著名机构初中数学培优讲义立体图形的展开图第01讲A级教师版.docx
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著名机构初中数学培优讲义立体图形的展开图第01讲A级教师版
立体图形的展开图
内容
基本要求
略高要求
较高要求
立体图形的展开图
会画基本几何体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）；了解直棱柱、圆锥的侧面展开图；了解基本几何体的展开图（球除外）；观察与现实生活有关的图片，并能对形状、大小和相a互位置作做简单的描述．
能根据直棱柱、圆锥的展开图判断立体模型．
正方形展开图的知识要点：
第一类：
有6种。
特点：
是4个连成一排的正方形，其两侧各有一个正方形.简称“141型”
第二类：
有3种。
特点：
是有3个连成一排的正方形，其两侧分别有1个和两个相连的正方形;简称“132型”
第三类：
仅有一种。
特点：
是两个连成一排的正方形的两侧又各有两个连成一排的正方形；简称“222型”
第四类：
仅有1种，三个连成一排的正方形的一侧，还有3个连成一排的正方形，可简称“33型”
正方形展开图的识别方法：
1.排除法：
（1）由少于或多于6个的正方形组成的图形不是正方形的平面展开图
（2）有“凹”字型或“田”字型部分的平面图形不是正方体的展开图
2.对比法：
对照上面的四种规则进行对照；
从展开图可以看出，在正方形的展开图中不会出现如下图所示的“凹”字型和“田”字型结构。
模块一长方体的展开图
长方体展开图
【例1】下列图形中，不能表示长方体平面展开图的是（ ）
．
．
．
．
【解析】由平面图形的折叠及正方体的展开图解题．选项A，B，C经过折叠均能围成长方体，D两个底面在侧面的同一侧，缺少一定底面，所以不能表示长方体平面展开图．故选D．
【答案】
【巩固】如图是无盖长方体盒子的表面展开图（重叠部分不计），则盒子的容积为（ ）
．4
．6
．12
．15
【解析】由图可知，无盖长方体盒子的长是3，宽是2，高是1，所以盒子的容积为3×2×1=6．
盒子的容积为3×2×1=6．故选B．
【答案】
【巩固】下图是一个长方体纸盒的展开图，请把-5，3，5，-1，-3，1分别填入六个长方形，使得按虚线折成长方体后，相对面上的两数互为相反数．
【解析】根据题意，找到相对的面，把互为相反数的数字分别填入即可．
【答案】如下图：
正方体展开图
【例2】下列图形中为正方体的平面展开图的是（ ）
．
．
．
．
【解析】由四棱柱四个侧面和上下两个底面的特征可知，A，B，D上底面不可能有两个，故不是正方体的展开图．选项C可以拼成一个正方体．
【答案】
【巩固】将一个正方体沿某些棱展开后，能够得到的平面图形是（ ）
．
．
．
．
【解析】本题考查图形的展开与折叠中，正方体的常见的十余种展开图有关内容．可将这四个图折叠后，看能否组成正方形．A、出现了田字格，故不能；B、D、上底面不可能有两个，故不是正方体的展开图；C、可以拼成一个正方体．故选C．
【答案】
【例3】一个正方体的表面展开图可以是下列图形中的（ ）
．
．
．
．
【解析】A，B，D折叠后有一行两个面无法折起来，从而缺少面，不能折成正方体，只有C是一个正方体的表面展开图．故选C．
【答案】
【巩固】下列图形中，不是正方体表面展开图的是（ ）
．
．
．
．
【解析】A、B、C经过折叠均能围成正方体，D、折叠后第一行两个面无法折起来，不能折成正方体．
【答案】
【巩固】将如图所示表面带有图案的正方体沿某些棱展开后，得到的图形是（ ）
．
．
．
．
【解析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．注意带图案的三个面相交于一点．而通过折叠后A、B都不符合，且D折叠后图案的位置正好相反，所以能得到的图形是C．
【答案】C．
【例4】将如图正方体的相邻两面上各画分成九个全等的小正方形，并分别标上O、×两符号．若下列有一图形为此正方体的展开图，则此图为（ ）
A、
B、
C、
D、
【解析】此题主要根据O、×两符号的上下和左右位置判断，可用排除法．由已知图可得，O、×两符号的上下位置不同，故可排除A、B；又注意到O、×两符号之间的空行有3列．
【答案】C．
【巩固】如图，哪一个是左边正方体的展开图（ ）
．
．
．
．
【解析】本题考查正方体的表面展开图及空间想象能力．在验证立方体的展开图式，要细心观察每一个标志的位置是否一致，然后进行判断．根据有图案的表面之间的位置关系，正确的展开图是D．
【答案】故选D．
【点评】学生对相关图的位置想象不准确，从而错选，解决这类问题时，不妨动手实际操作一下，即可解决问题．
【例5】下面哪个图形不是正方体的展开图（ ）
．
．
．
．
【解析】选项A，B，C折叠后都可以围成正方体，而D折叠后折叠后第一行两个面无法折起来，而且下边没有面，不能折成正方体．
【答案】D．
【巩固】一个无盖的正方体盒子的平面展开图可以是下列图形中的（ ）
A．只有图①Ｂ．图①、图②Ｃ．图②、图③Ｄ．图①、图③
【解析】图②，经过折叠后，没有上下底面，侧面是由5个正方形组成，与正方体的侧面是4个正方形围成不相符，所以不是无盖的正方体盒子的平面展开图．
【答案】D．
【巩固】如图，是一个正方体盒子（6个面）的侧面展开图的一部分，请将它补充完整．
【解析】根据正方体的展开图特点补全即可，答案不唯一．正方体的展开图如下：
（答案不唯一），最后一个图形不符合．
【答案】略
模块二圆柱、圆锥的侧面展开图
圆柱体
【例6】圆柱的侧面展开图形是（ ）
A．圆 Ｂ．矩形 Ｃ．梯形
．扇形
【解析】略
【答案】
【巩固】如图，已知MN是圆柱底面的直径，NP是圆柱的高，在高柱的侧面上，过点M，P嵌有一幅路径最短的金属丝，现将圆柱侧面沿NP剪开，所得的侧面展开图是（ ）
A．
Ｂ．
Ｃ．
．
【解析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．因圆柱的展开面为长方形，MP展开应该是两直线，且有公共点M．故选A．
【答案】
【例7】如图，MN是圆柱底面的直径，NO是圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点M，P．有一条绕了四周的路径最短的金属丝，现将圆柱侧面沿NO剪开，所得的侧面展开图可以是：
【解析】根据两点之间线段最短，剪开后所得的侧面展开图中的金属丝是线段，即可选择．注意P点在展开图中长边的中点处，圆柱侧面沿NO剪开，根据两点之间线段最短，剪开后所得的侧面是长方形，P点在展开图中长边的中点处，金属丝是线段，且从P点开始到M点为止．故选②．
【答案】②
【巩固】底面直径为m的圆柱体（如图），沿它的一条母线AB（也就是圆柱的高，且AB=h）剪开展平，则圆柱侧面展开后的面积为．
【解析】根据圆柱侧面积=底面周长×高计算即可．圆柱的侧面积=
．
【答案】
圆锥体
【例8】下列立体图形中，侧面展开图是扇形的是（ ）
A．
Ｂ．
Ｃ．
．
【解析】根据圆锥的特征可知，侧面展开图是扇形的是圆锥．
【答案】
【巩固】我国运用长征火箭发射了百余颗人造卫星和5次神州飞船．如图是我国航天科技人员自主研究开发的长征系列火箭的立体图形．（火箭圆柱底面圆的周长不等于圆柱的高）
（1）请你画出火箭的平面展开图，并标上字母．
（2）写出平面图形中所有相等的量．
【解析】结合圆柱和圆锥的侧面展开图的特征解题．
（1）如右图．
（2）
，
，
，
．
【答案】同解析．
模块二其他立体图形的展开图
【例9】若下列只有一个图形不是右图的展开图，则此图为何？
（ ）
A．
Ｂ．
Ｃ．
．
【解析】选项D的四个三角形面不能折叠成原图形的四棱锥，而是有一个三角形面与正方形面重合，故不能组合成原题目的立体图形．
【答案】故选D．
【巩固】图1是由白色纸板拼成的立体图形，将此立体图形中的两面涂上颜色，如图2所示．下列四个图形中哪一个是图2的展开图（ ）
A、
B、
C、
D、
【解析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．由图中阴影部分的位置，首先可以排除B、D，又阴影部分正方形在左，三角形在右．
【答案】故选A．
【例10】下列四个图中，是三棱锥的表面展开图的是（ ）
A．
Ｂ．
Ｃ．
．
【解析】三棱锥的四个面都是三角形，还要能围成一个立体图形，可排除C，D，而A不能围成立体图形，故可得答案．
【答案】B．
【巩固】下面四个图形中，是三棱柱的平面展开图的是（ ）
A．
Ｂ．
Ｃ．
．
【解析】根据三棱柱的展开图的特点作答．A、是三棱柱的平面展开图；B、是三棱锥的展开图，故不是；C、是四棱锥的展开图，故不是；D、两底在同一侧，也不符合题意．故选A．
【答案】A
【例11】下列图形中，不是三棱柱的表面展开图是（ ）
A．
Ｂ．
Ｃ．
．
【解析】利用棱柱及其表面展开图的特点解题．A、B、C中间三个长方形能围成三棱柱的侧面，上、下两个三角形围成三棱柱的上、下两底面，故均能围成三棱柱，均是三棱柱的表面展开图．D围成三棱柱时，两个三角形重合为同一底面，而另一底面没有．故D不能围成三棱柱．
【答案】故选D．
【例12】如图是一个正四面体，它的四个面都是正三角形，现沿它的三条棱AC、BC、CD剪开展成平面图形，则所得的展开图是（ ）
A、
B、
C、
D、
【解析】亲自动手具体操作，或根据三棱锥的图形特点作答．根据三棱锥的图形特点，可得展开图为B．
【答案】B．
【例13】哪种几何体的表面能展成如图所示的平面图形？
需剪几条棱才能得到如此形状的平面图？
你是怎样数出来的？
请总结其规律．
【解析】侧面为五个长方形，底边为五边形，故原几何体为五棱柱．五棱柱能展成如图所示的平面图形．由五棱柱展开成平面图形，需要剪9条棱．因为五棱柱共有15条棱，7个面，展成平面图形时，7个面需有6条棱相连，共需留下6条棱不剪，所以需剪15-6=9（条）棱．
总结规律：
n棱柱有n+2个面，3n条棱，展成平面图形时，n+2个面需有n+1条棱相连，故应留下n+1条棱不剪，所以要把n棱柱展成平面图形，共需剪3n-（n+1）=（2n-1）条棱．
【答案】五棱柱；９；
．
【例14】下列图形是某些立体图形的平面展开图，说出这些立体图形的名称．
【解析】由平面图形的折叠及常见立体图形的展开图解题．根据图示可知：
①五棱锥；②圆柱；③三棱柱．
【答案】①五棱锥②圆柱③三棱柱
【巩固】图中四个图形是多面体的展开图，你能说出这些多面体的名称吗？
【解析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．6个正方形能围成一个正方体，三个长方形和两个三角形能围成一个三棱柱，一个四边形和四个三角形能围成四棱锥，6个长方形可以围成长方体．
【答案】正方体；三棱柱；四棱锥；长方体．
课后作业
１.下列各图形中，可以是一个正方体的平面展开图的是（ ）
A．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
【解析】选项A，C折叠后缺少一个底面，而B折叠后缺少一个侧面，所以可以是一个正方体的平面展开图的是D．
【答案】故选D．
２. 把圆锥的侧面展开，会得到的图形是（ ）
A．
Ｂ．
Ｃ．
．
【解析】圆锥的侧面展开图是扇形，故选C．
【答案】C
3. 如图，圆柱体的表面展开后得到的平面图形是（ ）
A、
B、
C、
D、
【解析】根据圆柱的侧面展开图作答．圆柱体的侧面展开后得到的平面图形是矩形，上下两底是两个圆，故选B．
【答案】
４. 如图，四种图形各是哪种立体图形的表面展开所形成的？
画出相应的四种立体图形．
【解析】根据四棱锥、三棱柱、圆柱、圆锥及其表面展开图的特点解答并作图．观察图形，由立体图形及其表面展开图的特点可知相应的立体图形顺次是四棱锥、三棱柱、圆柱、圆锥．作图如下：
【答案】同解析．
【点评】本题考查了几何体的展开图，可根据所给图形判断具体形状，也可根据所给几何体的面数进行判断．
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