B单元力与物体的平衡全解.docx
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B单元力与物体的平衡全解
力与物体的平衡
1．[2016·江苏卷]一轻质弹簧原长为8cm，在4N的拉力作用下伸长了2cm，弹簧未超出弹性限度，则该弹簧的劲度系数为（ ）
A．40m/NB．40N/mC．200m/ND．200N/m
9．[2016·江苏卷]如图1所示，一只猫在桌边猛地将桌布从鱼缸下拉出，鱼缸最终没有滑出桌面．若鱼缸、桌布、桌面两两之间的动摩擦因数均相等，则在上述过程中（ ）
A．桌布对鱼缸摩擦力的方向向左
B．鱼缸在桌布上的滑动时间和在桌面上的相等
C．若猫增大拉力，鱼缸受到的摩擦力将增大
D．若猫减小拉力，鱼缸有可能滑出桌面
19．[2016·全国卷Ⅰ]如图1，一光滑的轻滑轮用细绳OO′悬挂于O点；另一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块a，另一端系一位于水平粗糙桌面上的物块b.外力F向右上方拉b，整个系统处于静止状态．若F方向不变，大小在一定范围内变化，物块b仍始终保持静止，则（ ）
A．绳OO′的张力也在一定范围内变化
B．物块b所受到的支持力也在一定范围内变化
C．连接a和b的绳的张力也在一定范围内变化
D．物块b与桌面间的摩擦力也在一定范围内变化
14．[2016·全国卷Ⅱ]质量为m的物体用轻绳AB悬挂于天花板上．用水平向左的力F缓慢拉动绳的中点O，如图1所示．用T表示绳OA段拉力的大小，在O点向左移动的过程中（ ）
A．F逐渐变大，T逐渐变大
B．F逐渐变大，T逐渐变小
C．F逐渐变小，T逐渐变大
D．F逐渐变小，T逐渐变小
17．[2016·全国卷Ⅲ]如图1所示，两个轻环a和b套在位于竖直面内的一段固定圆弧上：
一细线穿过两轻环，其两端各系一质量为m的小球．在a和b之间的细线上悬挂一小物块．平衡时，a、b间的距离恰好等于圆弧的半径．不计所有摩擦．小物块的质量为（ ）
A.
B.
mC．mD．2m
11．[2016·天津卷]如图1所示，空间中存在着水平向右的匀强电场，电场强度大小E＝5
N/C，同时存在着水平方向的匀强磁场，其方向与电场方向垂直，磁感应强度大小B＝0.5T．有一带正电的小球，质量m＝1×10－6kg，电荷量q＝2×10－6C，正以速度v在图示的竖直面内做匀速直线运动，当经过P点时撤掉磁场（不考虑磁场消失引起的电磁感应现象），g取10m/s2.求：
（1）小球做匀速直线运动的速度v的大小和方向；
（2）从撤掉磁场到小球再次穿过P点所在的这条电场线经历的时间t.
12．[2016·天津卷]电磁缓速器是应用于车辆上以提高运行安全性的辅助制动装置，其工作原理是利用电磁阻尼作用减缓车辆的速度．电磁阻尼作用可以借助如下模型讨论：
如图1所示，将形状相同的两根平行且足够长的铝条固定在光滑斜面上，斜面与水平方向夹角为θ.一质量为m的条形磁铁滑入两铝条间，恰好匀速穿过，穿过时磁铁两端面与两铝条的间距始终保持恒定，其引起电磁感应的效果与磁铁不动、铝条相对磁铁运动相同．磁铁端面是边长为d的正方形，由于磁铁距离铝条很近，磁铁端面正对两铝条区域的磁场均可视为匀强磁场，磁感应强度为B，铝条的高度大于d，电阻率为ρ.为研究问题方便，铝条中只考虑与磁铁正对部分的电阻和磁场，其他部分电阻和磁场可忽略不计，假设磁铁进入铝条间以后，减少的机械能完全转化为铝条的内能，重力加速度为g.
图1
（1）求铝条中与磁铁正对部分的电流I；
（2）若两铝条的宽度均为b，推导磁铁匀速穿过铝条间时速度v的表达式；
（3）在其他条件不变的情况下，仅将两铝条更换为宽度b′>b的铝条，磁铁仍以速度v进入铝条间，试简要分析说明磁铁在铝条间运动时的加速度和速度如何变化．
14．如图1所示，倾角为α的斜面A被固定在水平面上，细线的一端固定于墙面，另一端跨过斜面顶端的小滑轮与物块B相连，B静止在斜面上．滑轮左侧的细线水平，右侧的细线与斜面平行．A、B的质量均为m.撤去固定A的装置后，A、B均做直线运动．不计一切摩擦，重力加速度为g.求：
图1
（1）A固定不动时，A对B支持力的大小N；
（2）A滑动的位移为x时，B的位移大小s；
（3）A滑动的位移为x时的速度大小vA.
力与物体的平衡（答案）
1．D [解析]根据胡克定律F＝kx得k＝
＝
＝2N/cm＝200N/m.这里的2cm就是弹簧的形变量x，与原长无关．
9．BD [解析]当桌布被拉出时，鱼缸由静止到向右运动，但它相对于桌布来说，仍向左运动，由于滑动摩擦力的方向与相对运动方向相反，因此桌布对鱼缸的摩擦力的方向应向右，选项A错误；因为鱼缸、桌布、桌面两两之间的动摩擦因数均相等，鱼缸受到桌布向右的摩擦力与它受到桌面向左的摩擦力大小相等，所以鱼缸向右加速的加速度大小与向右减速的加速度大小相等，方向相反，鱼缸的初速度为零，末速度也为零，根据对称性可知，鱼缸做加速运动的时间与做减速运动的时间相等，选项B正确；若猫增大拉力，桌布的加速度更大，但是由于鱼缸与桌布间的压力不变，动摩擦因数也不变，故摩擦力也不变，选项C错误；若猫减小拉力，桌布的加速度减小，鱼缸在桌布上的运动时间变长，而鱼缸向右的加速度不变，由x＝
at2知，鱼缸相对于桌面的位移变大，桌布被拉出后鱼缸在桌面上的位移也变大，鱼缸就有可能滑出桌面，选项D正确．
19．[解析]BD 对物块a，由二力平衡，绳的拉力等于物块a的重力，大小保持一定，轻滑轮两端绳子拉力大小方向一定，对结点O′，由三力平衡可得绳OO′的张力一定，选项A、C错误；设F与水平方向的夹角为α，连接物块b的绳子拉力T与水平方向夹角为β，对物块b，由平衡条件，有Tsinβ＋Fsinα＋N＝mg和Tcosβ－Fcosα±f＝0，物块b所受到的支持力和物块与桌面间的摩擦力随F变化而变化，选项B、D正确．
14．A [解析]作出结点O的受力分析矢量图（动态），可知F与T的变化情况如图所示，可得：
F逐渐变大，T逐渐变大，故A正确．
17．C [解析]对a受力分析如图甲所示，其中虚线三角形为等边三角形，由正交分解法可得Fsinα＝mgsin30°，又知F＝mg，故α＝30°；对小物块的悬挂点受力分析如图乙所示，由力的合成可得2Fcos（α＋30°）＝Mg，故可得M＝m，C正确．
11．[答案]
（1）20m/s 方向与电场E的方向之间的夹角为60°斜向上
（2）3.5s
[解析]
（1）小球匀速直线运动时受力如图1所示，其所受的三个力在同一平面内，合力为零，有
qvB＝
①
代入数据解得v＝20m/s ②
速度v的方向与电场E的方向之间的夹角θ满足tanθ＝
③
代入数据解得tanθ＝
θ＝60° ④
（2）解法一：
撤去磁场，小球在重力与电场力的合力作用下做类平抛运动，设其加速度为a，有a＝
⑤
设撤掉磁场后小球在初速度方向上的分位移为x，有x＝vt ⑥
设小球在重力与电场力的合力方向上分位移为y，有y＝
at2 ⑦
a与mg的夹角和v与E的夹角相同，均为θ，又tanθ＝
⑧
联立④⑤⑥⑦⑧式，代入数据解得t＝2
s＝3.5s ⑨
解法二：
撤去磁场后，由于电场力垂直于竖直方向，它对竖直方向的分运动没有影响，以P点为坐标原点，竖直向上为正方向，小球在竖直方向上做匀减速运动，其初速度为vy＝vsinθ ⑤
若使小球再次穿过P点所在的电场线，仅需小球的竖直方向上分位移为零，则有vyt－
gt2＝0 ⑥
联立⑤⑥式，代入数据解得t＝2
s＝3.5s
12．[答案]
（1）
（2）
（3）略
[解析]
（1）磁铁在铝条间运动时，两根铝条受到的安培力大小相等，均为F安，有F安＝IdB ①
磁铁受到沿斜面向上的作用力为F，其大小F＝2F安 ②
磁铁匀速运动时受力平衡，则有F－mgsinθ＝0 ③联立①②③式可得I＝
④
（2）磁铁穿过铝条时，在铝条中产生的感应电动势为E，有E＝Bdv ⑤
铝条与磁铁正对部分的电阻为R，由电阻定律有R＝ρ
⑥由欧姆定律有I＝
⑦
联立④⑤⑥⑦式可得v＝
⑧
（3）磁铁以速度v进入铝条间，恰好做匀速运动时，磁铁受到沿斜面向上的作用力F，联立①②⑤⑥⑦式可得F＝
⑨
当铝条的宽度b′>b时，磁铁以速度v进入铝条间时，磁铁受到的作用力变为F′，有F′＝
⑩
可见F′>F＝mgsinθ，磁铁所受到的合力方向沿斜面向上，获得与运动方向相反的加速度，磁铁将减速下滑，此时加速度最大．之后，随着运动速度减小，F′也随着减小，磁铁所受的合力也减小，由于磁铁加速度与所受到的合力成正比，磁铁的加速度逐渐减小．综上所述，磁铁做加速度逐渐减小的减速运动，直到F′＝mgsinθ时，磁铁重新达到平衡状态，将再次以较小的速度匀速下滑．
14．[答案]
（1）mgcosα
（2）
（3）
[解析]
（1）支持力的大小N＝mgcosα
（2）根据几何关系sx＝x·（1－cosα），sy＝x·sinα且s＝
解得s＝
·x
（3）B的下降高度sy＝x·sinα根据机械能守恒定律mgsy＝
mv
＋
mv
根据速度的定义得vA＝
，vB＝
则vB＝
·vA
解得vA＝
B单元力与物体的平衡
B1力、重力、弹力
1．B1[2016·江苏卷]一轻质弹簧原长为8cm，在4N的拉力作用下伸长了2cm，弹簧未超出弹性限度，则该弹簧的劲度系数为（ ）
A．40m/NB．40N/m
C．200m/ND．200N/m
1．D [解析]根据胡克定律F＝kx得k＝
＝
＝2N/cm＝200N/m.这里的2cm就是弹簧的形变量x，与原长无关．
B2摩擦力
9．B2[2016·江苏卷]如图1所示，一只猫在桌边猛地将桌布从鱼缸下拉出，鱼缸最终没有滑出桌面．若鱼缸、桌布、桌面两两之间的动摩擦因数均相等，则在上述过程中（ ）
图1
A．桌布对鱼缸摩擦力的方向向左
B．鱼缸在桌布上的滑动时间和在桌面上的相等
C．若猫增大拉力，鱼缸受到的摩擦力将增大
D．若猫减小拉力，鱼缸有可能滑出桌面
9．BD [解析]当桌布被拉出时，鱼缸由静止到向右运动，但它相对于桌布来说，仍向左运动，由于滑动摩擦力的方向与相对运动方向相反，因此桌布对鱼缸的摩擦力的方向应向右，选项A错误；因为鱼缸、桌布、桌面两两之间的动摩擦因数均相等，鱼缸受到桌布向右的摩擦力与它受到桌面向左的摩擦力大小相等，所以鱼缸向右加速的加速度大小与向右减速的加速度大小相等，方向相反，鱼缸的初速度为零，末速度也为零，根据对称性可知，鱼缸做加速运动的时间与做减速运动的时间相等，选项B正确；若猫增大拉力，桌布的加速度更大，但是由于鱼缸与桌布间的压力不变，动摩擦因数也不变，故摩擦力也不变，选项C错误；若猫减小拉力，桌布的加速度减小，鱼缸在桌布上的运动时间变长，而鱼缸向右的加速度不变，由x＝
at2知，鱼缸相对于桌面的位移变大，桌布被拉出后鱼缸在桌面上的位移也变大，鱼缸就有可能滑出桌面，选项D正确．
B3力的合成与分解
B4受力分析物体的平衡
19．B4[2016·全国卷Ⅰ]如图1，一光滑的轻滑轮用细绳OO′悬挂于O点；另一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块a，另一端系一位于水平粗糙桌面上的物块b.外力F向右上方拉b，整个系统处于静止状态．若F方向不变，大小在一定范围内变化，物块b仍始终保持静止，则（ ）
图1
A．绳OO′的张力也在一定范围内变化
B．物块b所受到的支持力也在一定范围内变化
C．连接a和b的绳的张力也在一定范围内变化
D．物块b与桌面间的摩擦力也在一定范围内变化
[解析]BD 对物块a，由二力平衡，绳的拉力等于物块a的重力，大小保持一定，轻滑轮两端绳子拉力大小方向一定，对结点O′，由三力平衡可得绳OO′的张力一定，选项A、C错误；设F与水平方向的夹角为α，连接物块b的绳子拉力T与水平方向夹角为β，对物块b，由平衡条件，有Tsinβ＋Fsinα＋N＝mg和Tcosβ－Fcosα±f＝0，物块b所受到的支持力和物块与桌面间的摩擦力随F变化而变化，选项B、D正确．
14．B4[2016·全国卷Ⅱ]质量为m的物体用轻绳AB悬挂于天花板上．用水平向左的力F缓慢拉动绳的中点O，如图1所示．用T表示绳OA段拉力的大小，在O点向左移动的过程中（ ）
图1
A．F逐渐变大，T逐渐变大
B．F逐渐变大，T逐渐变小
C．F逐渐变小，T逐渐变大
D．F逐渐变小，T逐渐变小
14．A [解析]作出结点O的受力分析矢量图（动态），可知F与T的变化情况如图所示，可得：
F逐渐变大，T逐渐变大，故A正确．
17．B4[2016·全国卷Ⅲ]如图1所示，两个轻环a和b套在位于竖直面内的一段固定圆弧上：
一细线穿过两轻环，其两端各系一质量为m的小球．在a和b之间的细线上悬挂一小物块．平衡时，a、b间的距离恰好等于圆弧的半径．不计所有摩擦．小物块的质量为（ ）
图1
A.
B.
m
C．mD．2m
17．C [解析]对a受力分析如图甲所示，其中虚线三角形为等边三角形，由正交分解法可得Fsinα＝mgsin30°，又知F＝mg，故α＝30°；对小物块的悬挂点受力分析如图乙所示，由力的合成可得2Fcos（α＋30°）＝Mg，故可得M＝m，C正确．
B5实验：
探究弹力和弹簧伸长的关系
21．B5[2016·浙江卷]某同学在“探究弹力和弹簧伸长的关系”的实验中，测得图中弹簧OC的劲度系数为500N/m.如图1所示，用弹簧OC和弹簧秤a、b做“探究求合力的方法”实验．在保持弹簧伸长1.00cm不变的条件下：
图1 7
（1）若弹簧秤a、b间夹角为90°，弹簧秤a的读数是________N（图2中所示），则弹簧秤b的读数可能为________N.
（2）若弹簧秤a、b间夹角大于90°，保持弹簧秤a与弹簧OC的夹角不变，减小弹簧秤b与弹簧OC的夹角，则弹簧秤a的读数________、弹簧秤b的读数________（填“变大”“变小”或“不变”）．
21．[答案]
（1）3.00～3.02 3.9～4.1（有效数不作要求）
（2）变大 变大
[解析]
（1）由图可知弹簧秤a的读数是F1＝3.00N；因合力为F＝kx＝500×0.01N＝5N，两分力夹角为90°，则另一个分力为F2＝
＝4.0N.
（2）若弹簧秤a、b间夹角大于90°，保持弹簧秤a与弹簧OC的夹角不变，减小弹簧秤b与弹簧OC夹角，根据力的平行四边形法则可知，弹簧秤a的读数变大，弹簧秤b的读数变大．
B6实验：
验证力的平行四边形定则
B7力与平衡问题综合
11．B7 D2[2016·天津卷]如图1所示，空间中存在着水平向右的匀强电场，电场强度大小E＝5
N/C，同时存在着水平方向的匀强磁场，其方向与电场方向垂直，磁感应强度大小B＝0.5T．有一带正电的小球，质量m＝1×10－6kg，电荷量q＝2×10－6C，正以速度v在图示的竖直面内做匀速直线运动，当经过P点时撤掉磁场（不考虑磁场消失引起的电磁感应现象），g取10m/s2.求：
图1
（1）小球做匀速直线运动的速度v的大小和方向；
（2）从撤掉磁场到小球再次穿过P点所在的这条电场线经历的时间t.
[答案]
（1）20m/s 方向与电场E的方向之间的夹角为60°斜向上
（2）3.5s
[解析]
（1）小球匀速直线运动时受力如图1所示，其所受的三个力在同一平面内，合力为零，有
qvB＝
①
图1
代入数据解得v＝20m/s ②
速度v的方向与电场E的方向之间的夹角θ满足
tanθ＝
③
代入数据解得tanθ＝
θ＝60° ④
（2）解法一：
撤去磁场，小球在重力与电场力的合力作用下做类平抛运动，设其加速度为a，有
a＝
⑤
设撤掉磁场后小球在初速度方向上的分位移为x，有
x＝vt ⑥
设小球在重力与电场力的合力方向上分位移为y，有
y＝
at2 ⑦
a与mg的夹角和v与E的夹角相同，均为θ，又
tanθ＝
⑧
联立④⑤⑥⑦⑧式，代入数据解得
t＝2
s＝3.5s ⑨
解法二：
撤去磁场后，由于电场力垂直于竖直方向，它对竖直方向的分运动没有影响，以P点为坐标原点，竖直向上为正方向，小球在竖直方向上做匀减速运动，其初速度为vy＝vsinθ ⑤
若使小球再次穿过P点所在的电场线，仅需小球的竖直方向上分位移为零，则有
vyt－
gt2＝0 ⑥
联立⑤⑥式，代入数据解得t＝2
s＝3.5s
12．B7 J2 K1[2016·天津卷]电磁缓速器是应用于车辆上以提高运行安全性的辅助制动装置，其工作原理是利用电磁阻尼作用减缓车辆的速度．电磁阻尼作用可以借助如下模型讨论：
如图1所示，将形状相同的两根平行且足够长的铝条固定在光滑斜面上，斜面与水平方向夹角为θ.一质量为m的条形磁铁滑入两铝条间，恰好匀速穿过，穿过时磁铁两端面与两铝条的间距始终保持恒定，其引起电磁感应的效果与磁铁不动、铝条相对磁铁运动相同．磁铁端面是边长为d的正方形，由于磁铁距离铝条很近，磁铁端面正对两铝条区域的磁场均可视为匀强磁场，磁感应强度为B，铝条的高度大于d，电阻率为ρ.为研究问题方便，铝条中只考虑与磁铁正对部分的电阻和磁场，其他部分电阻和磁场可忽略不计，假设磁铁进入铝条间以后，减少的机械能完全转化为铝条的内能，重力加速度为g.
图1
（1）求铝条中与磁铁正对部分的电流I；
（2）若两铝条的宽度均为b，推导磁铁匀速穿过铝条间时速度v的表达式；
（3）在其他条件不变的情况下，仅将两铝条更换为宽度b′>b的铝条，磁铁仍以速度v进入铝条间，试简要分析说明磁铁在铝条间运动时的加速度和速度如何变化．
[答案]
（1）
（2）
（3）略
[解析]
（1）磁铁在铝条间运动时，两根铝条受到的安培力大小相等，均为F安，有
F安＝IdB ①
磁铁受到沿斜面向上的作用力为F，其大小
F＝2F安 ②
磁铁匀速运动时受力平衡，则有
F－mgsinθ＝0 ③
联立①②③式可得I＝
④
（2）磁铁穿过铝条时，在铝条中产生的感应电动势为E，有
E＝Bdv ⑤
铝条与磁铁正对部分的电阻为R，由电阻定律有
R＝ρ
⑥
由欧姆定律有
I＝
⑦
联立④⑤⑥⑦式可得v＝
⑧
（3）磁铁以速度v进入铝条间，恰好做匀速运动时，磁铁受到沿斜面向上的作用力F，联立①②⑤⑥⑦式可得F＝
⑨
当铝条的宽度b′>b时，磁铁以速度v进入铝条间时，磁铁受到的作用力变为F′，有
F′＝
⑩
可见F′>F＝mgsinθ，磁铁所受到的合力方向沿斜面向上，获得与运动方向相反的加速度，磁铁将减速下滑，此时加速度最大．之后，随着运动速度减小，F′也随着减小，磁铁所受的合力也减小，由于磁铁加速度与所受到的合力成正比，磁铁的加速度逐渐减小．综上所述，磁铁做加速度逐渐减小的减速运动，直到F′＝mgsinθ时，磁铁重新达到平衡状态，将再次以较小的速度匀速下滑．
14．B7、D1、E3如图1所示，倾角为α的斜面A被固定在水平面上，细线的一端固定于墙面，另一端跨过斜面顶端的小滑轮与物块B相连，B静止在斜面上．滑轮左侧的细线水平，右侧的细线与斜面平行．A、B的质量均为m.撤去固定A的装置后，A、B均做直线运动．不计一切摩擦，重力加速度为g.求：
图1
（1）A固定不动时，A对B支持力的大小N；
（2）A滑动的位移为x时，B的位移大小s；
（3）A滑动的位移为x时的速度大小vA.
14．[答案]
（1）mgcosα
（2）
（3）
[解析]
（1）支持力的大小N＝mgcosα
（2）根据几何关系sx＝x·（1－cosα），sy＝x·sinα
且s＝
解得s＝
·x
（3）B的下降高度sy＝x·sinα
根据机械能守恒定律mgsy＝
mv
＋
mv
根据速度的定义得vA＝
，vB＝
则vB＝
·vA
解得vA＝
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