大学物理课后习题答案第五章北京邮电大学出版社.docx
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大学物理课后习题答案第五章北京邮电大学出版社
习题五
5-1振动和波动有什么区别和联系？
平面简谐波动方程和简谐振动方程有什么不同？
又有什么
联系？
振动曲线和波形曲线有什么不同？
解：
（1）振动是指一个孤立的系统（也可是介质中的一个质元）在某固定平衡位置附近所做的往复运动，系统离开平衡位置的位移是时间的周期性函数，即可表示为yf（t）;波动是振
动在连续介质中的传播过程，此时介质中所有质元都在各自的平衡位置附近作振动，因此介
质中任一质元离开平衡位置的位移既是坐标位置x，又是时间t的函数，即yf（x,t）•
（2）在谐振动方程yf（t）中只有一个独立的变量时间t,它描述的是介质中一个质元偏离平
衡位置的位移随时间变化的规律；平面谐波方程yf（x，t）中有两个独立变量，即坐标位
置x和时间t，它描述的是介质中所有质元偏离平衡位置的位移随坐标和时间变化的规律.
x
yAcos（t-）
当谐波方程u中的坐标位置给定后，即可得到该点的振动方程，而波源持
续不断地振动又是产生波动的必要条件之一.
（3）振动曲线yf（t）描述的是一个质点的位移随时间变化的规律，因此，其纵轴为y，横
轴为t；波动曲线yf（x，t）描述的是介质中所有质元的位移随位置，随时间变化的规律，
其纵轴为y，横轴为x•每一幅图只能给出某一时刻质元的位移随坐标位置x变化的规律，
即只能给出某一时刻的波形图，不同时刻的波动曲线就是不同时刻的波形图.
xx
5-2波动方程y=Acos[
u）+叮中的u表示什么？
如果改写为y=Acos
变，由此能从波动方程说明什么
x
解：
波动方程中的X/U表示了介质中坐标位置为X的质元的振动落后于原点的时间；u则
表示
X处质兀比原点落后的振动位相;
设
t时刻的波动方程为
yt
x
Acos（to）
u
则t
t时刻的波动方程为
yt
tAcos[（tt）（
u
X）
o]
其表示在时刻t，位置X处的振动状态，
tt（tX）
经过t后传播到Xut处.所以在u中,
丄yAcos（t——o）
播了xut的距离，说明u描述的是一列行进中的波，故谓之行
波方程.
5-3波在介质中传播时，为什么介质元的动能和势能具有相同的位相，而弹簧振子的动能和势能却没有这样的特点？
dV内所有质元的能量.波
解：
我们在讨论波动能量时，实际上讨论的是介质中某个小体积元
动动能当然是指质元振动动能，其与振动速度平方成正比，波动势能则是指介质的形变势
能.形变势能由介质的相对形变量（即应变量）决定.如果取波动方程为yf（x,t），则相对
形变量（即应变量）为y/X•波动势能则是与y/X的平方成正比•由波动曲线图（题5-3图）可知，在波峰，波谷处，波动动能有极小（此处振动速度为零），而在该处的应变也为极小（该
处y/x°）,所以在波峰，波谷处波动势能也为极小；在平衡位置处波动动能为极大（该
处振动速度的极大），而在该处的应变也是最大（该处是曲线的拐点），当然波动势能也为最大•这就说明了在介质中波动动能与波动势能是同步变化的，即具有相同的量值.
对于一个孤立的谐振动系统，是一个孤立的保守系统，机械能守恒，即振子的动能与势
能之和保持为一个常数，而动能与势能在不断地转换，所以动能和势能不可能同步变化.
5-4波动方程中，坐标轴原点是否一定要选在波源处？
t=°时刻是否一定是波源开始振动的
解：
由于坐标原点和开始计时时刻的选全完取是一种主观行为，所以在波动方程中，坐标原
点不一定要选在波源处，同样，t0的时刻也不一定是波源开始振动的时刻；当波动方程
X
yAcos（t一）
写成U时，坐标原点也不一定是选在波源所在处的•因为在此处对于波源
的含义已做了拓展，即在写波动方程时，我们可以把介质中某一已知点的振动视为波源，只
要把振动方程为已知的点选为坐标原点，即可得题示的波动方程.
5-5在驻波的两相邻波节间的同一半波长上，描述各质点振动的什么物理量不同，什么物理量相同？
y
解：
取驻波方程为
2
2Acos——xcos
vt
，则可知，在相邻两波节中的同一半波长上,
描述各质点的振幅是不相同的，各质点的振幅是随位置按余弦规律变化的，即振幅变化规律
2Acos——x
可表示为•而在这同一半波长上，各质点的振动位相则是相同的，即以相邻
两波节的介质为一段，同一段介质内各质点都有相同的振动位相，而相邻两段介质内的质点
振动位相则相反.
5-6波源向着观察者运动和观察者向波源运动都会产生频率增高的多普勒效应，这两种情况
有何区别？
解：
波源向着观察者运动时，波面将被挤压，波在介质中的波长，将被压缩变短，（如题5-6
uuVb，因
图所示），因而观察者在单位时间内接收到的完整数目（U/）会增多，所以接收频率增高；
而观察者向着波源运动时，波面形状不变，但观察者测到的波速增大，即
u_
而单位时间内通过观察者完整波的数目也会增多，即接收频率也将增高.简单地说，前
者是通过压缩波面（缩短波长）使频率增高，后者则是观察者的运动使得单位时间内通过的波面数增加而升高频率.
6）观（TA込功祈垃16不型
题5-6图多普勒效应
5-7一平面简谐波沿X轴负向传播，波长=1.0m，原点处质点的振动频率为=2.0Hz，振
幅A=0.1m，且在t=0时恰好通过平衡位置向y轴负向运动，求此平面波的波动方程.
0］则有
tx
yAcos[2（—一）
波动方程为T
X
y0.1cos[2（2t1）i]
0.1cos（4t2x）
2m
5-8已知波源在原点的一列平面简谐波，波动方程为y=Acos（BtCx）,其中A,B,C
为正值恒量.求：
（1）波的振幅、波速、频率、周期与波长；
（2）写出传播方向上距离波源为I处一点的振动方程；
（3）任一时刻，在波的传播方向上相距为d的两点的位相差.
解：
（1）已知平面简谐波的波动方程
yAcos（BtCx）g0）
将上式与波动方程的标准形式
x
yAcos（2t2）
比较，可知:
2
C代入上式，即得
Cd
5-9沿绳子传播的平面简谐波的波动方程为y=0.05cos（10t4X）,式中x,y以米计，t以
秒计.求：
（1）波的波速、频率和波长；
（2）绳子上各质点振动时的最大速度和最大加速度；
（3）求X=0.2m处质点在t=1s时的位相，它是原点在哪一时刻的位相？
这一位相所代表的运
动状态在t=1.25s时刻到达哪一点？
解：
（1）将题给方程与标准式
yAcos（2t—x）
相比，得振幅A0.05m，频率5s
（2）绳上各点的最大振速，最大加速度分别为
vmaxA10
2
amaxA（10
0.2m处的振动比原点落后的时间为
x空
u2.5
，波长
0.050.5
）2
0.05
0.5m,
1
ms
2
m
0.08s
0.2m,t1s时的位相就是原点（X0）,在to1
9.2n
n.
波速U
2.5ms1
0.080.92s时的位相,
设这一位相所代表的运动状态在t1.25s时刻到达X点，则
2.5（1.251.0）0.825m
t时刻的波形曲线.
（1）若波沿X轴正向传播,
xx1u（tt1）0.2
5-10如题5-10图是沿X轴传播的平面余弦波在
该时刻o,A,B,c各点的振动位相是多少？
（2）若波沿X轴负向传播，上述各点的振动位相又是多少？
解:
（1）波沿x轴正向传播，则在t时刻，有
对于0点：
•••
yo
0,Vo
0.
，…
O
2
对于A点：
•••
Ya
A,Va
0
A0
对于B点：
•••
Yb
0,Vb
0.
…
B
2
3
对于C点：
Yc
0,Vc
0.
…
C
2
（取负值：
表示
A、
B、C点位相，
应洛后于°点的位相）
（2）波沿x轴负向传播，则在
t时刻,
有
对于0点：
yo
0,Vo
0.
…
°
2
对于A点：
T
Ya
A,Va
0
A0
对于B点：
•••
Yb
0,Vb
0.
…
B
2
3
对于C点：
Yc
0,Vc
0.
…
C
2
（此处取正值表示A、B、C点位相超前于0点的位相）
5-11一列平面余弦波沿X轴正向传播，波速为5m•s-1，波长为2m,原点处质点的振动曲线如题5-11图所示.
⑴写出波动方程；
（2）作出t=0时的波形图及距离波源0.5m处质点的振动曲线.
解：
（1）由题5-11（a）图知，A0.1m，且t0时,
52.5
yo
O,Vo0
3
2
则波动方程为
y0.1cos[5（t
⑵t0时的波形如题5-11（b）图
y0.1cos（5t
如题5-11（c）图所示.
50.5
0.5
0.1cos（5t
）m
将X°.5m代入波动方程，得该点处的振动方程为
5-12如题5-12图所示，已知t=0时和t=0.5s时的波形曲线分别为图中曲线（a）和（b）,波沿x
y0.1cos[（t）]0.1cost
22m
轴正向传播，试根据图中绘出的条件求:
（1）波动方程；
（2）P点的振动方程.
解:
（1）由题5-12图可知，
A0.1
m,
4m，又，t
0时，y°0,v°0,.
-02,
X1
u2
u2
——
0.5
而t0.5m
s1
4
Hz，二
2
故波动方程为
y
0.1cos[
（tX）]
22
m
（2）将Xp1m代入上式，即得P点振动方程为
I
y（«）
03
O
/\\/也
0.1
题5-12图
5-13一列机械波沿x轴正向传播，t=0时的波形如题5-13图所示，已知波速为10m•s-1,波长为2m,求：
（1）波动方程；
（2）P点的振动方程及振动曲线；
（3）P点的坐标；
（4）P点回到平衡位置所需的最短时间.
A°
y°,v000
解：
由题5-13图可知A0.1m,t0时，2,3,由题知2m,
u10「
u10ms1，则
——5
2Hz
（t10）
3]m
4_
3（P点的位相应落后于0点，故取
负值）
A
yP,vp
（2）由图知，t°时，2
210
（1）波动方程为
yp0.1cos（10t
•P点振动方程为
__5
326
•••所属最短时间为
5/6
10
s
P点的振动方程为
丄
12
5-14如题5-14图所示，有一平面简谐波在空间传播，已知yp=Acos（t0）.
（1）分别就图中给出的两种坐标写出其波动方程；
（2）写出距P点距离为b的Q点的振动方程.
解：
（1）如题5-14图（a）,则波动方程为
lxyAcos[（t）0]
uu
如图（b）,则波动方程为
yj
iyj
tf
■d■卜b—
H
―H
£J
Pffj
（）
尸i
（a）
题5-14图
x
yAcos[（t-）0]
u
⑵如题5-14图（a）,贝y°点的振动方程为
b
AqAcos[（t）o]
u
如题5-14图（b），则Q点的振动方程为
K
AqAcos[（t-）o]
u
5-15已知平面简谐波的波动方程为yAcos（4t2x）（SI）.
⑴写出t=4.2s时各波峰位置的坐标式，并求此时离原点最近一个波峰的位置，该波峰何时
通过原点？
（2）画出t=4.2s时的波形曲线.
解：
（1）波峰位置坐标应满足
4t2t
tx
1
u故知U2ms
0.4
t
0.2
2
s，这就是说该波峰在
0-2s前通过原点，那么从计时时刻算起，则应
（4t2x）2k
解得x（k8.4）m（k0,12,...）
所以离原点最近的波峰位置为°4m.
⑵•-
4,u2m
1s
uTu
-1
m，又x0处，t4.2s时,
04.24
16.8
y0Acos4
4.20.8A
又，当y
A时，x
17
，则应有
16.8
2x17
解得x
0.1m，故t
4.2
s时的波形图如题
5-15图所示
y0.2cos[2（
2
5-17一平面余弦波，
4刁
沿直径为14cm的圆柱形管传播，波的强度为
18.0X10-J•m-2•s-1，频
解:
（1）T
Iwu
I…
103
5
w
18.0
610
u
300
Jm
wmax
2w
1
.2
-1
2U
W
Vw
—
d
w-
d-
⑵
4
4
5
1
610
—
1.210
2
（0.14）
300
9.24
300
107J
3
率为300Hz,波速为300m•s-1,求：
（1）波的平均能量密度和最大能量密度?
（2）两个相邻同相面之间有多少波的能量
5-16题5-16图中（a表示t=0时刻的波形图，（b）表示原点（x=0）处质元的振动曲线，试求此波的波动方程，并画出x=2m处质元的振动曲线.
解：
由题5-16（b）图所示振动曲线可知T2s,A0.2m，且t°时，y。
°，vo0,
5-18如题5-18图所示，S1和S2为两相干波源，振幅均为A,相距4,$较Sz位相超前2,
求：
（1）$外侧各点的合振幅和强度；
⑵S2外侧各点的合振幅和强度
解：
（1）在S外侧，距离S1为*的点，◎S2传到该P点引起的位相差为
—（r2
「2）
AAiA2A,IA4A2
5-19如题5-19图所示，设B点发出的平面横波沿BP方向传播，它在B点的振动方程为
3
yi210cos2t；c点发出的平面横波沿CP方向传播，它在C点的振动方程为
3
y2210cos（2t），本题中y以m计，t以s计•设BP=0.4m,CP=0.5m,波速u=0.2m•s1，求：
（1）两波传到P点时的位相差；
（2）当这两列波的振动方向相同时，P处合振动的振幅；
*（3）当这两列波的振动方向互相垂直时，P处合振动的振幅.
2一一
（21）—（CPBP）
解：
（1）
-（CPBP）
⑵P点是相长干涉，且振动方向相同，所以
AA1
（3）若两振动方向垂直，又两分振动位相差为所以合振幅为
3
410m
0，这时合振动轨迹是通过n,w象限的直线,
5-20
A■A2A；.2A1
平面简谐波沿x轴正向传播，如题
2、2103
2.8310
5-20图所示.已知振幅为A，频率为
波速为U.
u
—（0.50.4）0
0.2
解:
（1）Vt0时，yo0,Vo
2故波动方程为
yAcos[2v（t-）]
u2m
制1
°一尸
7波擁
?
i
丨・m・
2反対血
|4
题5-20图
32
x一—
（即将4代入）
疏入射而在波密界面上反射，存在半波损失，所以反射波在界面处的位相为
y反Acos[2（t
根据题意，k只能取Q1,艮卩％4
5-20一驻波方程为y=0.02cos20Xcos750t（SI），求:
（1）形成此驻波的两列行波的振幅和波速；
（2）相邻两波节间距离.
解：
（1）取驻波方程为
2x
y2Acoscos2t
u
0.02
A
0.01
故知
2
m
750
2—
20
2
750
则
2
u
2
2
750/2
u
37.51
20
20
ms
u
2
/20
0.1
0.314
⑵•••
m所以相邻两波节间距离
x—0.157
2m
5-22在弦上传播的横波，它的波动方程为y1=0.1cos（13t+0.0079x）（SI）
试写出一个波动方程，使它表示的波能与这列已知的横波叠加形成驻波，并在x=0处为波
节.
解：
为使合成驻波在X0处形成波节，则要反射波在X0处与入射波有的位相差，故
反射波的波动方程为
y0.1cos（13t0.0079x）
5-23两列波在一根很长的细绳上传播，它们的波动方程分别为
yi=0.06cos（x4t）（SI）,y2=0.06cos（x4t）（si）.
（1）试证明绳子将作驻波式振动，并求波节、波腹的位置；
（2）波腹处的振幅多大？
x=1.2m处振幅多大？
解：
（1）它们的合成波为
y0.06cos（x4）0.06cos（x4t）
0.12cosxcos4t
出现了变量的分离，符合驻波方程特征，故绳子在作驻波振动.
令xk，则xk,k=o,±1,±2…此即波腹的位置；
1
x（2k1）了x（2k1）；k012
令2则2,k0,1厶…，此即波节的位置.
（2）波腹处振幅最大，即为0.12m；x1.2m处的振幅由下式决定，即
A主0.12cos（1.2）0.097m
5-24汽车驶过车站时，车站上的观测者测得汽笛声频率由1200Hz变到了1000Hz,设空气
中声速为330m•f，求汽车的速率.
解：
设汽车的速度为Vs，汽车在驶近车站时，车站收到的频率为
u
10
u
0
uVs
uVs
汽车驶离车站时，车站收到的频率为联立以上两式，得
5-25两列火车分别以的汽笛声，若声速为遇后分别是多少？
12001000
U—2
12
72km•h-1和
340m•s-1，求第二列火车上的观测者听见该声音的频率在相遇前和相
300
30
1
ms
1200100
54km•h-1的速度相向而行，第一列火车发出一个600Hz
解：
设鸣笛火车的车速为相遇前收到的频率为
v120
ms1，接收鸣笛的火车车速为v215ms1，则两者
uv2
u
两车相遇之后收到的频率为
V1
34015600665
Hz
34020
uV2
1
uv1
迟上600
34020
541
Hz
入射波与反射波干涉而静止的各点的位置.
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