数学建模A.docx
《数学建模A.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学建模A.docx（35页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
数学建模A
2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：
我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：
所属学校（请填写完整的全名）：
参赛队员（打印并签名）：
1.
2.
3.
指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：
日期：
年月日
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛
编号专用页
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：
评
阅
人
评
分
备
注
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：
全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
城市表层土壤重金属污染分析
摘要
【摘要】本文是以城市表层土壤金属污染为背景，并结合给出的数据，研究了8种主要重金属As、Cd、Cr、Cu、Hg、Ni、Pb、Zn对某城市不同功能区的污染。
我们首先对基本数据进行分析，并结合相关的资料，建立了模型，解决了题目所给的4个问题。
针对问题1：
通过对数据的处理，运用matlab,surfer等软件分别绘制出该城市土壤中8种重金属浓度的立体曲面图和平面等值线图，从而得到主要重金属元素在该城区的空间分布。
然后在excel中对各功能区的重金属含量进行排序，求出相对应的土壤环境质量指数（取样点位土壤中重金属元素污染物的实测的浓度/背景值），参照《土壤环境质量评价分析》[3]，分别对各个功能区的8种重金属污染物环境质量指数划分等级并进行统计，绘出各个功能区污染等级图，从而对该城区内不同区域重金属的污染程度进行了较为客观地分析；
针对问题2:
首先计算了8种重金属的浓度分布，从分布的异常情况来考察人类活动对环境的影响。
其次，计算了各重金属元素之间的相关系数，由此判断污染的主要原因。
并通过相关数据分析予以佐证；
针对问题3：
运用隔离法以汞为例，在地图的一个局部分析其扩散特征。
运用matlab进行拟合，对单污染源建立了相应的数学模型，并运用叠加原理将其推广到多污染源情形；
针对问题4：
对问题3产生的误差进行了分析，问题3之所以产生较大的误差，主要与过多的雨水冲刷产生的随机性有关。
为了得到更好的模型，应该收集降雨量，土壤蓄水能力等一系列数据。
关键词：
重金属表层土壤扩散模型拟合
一、问题重述
1.1.问题背景
随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响日显突出。
对城市土壤地质环境异常的查证，以及开展城市环境质量评价，研究人类活动影响下城市地质环境的演变模式，日益成为人们关注的焦点。
现对某城市的生活区、工业区、山区、主干道路区及公园绿地区等，土壤地质环境进行调查，让我们更加深刻地体会到重金属污染。
1.2.问题提出
将该城区划分为间距1公里左右的网格子区域，按照每平方公里1个采样点对表层土（0~10厘米深度）进行取样、编号，并用GPS记录采样点的位置，每个样本所含的多种化学元素的浓度数据。
另一方面，按照2公里的间距在那些远离人群及工业活动的自然区取样，将其作为该城区表层土壤中元素的背景值。
题目给了采样点的位置、海拔高度及其所属功能区、8种主要重金属元素在采样点处的浓度以及8种主要重金属元素的背景值等信息。
。
通过以上数据要求通过数学建模来完成以下任务：
（1）给出8种主要重金属元素在该城区的空间分布，并分析该城区内不同区域重金属的污染程度。
（2）通过数据分析，说明重金属污染的主要原因。
（3）分析重金属污染物的传播特征，由此建立模型，确定污染源的位置。
（4）分析你所建立模型的优缺点，为更好地研究城市地质环境的演变模式，还应收集什么信息？
有了这些信息，如何建立模型解决问题？
二、基本假设
1．污染源处的重金属浓度不发生改变
2．海拔高度对重金属的扩散无影响
3.取样点的数据可以较好的反应附近重金属的浓度
4.自然区为无污染区，背景值即为标准值
三、符号说明
x…………取样点的横坐标
y…………取样点的纵坐标
pip…………土壤中重金属污染物i的单项污染指数
ci…………调查点位土壤中重金属污染物的实测浓度（mg/kg）
sip…………重金属污染物i的背景值（mg/kg）
qi…………重金属污染物i的浓度
r…………采样点距坐标原点的距离
四、问题的分析
首先，绘出该城市城区的地形图（等高线法）及采样点分布图如下：
从图上可以看出，该城地势平缓，基本是平原地貌。
同时从采样点的分布来看，在海拔为0的地区无任何采样点。
基本可以判断这些无采样点的地域为水域。
大体上可以判断这是一个沿海的半岛。
根据地理特点，可以做两个基本假设。
一是在考虑污染物的扩散时，基于平缓的地势，可以忽略高差的影响。
二是由于沿海地区充沛的降雨，应该充分考虑雨水对污染物扩散的影响，这样污染物的分布必然会有较大的随机性。
其次，用matlab插值法[1]建立三维模型,利用surfer软件做出各重金属元素在该城区的浓度分布图，见附件1
为了把各个重金属的污染程度更清楚的体现出来，我们进一步绘制了他们的等污染值曲线图。
见附件2，从这些图形上可以看出，城市的西南角是污染比较集中的地方。
尤其是铬（Cr）、铜（Cu）、镍（Ni）和铅（Pb）基本只集中在这一带。
这一带远离山区，更说明我们研究污染物扩散时忽略高差是合理的。
此时一地的污染程度应该主要和距离污染源的距离有关。
五、模型的建立及求解
问题
（1）8种重金属元素在城区的空间分布在附件1、2中已经体现出来了。
在分析城区内不同区域重金属污染程度之前，我们必须先给污染程度一个量化的定义。
我们假定背景是无污染的。
定义污染指数如下：
=
/
其中
表示某金属在某区域的污染指数，
表示该区域土壤的对应的金属的浓度，
表示该金属的背景值。
我们认为，污染指数小于1时无污染；污染指数在1、2之间为轻微污染；污染指数在2、3之间为轻度污染；污染指数在3、5之间为中度污染；污染指数在5以上为重度污染[3]。
用此公式计算得到下表，表中给出了8种重金属元素在5类功能区中采样点的详细污染指数分布。
功能区
无污染
轻微污染
轻度污染
中度污染
重度污染
As
生活区
5
25
12
2
0
工业区
5
16
12
1
2
山区
36
24
5
1
0
交通区
23
92
20
1
2
公园绿地区
4
22
8
1
0
Cd
生活区
7
17
13
5
2
工业区
2
9
11
11
3
山区
33
26
5
2
0
交通区
16
41
37
30
14
公园绿地区
6
18
4
4
3
Cr
生活区
4
31
5
2
2
工业区
7
21
6
1
1
山区
33
24
8
0
1
交通区
16
99
14
5
4
公园绿地区
2
30
2
1
0
Cu
生活区
2
16
8
9
9
工业区
1
7
9
6
13
山区
31
28
5
1
1
交通区
2
45
20
36
35
公园绿地区
2
16
15
0
2
Hg
生活区
13
12
8
5
6
工业区
5
9
4
4
14
山区
30
31
4
0
1
交通区
44
36
14
19
29
公园绿地区
11
10
4
6
4
Ni
生活区
7
31
6
0
0
工业区
6
21
8
1
0
山区
33
25
6
1
1
交通区
24
104
8
1
1
公园绿地区
9
23
3
0
0
Pb
生活区
6
24
8
4
2
工业区
0
16
10
6
4
山区
34
29
1
2
0
交通区
17
59
36
22
4
公园绿地区
2
24
3
4
2
Zn
生活区
5
20
6
9
4
工业区
1
13
8
9
5
山区
36
28
11
1
0
交通区
16
42
36
21
23
公园绿地区
10
17
4
1
3
无污染
轻微污染
轻度污染
中度污染
重度污染
As
生活区
11.11%
55.56%
26.67%
4.44%
0.00%
工业区
13.16%
42.11%
31.58%
2.63%
5.26%
山区
52.17%
34.78%
7.25%
1.45%
0.00%
交通区
16.20%
64.79%
14.08%
0.70%
1.41%
公园绿地区
10.00%
55.00%
20.00%
2.50%
0.00%
Cd
生活区
15.56%
37.78%
28.89%
11.11%
4.44%
工业区
5.26%
23.68%
28.95%
28.95%
7.89%
山区
47.83%
37.68%
7.25%
2.90%
0.00%
交通区
11.27%
28.87%
26.06%
21.13%
9.86%
公园绿地区
15.00%
45.00%
10.00%
10.00%
7.50%
Cr
生活区
8.89%
68.89%
11.11%
4.44%
4.44%
工业区
18.42%
55.26%
15.79%
2.63%
2.63%
山区
47.83%
34.78%
11.59%
0.00%
1.45%
交通区
11.27%
69.72%
9.86%
3.52%
2.82%
公园绿地区
5.00%
75.00%
5.00%
2.50%
0.00%
Cu
生活区
4.44%
35.56%
17.78%
20.00%
20.00%
工业区
2.63%
18.42%
23.68%
15.79%
34.21%
山区
44.93%
40.58%
7.25%
1.45%
1.45%
交通区
1.41%
31.69%
14.08%
25.35%
24.65%
公园绿地区
5.00%
40.00%
37.50%
0.00%
5.00%
Hg
生活区
28.89%
26.67%
17.78%
11.11%
13.33%
工业区
13.16%
23.68%
10.53%
10.53%
36.84%
山区
43.48%
44.93%
5.80%
0.00%
1.45%
交通区
30.14%
24.66%
9.59%
13.01%
19.86%
公园绿地区
27.50%
25.00%
10.00%
15.00%
10.00%
Ni
生活区
15.56%
68.89%
13.33%
0.00%
0.00%
工业区
15.79%
55.26%
21.05%
2.63%
0.00%
山区
47.83%
36.23%
8.70%
1.45%
1.45%
交通区
16.90%
73.24%
5.63%
0.70%
0.70%
公园绿地区
22.50%
57.50%
7.50%
0.00%
0.00%
Pb
生活区
13.33%
53.33%
17.78%
8.89%
4.44%
工业区
0.00%
42.11%
26.32%
15.79%
10.53%
山区
49.28%
42.03%
1.45%
2.90%
0.00%
交通区
11.97%
41.55%
25.35%
15.49%
2.82%
公园绿地区
5.00%
60.00%
7.50%
10.00%
5.00%
Zn
生活区
11.11%
44.44%
13.33%
20.00%
8.89%
工业区
2.63%
34.21%
21.05%
23.68%
13.16%
山区
45.57%
35.44%
13.92%
1.27%
0.00%
交通区
11.27%
29.58%
25.35%
14.79%
16.20%
公园绿地区
25.00%
42.50%
10.00%
2.50%
7.50%
为了更直观的看到全市的污染程度，我们做了详图，见附件3
对各功能区内的采样点的污染程度求一下平均值，得到下表：
环境质量指数
功能区
As（μg/g）
Cd（ng/g）
Cr（μg/g）
Cu（μg/g）
Hg（ng/g）
Ni（μg/g）
Pb（μg/g）
Zn（μg/g）
生活区
1.74
2.23
2.23
3.74
2.66
1.49
2.23
3.43
工业区
2.01
3.02
1.72
9.66
18.35
1.61
3.00
4.03
山区
1.12
1.17
1.26
1.31
1.17
1.26
1.18
1.06
交通区
1.59
2.77
1.87
4.71
12.77
1.43
2.05
3.52
公园绿地区
1.74
2.16
1.41
2.29
3.29
1.24
1.96
2.24
以上对8种重金属的污染程度分别作了分析，下面综合考虑它们总的污染效果，这里我们使用内梅罗综合污染指数法：
得下表：
功能区
生活区
工业区
山区
交通区
公园绿地区
综合污染指数
2.95
7.10
1.12
3.59
1.88
从这个表中可以看出污染最严重的是工业区，而污染最轻的是山区，这和人们的常识是吻合的。
问题
（2）：
在问题
（1）中计算了城区各地的污染程度，为了进一步确定这些重金属超出标准的浓度和人类活动的相关性，我们计算了各种金属元素的浓度分布，见附件4。
容易看出，这些分布和正常的正态分布有很大的偏离，这说明当前的重金属污染是人类活动造成的。
在问题
（1）的回答中我们已经发现，工业区的污染水平远超过其他功能区。
这说明污染主要来自工业生产产生的废气废水和废渣。
为了对各个重金属元素的污染原因做更详细的分析。
我们做出了重金属元素间的相关性分析表如下：
相关性系数
As
Cd
Cr
Cu
Hg
Ni
Pb
Zn
As
1
Cd
0.254705
1
Cr
0.188956
0.352408
1
Cu
0.159724
0.396697
0.53156
1
Hg
0.064398
0.264681
0.531524
0.416683
1
Ni
0.31656
0.26482
0.531494
0.416699
0.102938
1
Pb
0.289903
0.264742
0.531663
0.416653
0.102946
0.306789
1
Zn
0.246899
0.265125
0.53161
0.416686
0.102946
0.307084
0.493654
1
从表里可以看出，Cr和Cu、Hg、Ni具有较高的相关性。
而从等污染值曲线中（见附件2）也可以看出，这四种元素的污染基本集中在城市西南角一带。
由此大体可以判断，在城市西南角有一个主要产生铬、铜、汞、镍这些垃圾的工厂。
该工厂是这四种元素污染的主要原因。
进一步，编写程序搜索发现，第30个采样点（坐标（4948,7293,6,2）是唯一一个8种重金属元素的污染指数都大于2.8的点。
（污染指数分别是：
As5.11，Cd4.85，Cr3.12，Cu8.70，Hg18.43，Ni2.83，Pb4.21，Zn23.57）这同样说明在这一地带（西南角）是污染的来源。
该工厂对8种元素的污染应该都有一定责任。
至于其他地段的污染，应该主要是来自生活垃圾和汽车尾气。
像锌和镍都是电池的重要原料，而生活垃圾中就包含废旧电池。
另外，很多型号的汽油都是含铅的，所以汽车尾气中必然含有大量的铅。
问题（3）
我们首先来研究最简单的情形，假设只有一个污染源，污染源的浓度为定值，一地的污染物浓度是该地与污染源的的距离的函数，并且可以假设函数和自变量是反相关的（即距离越大，浓度越低）。
于是我们用距离的倒数的多项式函数来进行拟合。
即：
，其中r为污染源到所求地点的距离，f为多项式函数。
y为所求浓度。
为了排除干扰，我们采用隔离法，即取一最接近单污染源模型的某个局部，这里我们选取的是Hg的污染图。
Hg的污染图上有3个可以隔离出来的局部，有利于我们研究。
实际操作中我们选取了两处。
在含量较低的汞分布密集的地区，选取一部分有效数据用matlab进行拟合[2]。
（程序见附件５）
同理可以求出另一密集点的拟合图形和方程：
方程为
y=6.8999*1.0e+007*（1/r）^2-0.0149*1.0e+007*（1/r）+1
根据拟合情况，我们确定所求函数为
y=2.9093*1.0e+008*（1/r）^2-0.0028*1.0e+008*（1/r）+1
对于多污染源的情形，可以把各单污染源的函数叠加起来，但在实际操作中我们发现误差较大。
在以上的模型中我们事实上已经假定了污染源就是污染物浓度的极大值点，通过编程搜索极值，我们得到8个元素的污染物浓度最大值点坐标分别为：
（18134,10046,41,4）,（21439,11383,45,4）,（3299,6018,4,4）,（2383,3692,7,2）,
（2708,2295,22,4）,（3299,6018,4,4）（4777,4897,8,1）,（13797,9621,18,4）
其中前三个分量为空间坐标（x，y，z），最后一个分量代表功能区。
由于水流及风向的影响，上面各点可能与真正的污染源有一定偏离，为了消除误差，我们综合考虑，搜出了一个总体污染最大点，其坐标为（4948,7293,6,2），
大致可以断定，城市的主要污染来源即在这一点附近。
问题（4）
问题（3）中我们的模型有一定误差。
，其原因可能是：
1、拟合函数的选取不够精确，从而导致计算结果误差较大；
2、与八种重金属元素的相关性分析（见问题
（2））可以看出其他金属元素可能会对Hg元素的扩散产生影响，导致A的偏差；
3、周围环境对Hg的扩散也有一定影响.
经过仔细分析模型的优缺点，为更好的研究城市环境的演变模式，还应该收集该地区的每年生活、工业等重要污染源的垃圾排放量，以及每年的生物降解量、降雨量对重金属元素扩散的影响，空气污染也应考虑进去。
然后建立因子分析法，回归分析，曲线拟合等模型解决问题。
土壤学家研究认为：
工业发达程度越高，速度越快，对土壤的污染就越严重，每年对土壤中污染物的叠加不是等量的，对土壤的污染也不是等速的，而是加速的。
人类在环境保护方面做出努力，会使工业发展对土壤的影响维持在一个特定的水平上。
环境保护意识强的地区，其工业发展对土壤质量影响是等速的；反之，环境意识弱的地区工业发展对土壤质量影响是加速的。
因此，土壤的污染过程可归纳为两阶段:
一是加速阶段，二是匀速阶段[4]。
设累积加速率（A）及现速率（V）：
由于我国环境意识的建立与环保措施的实施时间不长，各地区和城市的环保力度也不尽一致。
因此，我们将把改变的新模型对北京某市1997～2000年的土壤重金属污染物的浓度进行分析，得到土壤污染以加速进行，之后以等速发展。
1．单位质量土壤中重金属污染物现积累量（Q）的计算模型为：
（其中a为浅层土壤某元素含量值；b为元素土壤基准值）
Q=a-b………………
（1）
2．利用下面
（2），（3）式模型分别计算土壤重金属污染在加速污染过程中的累积加速率A和等速污染过程中的现速率V：
（T为重金属累积年限）
A=2Q/T2……………………
（2）
V=A×T……………………（3）
3．加速污染招标年限预测模型
在环境意识差、没有采取有效环境保护措施前提下，重金属在土壤中加速污染，设土壤重金属污染招标年限为t，则有
c-a=V×t+1/2A×t2……………………（4）
把
（2）、（3）代入（4）得：
t2+60t=900（c-a）/（a-b）…………
得
）…………（5）
其中c为土壤环境质量标准，不同功能区选择不同级别的评价标准。
4．匀速污染超标年限预测模型
环境意识加强、采取相关保护措施不变前提下，重金属在土壤中的污染将以等速发展，此时设土壤环境重金属污染超标年限t，则有
t=Q/V………………（6）
将
（1）（3）代入（6），得到匀速污染条件下重金属元素超标年限t的计算公式为：
T=15（c-a）/（a-b）
六、参考文献
[1]蒙以正，《matlab5.X应用与技巧》，北京：
科学出版社，1999．
[2]赵静，但琦，《数学建模与数学实验》，北京：
高等教育出版社，2010.
[3]夏家淇，蔡道基，夏曾禄等GB15618-1995土壤环境质量标准[S]，北京：
中国环境科学出版社，1995.
[4]范迪福，翁志华，江苏省潭水县土壤环境污染预警预测方法探讨[J]，江苏地质，2005,29
（2）：
88-93
[5]刘昌眀，岳天祥，周成虎，《地理学的数学模型与应用》，北京：
科学出版社，2000.
附件
附件1
As的浓度
Cd的浓度
Cr的浓度
Cu的浓度
Hg的浓度
Ni的浓度
Pb的浓度
：
Zn的浓度
附件2
As的分布图
Cd的分布图
Cr的分布图
Cu的分布图
Hg的分布图
Ni的分布图
Pb的分布图
Zn的分布图
附件3：
As含量等级分布图
升级会员 