋1），DC＝20，

BC＝（＋1）·10.

在△ADC中，∵DC2＝AD2＋AC2，

∴∠DAC＝90°，∠ADC＝45°.

在△ABC中，由余弦定理得

cos∠BAC＝＝.

∴∠BAC＝30°，

又∵B位于A南偏东60°，60°＋30°＋90°＝180°，

∴D位于A的正北方向，

又∵∠ADC＝45°，

∴台风移动的方向为向量的方向．即北偏西45°方向．

答：

台风向北偏西45°方向移动．

[探究共研型]

求解速度问题

探究1　某物流投递员沿一条大路前进，从A到B，方位角是50°，距离是4km，从B到C，方位角是80°，距离是8km，从C到D，方位角是150°，距离是6km，试画出示意图．

【提示】　如图所示：

探究2　在探究1中，若投递员想在半小时之内，沿小路直接从A点到C，则此人的速度至少是多少？

【提示】　在上图中，在△ABC中，∠ABC＝50°＋（180°－80°）＝150°，由余弦定理得AC＝＝4，则此人的最小速度为v＝＝8（km/h）．

探究3　在探究1中若投递员以24km/h的速度匀速沿大路从A到D前进，10分钟后某人以16km/h的速度沿小路直接由A到C追投递员，问在C点此人能否与投递员相遇？

【提示】　投递员到达C点的时间为t1＝＝（小时）＝30（分钟），追投递员的人所用时间由探究2可知

t2＝＝（小时）＝15分钟；由于30>15＋10，所以此人在C点能与投递员相遇．

　如图1219所示，一辆汽车从O点出发沿一条直线公路以50公里/小时的速度匀速行驶（图中的箭头方向为汽车行驶方向），汽车开动的同时，在距汽车出发点O点的距离为5公里、距离公路线的垂直距离为3公里的M点的地方有一个人骑摩托车出发想把一件东西送给汽车司机．问骑摩托车的人至少以多大的速度匀速行驶才能实现他的愿望，此时他驾驶摩托车行驶了多少公里？

图1219

【精彩点拨】　根据已知图形构造三角形，利用余弦定理建立速度与时间的函数求解．

【自主解答】　作MI垂直公路所在直线于点I，则MI＝3，

∵OM＝5，∴OI＝4，∴cos∠MOI＝.

设骑摩托车的人的速度为v公里/小时，追上汽车的时间为t小时，

由余弦定理得（vt）2＝52＋（50t）2－2×5×50t×，

即v2＝－＋2500＝252＋900≥900，

∴当t＝时，v取得最小值为30，

∴其行驶距离为vt＝＝公里．

故骑摩托车的人至少以30公里/小时的速度行驶才能实现他的愿望，此时他驾驶摩托车行驶了公里．

解决实际问题应注意的问题

（1）首先明确题中所给各个角的含义，然后分析题意，分析已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键最主要的一步．

（2）将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，要正确使用正、余弦定理解决问题．

[再练一题]

3．如图1220，在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处（－1）nmile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A处2nmile的C处的缉私船奉命以10nmile/h的速度追截走私船．此时，走私船正以10nmile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿着什么方向能最快追上走私船？

图1220

【解】　设缉私船用th在D处追上走私船，

则有CD＝10t，BD＝10t，

在△ABC中，∵AB＝－1，AC＝2，∠BAC＝120°，

∴由余弦定理，得

BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝（－1）2＋22－2·（－1）·2·cos120°＝6，

∴BC＝，

且sin∠ABC＝·sin∠BAC＝·＝，

∴∠ABC＝45°，

∴BC与正北方向垂直．

∵∠CBD＝90°＋30°＝120°，

在△BCD中，由正弦定理，得

sin∠BCD＝＝＝，

∴∠BCD＝30°.

即缉私船沿北偏东30°方向能最快追上走私船.

1．海上A、B两个小岛相距10nmile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C间的距离是（　　）

A．10nmileB.nmile

C．5nmileD．5nmile

【解析】　如图．∵＝，

∴BC＝×10＝5（nmile）．

【答案】　D

2．如图1221，线段AB，CD分别表示甲，乙两楼，AB⊥BD，CD⊥BD，从甲楼顶部A处测得乙楼顶部C处的仰角为α＝30°，测得乙楼底部D的俯角β＝60°，已知甲楼高AB＝24米，则乙楼高CD为（　　）

A．28米B．30米

C．36米D．32米

图1221

【解析】　过A作AE⊥CD，垂足为E，ED＝AB＝24米，则AE＝＝＝8（米），

在Rt△ACE中，CE＝AE·tan30°＝8×＝8（米），

∴CD＝CE＋ED＝8＋24＝32（米）．

【答案】　D

3．已知两灯塔A和B与海洋观测站C的距离都等于akm，灯塔A在观测站C的北偏东20°，灯塔B在观测站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为________km.

【解析】　∠ACB＝120°，AC＝BC＝a，由余弦定理，

得AB2＝a2＋a2－2a×a×cos120°＝3a2，AB＝a.

【答案】　a

图1222

4．一轮船从A点沿北偏东70°的方向行驶10海里至海岛B，又从B沿北偏东10°的方向行驶10海里至海岛C，若此轮船从A点直接沿直线行驶至海岛C，则此船沿________方向行驶________海里至海岛C.

【解析】　在△ABC中，∠ABC＝110°＋10°＝120°.

又AB＝BC，故∠CAB＝∠ACB＝30°，

AC＝＝10.

故此船沿着北偏东70°－30°＝40°方向行驶10海里到达海岛C.

【答案】　北偏东40°　10

图1223

5．如图1223，某海轮以60海里/小时的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东60°，向北航行40分钟后到达B点，测得油井P在南偏东30°，海轮改为北偏东60°的航向再行驶80分钟到达C点，求P，C间的距离．

【解】　因为AB＝40，∠A＝120°，∠ABP＝30°，

所以∠APB＝30°，所以AP＝40，

所以BP2＝AB2＋AP2－2AP·AB·cos120°

＝402＋402－2×40×40×＝402×3，

所以BP＝40.

又∠PBC＝90°，BC＝80，

所以PC2＝BP2＋BC2＝（40）2＋802＝11200，

所以PC＝40海里．