解法六，解法七…_方法还有很多，这种方法虽然没有开放性题型思维活跃，但它数据结构封闭，目的唯一，培养学生从利用条件或创设条件，寻找更优解法，这本身就是一种"创新"，能激发学生探索其他途径的兴趣。
（3）一题多变
"一题多解"是个好办法，"一题多变"也值得注意.在函数单调性这节课中，设计这样一组例题。
1，确定
在
上的单调性
2，确定
上的单调性
3，
当x在
上为增函数，则a范围
4，
上单调递增，则a范围
5，
的值域为R，且f（x）在
上单调递增，则a范围
6，若函数
在区间
上为减函数，求
的取值范围；
当然这涉及了二次函数的单调性，在开口确定情况下，以轴为分类标准，同时不断变式，结合对数函数构造复合函数，以增加题的难度。
这样的题组教学可以说是研究性学习的一个课堂实践吧，对培养思维灵活性是非常有益的。
3知识迁移，增加视角，培养思维的广阔性
数学研究性学习有广阔的知识背景，为思维的有机重组提供了宽广空间，一个问题，一个知识点，决不会是孤零零的存在的，这就要求学生在思考过程中，增加各种可采用视角，扩大范围，把对象放到大环境中去考察，从而有可能发现更多属性，它体现的就是思维的广阔性。
（1）创设情景题型
例在学习函数及其图象时，根据选择中学生上网热，设计一个研究性课题"上网方式与费用研究"
Ⅰ学生收集相关资料，这个课题有丰富的研究背景，开拓学生视野。
如:
上网的方式有哪些?
上网的费用如何?
手机入网的类别与价格?
储蓄与利率?
Ⅱ研究讨论，制表。
上网方式
基本费用
时间限额
超时收费标准
163
普通
一一一一
按时间计费2/h
拨号
A类
50元/月
包当月50小时
1，网络使用0.8兀/h
上网
H类
30元/月
包当月30小时
2，通信费0.02兀/分钟
D类
200元/月
包当月上网和
普通市话费
ADSL
512k
70元/月
一一一一
宽带
2M
90元/月
Ⅲ优化方案，运用知识，找出上网费用与时间的函数。
1
y=2t
t≧0
2
50
50+2（t-50）
0≦t≦50
t≧50
3
30
30+2（t-30）
0≦t≦30
t≧30
4
y=200
t≧0
5
y=70
t≧0
6
y=90
t≧0
Ⅳ画图分析，哪种方式省钱？
让学生给方案
例在学习指数函数时设置情景（实际问题）：
某种计算机病毒传播速度很快，可以由1个分裂成2个，2个分裂成4个………，分裂x次后得到的个数y与x之间的函数关系式？
答案：
（课件展示）
例在学习数学归纳法时设置情景：
今天，据观察第一个到学校的是男同学，第二个到学校的也是男同学，第三个到学校的还是男同学，于是得出：
这所学校里的学生都是男同学。
例在学习球的体积时，设置情景：
借助多媒体虚拟一个数学实验室，实验室中有足够多的水，量筒，器皿，弹簧秤，实心球，空心球，半球，并郑重通知学生实验器材不足可自行添加。
这样实验环境新鲜，开放，马上调动起学生积极性，这时在提出问题：
请设计方案计算球的体积。
（2）知识迁移型
例数学归纳法的应用
1，证明恒等式13+23+33+……+n3=（1+2+3+……+n）2
2，证明整除，当n为奇数时，证明xn+yn能被x+y整除
3，证明不等式，
4，几何问题，证n多边形对角线个数为
此外还有数列问题，一般性实际应用问题，求函数表达式等。
一种很好的方法或理论，我们要试图从多方面设想，探求这种方法或理论适用的各种问题，扩大它的应用范围，这种知识的正向迁移也是研究性学习渗透在数学教学中的一个方面。
像换元法，判别式法，对称法，在这类课题的研究中，学生发散思维，知识迁移，就是对思维品质广阔性的培养。
4亲历实践，打破定势，培养思维独创性
独创性指独立发现问题，分析问题，解决问题，独立思考出有社会（个人）价值的有新颖成分的成果的智力品质。
创造不仅仅是一种行为、能力、方法，而是一种意识、态度、观念。
有了创造意识，才有创造实践。
所以要让学生亲自参与到实践活动中去，在体验内化的基础上，逐步形成自觉指导创造行为的个人观念系统。
《数学课堂标准解读》指出:
学生数学学习过程可以说是一种再创造过程，而且是真正意义上的再创造。
这种创造区别于数学家注重结果的创造，它注重过程的体验，经验的积累。
在概念定理的学习中，通过数学研究性学习再现知识发生发展的过程，就是在问题基础上激发学生非模仿性思维的过程，对于学生来说非模仿性思维就是思维的独创性。
[2]
（1）再现过程型
有一条N边形道路。
有一辆汽车绕此道路跑一周，此时回到起始的位置，y由于只转了一周，因此它的方向改变总计3600，对百边形，千边形也是3600，这个值是不变的。
因此有下述定理成立"多边形外角和3600。
"
"人人是创造之人，处处是创造之地，天天是创造之时"可以说在数学家眼中无处不数学。
数学研究性学习就是把数学与社会实践相结合，让学生体验数学的巨大亲和力，并且感受数学家的那种生活数学化的感情。
在亲历实践的过程中，学生对那些有创意的拐弯，岔路往往不屑一顾。
这些小路就是我数学研究性学习要强调的思维独创性。
（2）思维求异型
例（b-c）x2+（c-a）x+a-b=0（b≠0）有两个相等的实根。
求证:
2b=a+c
常规解法，我们最先想到的就是由判别式=O来解，个人思维方式主要表现为一种习惯，一种定势思维，看到高次就降幂，看到同类项就合并，看到分数就化简……头脑总是"轻驾就熟"地沿着自己习惯的道路飞奔，在这道题中，我们试图打破定势，思维求异，观察方程的系数，所有系数和为O。
既有x1=x2=1
再由根与系数关系，
=x1x2=1:
.2b=a+c
思维定势改变需要一个长期过程，所以坚持数学研究性学习，经常做"脑力操"，对思维独创性培养有着重要作用。
在研究过程的策划上要有意识打破权威定势、从众定势、唯经验定势。
在研究内容选择上，可以设计概念定理的再发现过程，也可以安排实际生活问题，但目的都是培养学生打破定势创新思维。
5发现问题，训练"质疑"，培养恩维品质的批判性
批判性表现在有主见的评价事物，严格的估计思维材料，精确的检查思维过程的品质。
它是思维过程中自我意识作用结果。
中学生具有好生性强，喜欢怀疑、争辩，寻跟问底的特点。
而他们的认识总是从不全面、不深刻或出现谬误，经过多次反复和多次争论逐步发展起来的。
批判性是思维过程中自我意识的结果。
在数学研究性学习中，我们可以选择有争议的问题让学生进行研究，让学生自己鉴别，深层次挖掘，发现问题，尤其是那些隐蔽的错误进行辩误、驳谬，来培养思维的批判性。
（1）对经验质疑
例"大饺子能装馅"这是老辈们的经验之谈，到底对不对?
对这类题要以"质疑"态度去对待，通过数量关系转化，在严紧的数学思维中去判断它的正误。
我们就假设一定体积的面，问:
是不是饺子皮越大装的馅越多?
当我们在假设饺子皮厚度相同，大小相同，近似圆形的条件下，记饺子皮半径为r，面积为s，体积为v1，饺子馅体积V2，饺子皮总体积为v则
饺子个数N=
饺子馅的总体积
由导数的几何性质，
，
所以随r增大，饺子馅也增大。
可见老辈们的经验是正确的。
（2）对权威质疑
我们所说的"质疑"主要是从正反两视角思考问题，先用肯定视角思考一边，再用否定视角思考一边。
有位学者说过."告诉学生一个命题，谁能马上找出一个反例来驳斥它，他就是个数学人才。
"数学有不少发现就是在对前人的"质疑"后的产物。
如无理数的出现，非欧几何的产生。
6通过问题性研究，培养学生的目的性和敏捷性
研究性学习中还渗透着对目的性和敏捷性的培养。
数学研究性学习就是以问题为中心，以解决问题为目的，引导学生积极探索，逐步寻求总目标的途径进而实现它。
希尔伯特说过:
"hewhoseeksformethodswithouthavingadefiniteprobleminmindseeksforthemostpartinvain.'（心中没有一定问题而去寻找方法的人多半是徒劳无获的）思维的敏捷性表现在思维过程的简缩性和快速性思维速度敏捷的人，经常能表现出良好的临场应变能力，就是思维深刻性与灵活性的有机结合。
数学研究性学习正是通过反复训练，培养思维的敏捷性。
例在一块半圆形铁板中，截取一块面积最大的矩形，怎样截取?
并求出矩形的面积。
如学生还要选择参数，用三角函数知识来解决就显的思维呆板了，可用"圆内接矩形中正方形面积最大。
"，快速简沽，这就是思维敏捷性的体现。
二数学研究性学习对非智力思维品质的培养
非智力思维品质是数学思维内驱力的巨大源泉，从根本上决定一个人能否进行正常有效的数学思维活动。
[3]
1开阔视野，激发学生高尚学习动机
学生学习数学是一种有意识的行动，需要有激励，推动他们去学习的内部动力，并借以达到学习的目的。
这种引起个体行为的内在动力，促进人们进行有目的的行为---这就是学习动机。
联系社会开展的研究性学习加强了数学的应用性"数学的生命在于应用的广泛性"通过应用知识解决实际问题使学生体验到理智高于事实和现象的权力感，使学生体验到知识是使人崇高的力量。
通过数学学科与其他学科的交叉与整合，设计研究性题目，如."湖水污染治理"，"经济增长极限"，"减肥问题"……这些数学知识的具体应用是比任何东西都更强有力的动机。
在研究过程中，学生不但努力提高自己创造和认知能力，而且要关心社会的进步，祖国的前途，人类的命运，经济的发展，环境的保护，使自己学习动机上升到一个更高境界，学习动机越明确越高，学习将更专心刻苦，思维水平将越高，离成功将越近。
事实上，许多数学家在学生时代就已经确立了高尚的学习动机，如不计个人名利，坚持回国工作的数学家陈建功。
2注重个性，培养学生数学学习情感
数学学习情感是在数学思维过程中产生发展起来的，学生在学习中感受到数学的用处与美，尝到获得数学知识技能的愉快和欢乐，从而逐步形成了学习数学的热情。
例告诉学生这样一个故事:
古罗马有一公主名叫约瑟芬，才华出众，美艳绝伦，喜欢一青年人乔治。
国王女儿出嫁不同于普通国民，有一传统议事。
先选出10人围成一圈，由公主任选一人开始，按顺时针方向逐个数到公主的年龄17，这个人就被淘汰，在从下一个开始，继续下去……公主急中生智，晚上用金币围成一圈，反复实践，终于找到选中乔治的方法，你知道吗?
其实答案就是我们所说的“计子问题"'用反向推理
无论从哪个开始，只要把第17块金币拿掉，那么剩
下的总是开始数的第三块金币，于是只要从乔治前两
位作为起点开始计数就可以了。
（如图）
正如数学家华罗庚说过."就数学本身而言，也是壮丽多彩，千姿百态，引人入胜的。
一个问题想不出来时，固然有些苦恼，若一旦豁然想通，那滋味难道不是甜蜜蜜的?
这和音乐，舞蹈艺术的享受有什么不同?
如果在成法之外，别开生面的现出一些新法来，那就更是其乐无比了。
"[4]华罗庚的这段话更突出了研究性学习的数学的再创造过程使学生体会到数学创造的快乐情感。
数学研究性学习根据学生个性差异，因材施教，学学生想学的知识，研究想研究的问题，学习不再是一种负担。
越学越好，越好越学，这就是数学学习应努力达到的一种状态，这种思维品质能使学生对科学满腔热情，以攀登数学高峰。
3设置梯度，锻炼学习的坚强意志
学生在数学学习中，不但要发挥才能，开展思维，还要克服各种困难，能主动的调节自己的学习行动，去实现预定学习目的。
这种能只觉确定学习目的，及时调节学习行动，努力克服种种困难，以实现预定目的的心理过程就是学习意志。
数学研究性学习是一项复杂脑力劳动，研究过程不可能一帆风顺，总要求学生调整思路克服各种困难和疑问，通过经受这种磨练，锻炼坚强意志。
数学家张广厚谈到，数学家或科学家基本素质之一就是不怕困难。
研究性学习本身就是一种再创造过程，虽与数学家的创造不同，但在其思维方式上是相同的，所以它与其他学习方式相比更利于对意志的培养。
"几乎所有有成就得科学家都具有一种百折不回的精神，因为大凡有价值的成就，在面临反复挫折时都需要毅力和勇气。
"同学生在数学学习时一定要抓住数学研究性学习这块阵地，克服困难磨练意志，在创造数学方面，失败最多的学生，往往是最有希望的学生。
结束语
曾有一位数学家作过如下论断."数学是一种思维形式，它牢固地扎根于人类的智慧之中……"[6]数学就是思维的体操，而数学教育的目的就是培养学生的数学思维能力，这个能力通常反映在数学思维品质上，笔者通过数学研究性学习这一新兴教育方式对培养数学思维品质的作用进行了再探讨，就是想在研究性学习的特殊教育理念下，提高学生数学思维能力，培养学生创造精神和实践能力。
此外在对数学研究性学习对思维品质培养中还存在几点思考。
1在数学研究性学习内容的选择上，不是每种课题都适合用来进行思维品质的培养，应该根据选择的内容有意识思考对哪种思维品质进行培养，把对思维品质培养渗。
2数学研究性学习对思维品质的培养是纵横交错的，各种思维品质不是孤立存在地，数学研究性学习对思维品质的培养也不是孤立的，在研究过程中，如何突出一种或几种思维品质，怎样把握尺度，达到训练思维最优效果仍需探讨。
3不同研究性问题的学习方法对思维品质的培养，设计研究性问题的方法有很多种，选择哪种方法，真对哪种思维品质，也值得数学教育工作者思考。
我们相信，随着数学研究性学习的深入，教育工作者在教学实践中不断的探索与创新，数学研究性学习对数学思维培养的优越性必将大放异彩，促进学生数学思维健康发展
参考文献[1]冯新瑞.研究性学习在教学中应用的探讨[J].课程.教材.教法，2002，（5）Pll
[2]王升.论研究性学习课程[J].课程.教材.教法，2002，（5）
[3]席振伟.数学的思维方式[M].江苏教育出版社1995.南京
[4]华罗庚等.数学家谈怎样学数学[M]黑龙江教育出版社1986年第一P33[5]W.1.B贝费里奇.科学研究的艺术.科学出版社1997年第一版P144
[6][美]莫里兹编著朱剑英编译.数学家言行录.江苏教育出版社1990P21
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