03年高考数学试题和答卷评价.docx
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03年高考数学试题和答卷评价
03年高考数学试题和答卷评价
华南师范大学王林全（广州,，）
引言.我们处于一个改革变化的时代,教育的理念,思维的方式都在发生变化,03年高考数学试题（下称03年试题）反映了这种变化,它向传统的教学方式提出了挑战.本文着重评价03年试题特色和答卷的有关问题．
1.03年高考数学试题的特点
1.1根据大纲，重视基础，要求熟练
03年试题按照考纲、大纲和现行课本要求命题.考题内容基本上没有超过课本与大纲。
∙考查的知识面比较宽阔.涉及代数，三角，立体几何，平面解析几何等多方面，
∙要求对基础知识有相当的熟练程度。
如（12）题,如果对正三棱锥的图形特点和数量关系没有相当熟练的掌握,是不易做出来的.
例1．第（12）题.一个四面体的所有棱长都为
四个顶点在同一球面上,则此球的表面积为
（A）3（B）4（C）3
（D）6
分析:
如图1,设正四面体P-ABC的外接球球心为O,外接球半径为R,则点O在四面体的高PO’上（O’是垂足）,O’在正△ABC中AB的高CD上,已知PA=PB=PC=AB=BC=CA=
由直角三角形的边角关系算得:
PD=
/2,BO’=CO’=
/3,PO’=2
/3,在rt△OO’B中,用勾股定理得（PO’－R）2+BO’2=OB2,从而得到关于R的方程:
（2
/3－R）2+（
/3）2=R2,解得R=
/2,得球表面积S=3.答案（A）.
图1
1.２稳中求变，难点增加，难度提高
０３年试题的题型结构,考题分量与近年历届试题持平，各分科所占比例大致合理。
∙对一些常用的公式给予适当的提示。
然而，在数学学习中,一定的记忆仍然需要。
∙提高起点，尾巴不翘.０３年试题打破了过去由易到难的考题分布格局，填空题、选择题的难点分布明显增多，给考生形成一定的心理挑战。
解答题的难度并非依题次而增高，几乎每题都设置了难点，作为解答题开始的（17）题，不同于往年设置较简单的代数题，而是有一定深度的立体几何问题，给考生造成一定的心理威胁。
∙选择题的难点增多。
（7）—（12）等六题，都需要认真思考才能正确解答.
例2．第（9）题.已知圆锥底面半径为R,高为3R,在它的所有内接圆柱中,全面积的最大值是
（A）2R2（B）
R2（C）
R2（D）
R2
分析：
如图2,设R, r分别为圆锥及其内接圆柱的半径,内接圆柱的高为r，则圆锥的高为３R,利用平行线截比例线段定理,得
，先求得圆锥的内接圆柱的全面积与圆柱半径r的函数关系式S=2（3Rr-2r2）,当r=
R时,Smax=
R2, 从而答案为（B）.该题把圆锥与及其内接圆柱的关系,圆柱的性质和全面积计算,平行线截比例线段定理,二次函数的极值等知识结合在一起,具有相当的综合性。
图2
∙难点分布广泛,只需简单思考即可求解的问题明显减少.选择题、填空题中的难度明显加大。
学生完成这两部分的问题需要一个小时以上,影响了做解答题的时间。
1.3动态情景，实验尝试，探求规律
《高中课标》指出，要用数学“描述客观世界的变化规律”，“函数的思想方法将贯穿高中数学课程的始终”，０３年试题广泛出现运动变化的情境，要求学生解决相关的问题。
如：
例3．第
（1）题 在同一直角坐标系中，表示直线
：
y=ax与
：
y=x＋a正确的是
图３（A） （B） （C） （D）
分析：
由已知的直线方程可知，当a变化时，
的斜率和
的截距也分别在变化，它们满足：
①
的斜率和
的截距相同；②
通过坐标原点；③
的斜率为１。
由图像可知，只有（C）同时满足上述条件。
不少试题设置了运动变化的环境,要求考生通过尝试,探索,猜想,寻求动态图形的某些规律性,体现了《高中数学课程标准》的理念.反映了高考对高中课标的有力支持.
图４
例4．第（8）题. 已知圆C:
已知圆（x-a）2+（y-2）2=4（a0）,及直线
:
x-y+3=0,当直线
被圆C截得的弦长为
时,则a=
（A）
（B）2-
（C）
-1（D）
+1
分析:
本题的几何形象是:
半径为2的动圆C,其圆心在直线y=2上运动,当直线
被圆C截得的弦长为
时,要求确定圆心的位置. 如图４,考察△ABC,作AB边上的高CD,∵CA=CB=2,AD=DB=
∴CD=1,已知圆心为C（a,2）,故可以用点到直线距离公式解决,设圆心C（a,2）到直线
的距离为d，则d=
，求得a=
-1.
例5第（11）题。
已知长方形的四个顶点A（0,0）,B（2,0）,C（2,1）,D（0,1）.一个质点从AB的中点P0沿与AB夹角为的方向射到BC上的点P1后,依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4（入射角等于反射角）.设P4的坐标为（x4,0）,若1x42,则tg的取值范围是
（A）（1/3,1）（B）（1/3,2/3）（C）（2/5,1/2）（D）（2/5,2/3）
.
图5
分析:
《高中数学课程标准》提倡让学生自主探索,动手实践,并主张在高中数学课程设立“数学探究”学习活动,03年数学试题反映了这方面的学习要求.如图5，本题需要求质点运动的入射角的正切的范围。
先作实验尝试,选定特殊值tg=1/2,则P0,P1,P2,P3分别为AB,BC,CD,DA的中点,P4与P0重合,此时x4=1；如果tg略小于1/2,则P4的横坐标为x41，如图５的虚线所示.可见tg1/2．符合题目所给的条件的选择中,只有（C）满足条件：
分析:
《高中数学课程标准》提倡让学生自主探索,动手实践,并主张在高中数学课程设立“数学探究”学习活动,03年数学试题反映了这方面的学习要求.如图5，本题需要求质点运动的入射角。
先作实验尝试, 先选定特殊值tg=1/2,则P0,P1,P2,P3分别为AB,BC,CD,DA的中点,P4与P0重合,此时x4=1；如果tg略小于1/2,则P4的横坐标为x41，如图５的虚线所示.可见tg1/2．符合题目所给的条件中,只有（C）满足条件1x42,故应该选择（C）.经过计算可以知道,当tg=2/5时,x4=2,可见tg（2/5,1/2）,从而可知选择（C）是正确的.由上题可见,0３年试题强调实验尝试,探索猜想在数学学习中的地位.这也是选择题的应有特点。
1.4 理性思考，数形结合，突出分类
03年试题考查了多种数学思想方法.分类讨论思想和数形结合思想在试题中占有重要分量。
∙分类讨论思想：
（18）题:
讨论所得的两根,按题意去掉负根;
（19）题:
讨论a的范围，讨论P真Q假,Q真P假等两种情况,这是解决问题的主导思想;
（21）题:
首先要根据条件正确得到轨迹方程
=1,完成这一步可得8分，如能正确讨论a2的取值对轨迹的影响, 确定所求轨迹的存在性以及曲线的不同类型，可再得4分.
（22）题:
处理（-1）n-1的符号,需要分别讨论n是奇数和偶数两种不同情况,根据上述两种情况,确定a0的范围.讨论部分占全题14分中的8分.由上述诸题可见,分类讨论思想在03年试题中占有重要地位.能否对解决问题的情况进行正确的分类,反映了考生思考问题是否全面,是否慎密,这是一种重要的思维品质.
∙数学的似真推理
类比是数学发现的重要源泉,然而,由类比而得到的数学结论有待进一步的实验验证,要肯定所得的猜想是真命题,还需要证明。
然而，我们不能够因为类比的局限性就不敢进行猜想.03年试题重视数学思维品质的培养,鼓励学生进行合理的猜想.
图６
例6:
第（15）题.在平面几何里,由勾股定理:
“设△ABC的两边AB、AC互相垂直,则AB2+AC2=BC”,拓展到空间,类比平面几何的勾股定理,研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系,可以得出正确的结论是:
“设三棱锥A-BCD的三个侧面ABC,ACD,ADB两两互相垂直,则_________________________________________.”
分析：
（如图６）由于三棱锥A-BCD的三个侧面ABC,ACD,ADB两两互相垂直,故直角面可以类比于直角三角形的直角边,底面BCD被三个两两互相垂直的侧面所包围,故可以类比于直角三角形的斜边,从而可以得到猜想:
S2△ABC+S2△ACD+S2△ADB=S2△BCD.
当然,上述猜想需要经过演绎论证后予以确认,但回答填空题不要求写出证明过程.
（事实上，上式
左边＝
（AB2·AC2+AC2·AD2+AD2·AB2）=
[AB2·AC2+（AC2+AB2）AD2]
=
（AB2·AC2+BC2·AD2）=
（BC2·AE2+BC2·AD2）
=
BC2（AE2+AD2）=
BC2DE2=S2△BCD=右边，∴猜想成立．）
∙数形结合思想
历年高考都十分重视考查学生对数形结合思想的运用,03年试题对运用这种方法的考查也很突出。
如
（1），
（2），（3），（5），（6），（8），（11），（12），（15），（16），（17），（18），（19），（20），（21）等题都可以借助数形结合思想方法寻找解题思路。
共占分值108分,可见这种思想方法是解决数学问题的重要方法. 在数学教学中必须重视这种思想方法的运用．
∙归纳与演绎思想
数学归纳法既含有归纳思想，也运用了演绎推理。
03年试题重视对运用归纳与演绎思想检查，如；（17）题Ⅰ,（22）题Ⅰ基本使用演绎推理的方法.（22）题Ⅱ先由n=1,2时得到a的范围,0再对任意的nN,证明０a01/3,这个过程既用到归纳推理,也用到演绎推理.
1.4 网上评卷,电子监控，准确高效
０３年广东高考全面实行网上评卷，有利于宏观调控评卷过程,及时发现问题,及时解决;成绩统计与质量评估方便准确;实现小组长、题组长、科组长、评卷领导组四级电子监控;杜绝了漏改,漏登分,登错分等现象,提高了评卷质量.
2．答卷的成绩总计
表103年高考数学成绩概况
题次
13-16
17
18
19
20
21
22
总计
满分
16
12
12
12
12
12
14
90
平均分
4.84
6.22
4.63
4.79
1.49
0.37
1.12
23.46
得分率（%）
30.25
51.83
38.58
39.91
1.24
0.03
0.08
26.06
由上表可见, 考生的成绩很不理想,究其原因,既有数学的教与学中的问题,也与考题的难度偏高,考题分布不尽合理有关.
3.考生答题情况分析
考生在答卷中主要出现几类错误：
3.1审题错误①遗漏信息，如（16）题，无视题目中用数字作答的要求；
②误解题意，如（16）题，未考虑也可以使用三种颜色；
3.2思路错误①判断有误，缺乏根据，如第17题，把D1E看成点D1到平面BDE的距离
②以偏概全，忘记分类，（18），（19），（21），（22）题，分类不周，或者没有分类．
③策略不当，忽视特值。
如（11）,忽视1/2的作用；
3.3计算错误①误记公式,计算失效，例如（20）算错cos（-450）；
②方法冗繁，不善简化，如（21），不善于利用对称性化简，不善于利用利用整体代入化简；
3.4表述错误：
①说理不清，因果倒置；
②符号混用，混淆视听，例如（21），把边长４a中的a，与椭圆标准方程的长半轴a混为一谈．
③自定符号，不作交代：
如（17），未讲清如何作辅助线，令人费解．
3.5心理失误：
例如，不敢实验，不敢猜想，
填空题（13-16）平均分共4.84分，得分集中在前两题,（15）,（16）题得分甚少.
（13）题（题略）:
对于区间的开闭性未分清楚,把（2,4）误写成（2,4）;
（14）题（题略）:
未掌握二项式展开式的系数Tn+1的规律性;
（15）题（题略）:
许多考生不敢于猜想,要经过证明才放心; 未能正确掌握类比的方法，因而猜想有误；
例７（16）题．如图７，一个地区分为５个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色．现有四种颜色可供选择，则不同的着色方法共有＿＿＿＿＿种．（以数字作答）
图７
分析：
对题意没有正确的理解;误以为要使用全部四种颜色,未想到三种颜色也可以符合涂色的要求.绝大部分考生得不到正确的结果.
审题不周，没有注意以数字作答，只写出组合算式．
注意到区域１与其他四个区域相邻，而其他每个区域都与三个区域相邻，因此，可以涂三种或四种颜色．
如果涂四种颜色，则有涂法共2P4１P3３=48种；
如果涂三种颜色，则有涂法共P4３×P3３=24种；从而共有符合要求的涂色方法72种．
例８:
第（17）题.已知如图８,正四棱柱ABCD-A1B1C1D1,AB=1,AA1=2,点E为CC1的中点,F为BD1的中点.
（Ⅰ）证明EF为BD1和CC1的公垂线;
（Ⅱ）求点D1到面BDE的距离.
分析:
在答卷中发现许多逻辑性错误,如:
①只证明到EF垂直于BD1或CC1中的一条,证不到EF垂直于另一条.
② 下判断的根据不足. 例如说EF⊥面BDD1B1,DD1⊥A2B2C2D2等,都没有列举足够的理由.
③因果关系不清楚.例如,DD1⊥BD,DD1∥CC1EF⊥CC1,等等.
④判断错误.例如,把D1E看成点D1到平面BDE的距离.
图8
（Ⅰ） 因为E是CC1的中点，它关于两个侧面具有对称性，∴ED1=EB,又F是对角线D1B的中点，∴EF⊥D1B;
F是对角线D1B的中点，因而也是长方体的中心,∴FC1=FC, 又点E为CC1的中点，∴EF⊥CC1，从而EF为BD1和CC1的公垂线．
（Ⅱ） 本题可以使用四面体的顶点转换技巧予以解决．在四面体D1BDE中，点D1到面BDE的距离不易直接求得，但是点E到面BDD1的距离恰为EF，而且四面体E－BDD1的底面BDD1的面积也易求，从而可以间接求得点D1到面BDE的距离．
设点D1到面BDE的距离为h,则h×S△EDB=EF×S△D1DB=3VE-BDD1
易求得EF＝
，S△EDB＝
，S△D1DB＝
，∴h×
=
×
.
所以h＝
．
图９
例９．第（18）题：
已知复数Z的辐角为600且z-1是z和z-2的等比中项，求z.
分析：
如图９，考察复平面上O,Z,C,D四点，点Z表示复数z，O,C,D分别表示0,1,2,线段的长ZO,ZC,ZD分别表示复数的模z，z-1，z-2，
在△ZOC中,利用余弦定理，得：
z-1２＝z２－z＋１,
在△ZOD中,利用余弦定理，得：
z-2２＝z２－2z＋4,
由条件得，z-1２=zz-2, ∴z-1４＝z2z-22
∴（z２－z＋１）２=z2（z２－2z＋4）,整理得z２+2z-１=0,
解得z＝
－１．
主要的问题有:
①未充分利用=600的条件，不熟习复数的几何意义;②未充分利用模的条件;③计算有明显的错误,如z-2=r-2;④模的概念不清如z=r=2,等等.
第（19）（题略）：
主要的问题有:
①未理解题意“P,Q中只有一个正确”它的正确含义是P真Q假,或Q真P假;②对于对数函数y=loga（x+1）的性质认识不清;认为函数y=loga（x+1）在（0,）内单调递减时,应该有a1;③思路繁笨,未能直接利用对数函数的单调性,而是从函数的单调性来考虑.
例10:
第（20）题.在某海滨城市附近海面有一台风.据监测,当前台风中心位于城市O（如图10）的东偏南（=arccos
）300km的海面P处,并以20km/h的速度向西偏北方向移动.台风侵袭的范围为圆形区域,当前半径为60km,并以10km/h的速度不断增大.问几小时后该城市开始受到台风的侵袭?
分析:
本题展现了一种动态的问题情境.随着时间的变化,台风中心Q的位置在变化,台风的侵袭的范围在扩大,这个圆形区域与城市O的距离越来越小.类似的问题情境学生在初中就接触过,可以归结为解三角形的数学模型,并利用余弦定理解决.
设经过t小时，台风中心到达的位置为Q，按题意得，在△POQ中，PO＝300km,PQ=t×20km,∠OPQ=-450,根据余弦定理得，
QO2=PO2+PQ2-2PO×PQcos（-450）……..①
因为cos=
∴sin=
从而cos（-450）＝4/5,代入①式并整理得QO2＝90000+400t2-9600t,
又以Q为中心的台风侵袭区域的半径为R,则R2=（60+10t）2,当ROQ
时，城市开始受到台风的侵袭．从而化为解不等式t2-36t+288≤0,解得
12≤t≤24.答：
12小时后，城市受到台风侵袭．
考生不适应于题设的动态情境,出现诸多错误,主要有:
①思路不清,方向不明,就急于计算,从而产生错误;②强加条件,认为OQ⊥PQ;③不会
利用cos=
/10求sin,即不能把=arccos（
/10）翻译为cos=
/10; ④相当一部分考生未能把问题与解三角形联系起来；⑤两角和差三角函数不熟练，而考卷中的公式缺乏参考作用．
图10
例11:
（21）题.已知常数a0,在矩形ABCD中,AB=4,BC=4a,O为AB的中点.点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动,且
=
=
P为GE与OF的交点（如图11）.问是否存在两个定点,使P到这两点的距离之和为定值？
若存在,求出这两点的坐标及此定值;若不存在,请说明理由.
图11
分析:
题中点E、F、G、P都在运动,其中点P是由于点E、F、G的运动而生成,通过设立定比比值为,求出动点E、F、G、P的坐标,消去参数,就可以得到动点P的轨迹方程.
根据图11所建立的坐标系，矩形各顶点的坐标为A（-2,0）,B（2,0）,C（2,4a）,D（-2,4a）.设
=
=
＝，按题意，
，∴BE=BC，
∴E（2,4a），同理可得F（2-4,4a）,G（-2,4a-4a）.设CD,EG分别交y轴于Q,H，则Q（0,4a）,由对称性易知H（0,2a）则直线（利用对称性简化计算）
EG的方程:
y=a（2-1）x+2a……..①
OF的方程:
y=
x…………..②
由②2-1＝-2ax/y,代入①整理得
=1．（2-1作整体代换！
）
当a２＝1/2时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点；
当a２≠1/2时，点P的轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆两焦点的距离之和为定值；设焦距为2c,当a２1/2时，
当a２1/2时，则c2=
-
∴c=
，点P到该椭圆两焦点
（-
）,（
）的距离之和为
;
当a２1/2时，则c2=a2-1/2,∴c=
，点P到该椭圆两焦点
（0,
－
，）,（0,
+
，）的距离之和为2
;
考卷上发现的主要的问题有:
①比例式设置不当,坐标计算有误;②未知数设置过多,找不到它们的联系;③得到椭圆方程后,未能化为标准形式,从而看不出中心和焦点;④未能就a的取值的不同情况正确地进行讨论.本题把动点轨迹问题,数学建模问题,分类讨论问题等几个难点结合在一起,使考生面临严峻的挑战.该题的得分率是各题中最低的.说明应用题仍然是当前数学学习的薄弱环节.
（22）题（题略）：
由于考生对数学归纳法有一定的认识,中等以上学生能够在第Ⅰ小题取得部分成绩,故本题的得分率比（21）题略高。
存在的主要的问题有:
①时间不够,极少数人能正确完成;②用数学归纳法证明第Ⅰ小题时,匆匆走过场,关键步骤徒有形式，即从n到n＋1这一关键步骤实际上没有证明;③做第Ⅱ小题时,大部分考生没有对（－1）n-1中n的奇偶性进行讨论.
４．试题和答卷的一些启示
03年高考试题和学生的答卷给当前中学数学教学提供了不少启示。
我们希望，在今后数学教学中应该注意：
认真学习高中数学课标的新理念，新内容，重视能力、素质与观念的健康发展；
重视开展开放性,探索性的数学学习活动，重视实验、探索、猜想，培养理性的精神；
抓好基础知识和基本技能的教学，双基是数学应用的基础，也是实验与探索的基础必须予以落实；
把数学思想方法作为正式的学习内容，提高学生的数学表达能力。
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