程序课程设计报告B样条.docx
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程序课程设计报告B样条
程序课程设计报告
2012年7月10日
B样条方法与十二生肖图的设计专业：
信息与计算科学
班级：
信10-1
题目：
B样条方法与十二生肖图的设计
组长：
马金松
组员：
马浩辰薛俊杰
指导教师：
张彩霞
时间：
2012.07.10
摘要：
我们研究的课题是B样条方法与十二生肖图的设计，因为感觉这个课题比较贴近实际情况，而且此类问题使我们从未接触过的，希望能从这次时间学习中学到更多的matlab以及VC应用知识。
在数学的子学科数值分析里，B-样条是样条曲线一种特殊的表示形式。
它是B-样条基曲线的线性组合。
B-样条是贝兹曲线的一种一般化，可以进一步推广为非均匀有理B样条（NURBS），使得我们能给更多一般的几何体建造精确的模型。
术语B样条是IsaacJacobSchoenberg创造的，是基（basis）样条的缩略 B样条曲线曲面具有几何不变性、凸包性、保凸性、变差减小性、局部支撑性等许多优良性质，是目前CAD系统常用的几何表示方法，因而基于测量数据的参数化和B样条曲面重建是反求工程的研究热点和关键技术之一。
Abstract:
关键词：
B-样条基曲线贝兹曲线Ｂ样条分段混合函数
Keywords:
1.引言
因为我们的选题是《B样条方法与十二生肖图的设计》，它的实际意义在于利用所学过的数学工具，根据B样条函数的原理。
利用一系列曲线绘制出想要的图案。
B样条函数的性质
许多与贝塞尔基函数的相似。
1Ni,p（u）是一个在u上的p次多项式
2非负性--对所有的i,p和u,Ni,p（u）是非负的
3局部支撑（LocalSupport）--Ni,p（u）是在[ui,ui+p+1）上的非零多项式这个在前面已经讨论过。
4在任一区间[ui,ui+1）,最多有p+1个p次的基函数非零，即:
Ni-p,p（u）,Ni-p+1,p（u）,Ni-p+2,p（u）,...,和Ni,p（u）
5单位分解（PartitionofUnity）--所有非零的p次基函数在区间[ui,ui+1）上的和（sum）是1:
上一条性质表明Ni-p,p（u）,Ni-p+1,p（u）,Ni-p+2,p（u）,...,和Ni,p（u）在[ui,ui+1）上非零这条性质说明这些p+1个基函数的累加和1.
6如果节点数是m+1,基函数的次数是p,而p次基函数的数目是n+1,，那么m=n+p+1:
这不难理解。
设Nn,p（u）是最后一个p次基函数。
它在[un,un+p+1）上非零因为它是最后一个基函数，un+p+1肯定是最后一个节点um。
因此，我们有un+p+1=um及n+p+1=m.总之，给定m和p,设n=m-p-1则p次基函数是N0,p（u）,N1,p（u）,N2,p（u）,...,和Nn,p（u）.
7基函数Ni,p（u）是p次多项式的复合曲线，连接点在[ui,ui+p+1）上的节点处。
上一页的例子很好地说明了这个性质。
例如N0,2（u）,其在[0,3）上非零，是由定义在[0,1）,[1,2）和[2,3）上的三个抛物线构建而成。
它们在节点2和3处连接在一起。
.
8在一个有重复度k的节点处，基函数Ni,p（u）是Cp-k连续的。
因此，增加重复度减小连续性的层次（level），增加次数增加连续性。
上述2次基函数N0,2（u）在节点2和3处是C1连续的，因为它们是简单节点。
比较三次B样条曲线与三次Bezier曲线的特性
B样条方法是在保留Bezier方法的优点，同时克服其由于整体表示带来不具有局部性质的缺点，及解决在描述复杂形状时带来的连接问题下提出来的。
常用的cad设计中之所以选用3次B样条而不用更高次是因为次数越高，控制点影响的曲线段数就越多，不利于局部控制；而三次Bezier曲线意味着必须有4个控制顶点。
他们的区别主要有以下4点：
1、Bezier曲线的基函数次数等于控制顶点数减1。
B样条曲线基函数次数与控制顶点数无关；2、Bezier曲线的基函数是Beinstein基函数，它是个多项式函数。
B样条曲线的基函数是多项式样条。
3、Bezier曲线是一种特殊表示形式的参数多项式曲线。
B样条曲线则是一种特殊表示形式的参数样条曲线。
4、Bezier曲线缺乏局部性质，即修改任意一个控制顶点都会对曲线整体产生影响。
B样条曲线具有性质，即修改一个控制顶点只会对几段曲线产生影响。
基于B样条曲线是分段的Bézier曲线段的集合这一数学特性,通过剖析三次均匀B样条曲线的数学表达及其几何意义,由曲线的几何特性给出了各曲线段Bézier点的几何表示.每段B样条曲线段（三次Bézier曲线段）对应的4个Bézier特征顶点,可以导出该曲线段的B样条基函数.依此为基础,描述了三次均匀B样条曲线构造的原理和过程,并给出了不同曲线段数情况下曲线特征构造和插值构造的相关公式.
针对本次课题，我们先选出需要绘制的生肖图案，根据需要计算出所需函数，最后再利用matlab工具绘制。
2.课题中涉及的算法的基本思想或基本原理
Ｂ样条曲线的数学表达式为：
在上式中，0≤t≤1；i=0,1,2,…,m
所以可以看出：
Ｂ样条曲线是分段定义的。
如果给定m+n+1个顶点Pi（i=0,1,2,…,m+n），则可定义m+1段n次的参数曲线。
在以上表达式中：
Fk,n（t）为n次B样条基函数，也称Ｂ样条分段混合函数。
其表达式为：
式中：
0≤t≤1k=0,1,2,…,n。
连接全部曲线段所组成的整条曲线称为n次Ｂ样条曲线。
依次用线段连接点Pi+k（k=0,1,…,n）所组成的多边折线称为Ｂ样条曲线在第i段的Ｂ特征多边形。
在二次Ｂ样条曲线中，n=2,k=0,1,2
故其基函数形式为：
有了基函数，因此可写出二次Ｂ样条曲线的分段表达式为：
（i=0,1,2,…,m） m+1段
写成一般的矩阵形式为：
式中，Ｂk为分段曲线的Ｂ特征多边形的顶点：
B0,B1,B2。
对于第i段曲线的Bk即为：
Pi,Pi+1,Pi+2连续的三个顶点。
（见下图）
3.算法实现步骤及真实图像实验结果
首先我们绘制出了想要的结果的草图，然后根据草图，定义出控制顶点，（因为b样条曲线就是根据控制顶点，控制多边形来绘制图形。
）
从而绘制出控制多边形，然后根据b养条曲线的定义，编辑出代码，将代码输入进matlab软件中，绘制出想要的结果。
4.结论：
（本课题研究了什么，有什么意义，如何做的，掌握了什么知识，提高了。
。
。
水平等等）
本次课题研究的是b样条曲线以及利用它绘制出十二生肖图案。
我们选择绘制“狗”的图案。
经过两周的努力我们成功完成任务。
在这两周的学习中，我们认识到了b样条曲线在实际应用中的重要地位，也通过这次学习再一次深刻的了解到数学软件的重要性。
我们在图书馆查阅资料，在网上搜集不明白的问题。
最终章掌握了b样条曲线的实际意义，提高了数学水平，也提高了数学软件的应用能力。
真可谓受益匪浅。
参考文献（5-8篇）
XX文库
数字图像处理及MATLAB实现杨杰主编电子工业出版社
计算机图形学孙立镌主编哈尔滨工业大学出版社
VisualC++实践与提高----数学图像处理与工程应用篇中国铁道出版社
附录：
a=[11.59.57.55758.5975;13.51414.510.58.53.50.581114];
fori=1:
7;
foru=0:
0.001:
1;
b0=1.0./6.*（1-u）.^3;
b1=1.0./6.*（3.*u.^3-6.*u.^2+4）;
b2=1.0./6.*（-3.*u.^3+3.*u.^2+3.*u+1）;
b3=1.0./6.*u.^3;
x=b0.*a（1,i）+b1.*a（1,i+1）+b2.*a（1,i+2）+b3.*a（1,i+3）;
y=b0.*a（2,i）+b1.*a（2,i+1）+b2.*a（2,i+2）+b3.*a（2,i+3）;
line（x,y）;
end
end
>>holdon
a=[8.456.13.75154.756.7553.25;6.7577.25320.513.56];
fori=1:
6;
>>holdon
a=[7.28.29.210.210.7111210.29.27.6;14131315.51715.5161211.711.4];
>>holdon
a=[8.49.2101112;12.611.81111.812.6];
fori=1:
2;
>>holdon
a=[11.31110.711.411.912.611.713.211.69.610.110.29.18.47.7;13.711.89.98.58.565.222.77.22.7223.55];
fori=1:
12;
>>holdon
a=[4.555.56.26.9;43.5333];
fori=1:
2;
>>holdon
a=[456.27.56.24.9;5.53.51.51.534.5];
fori=1:
3;
>>holdon
a=[5.542.52.52.5;9.28.27.25.14.0];
fori=1:
2;
>>holdon
a=[9.28.78.27.98.28.58.8;12.412.412.411.811.811.912];
fori=1:
4;
>>holdon
a=[8.958.78.458.38.15;12.412.412.41211.6];
fori=1:
2;
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