第18讲阅读理解型问题.docx

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第18讲阅读理解型问题

第18讲阅读理解型问题

第一部分考第搜索

（一）中考专题诠释

阅读理解型问题在近几年的全国中考试题中频频“亮相”，特别引起我们的重视.这类问题一般文字叙述较长，信息量较大，各种关系错综复杂，考查的知识也灵活多样，

既考查学生的阅读能力，又考查学生的解题能力的新颖数学题.

（二）解题策略与解法精讲

解决阅读理解问题的关键是要认真仔细地阅读给定的材料，弄清材料中隐含了什么新的数学知识、结论，或揭示了什么数学规律，或暗示了什么新的解题方法，然后展开联想，将获得的新信息、新知识、新方法进行迁移，建模应用，解决题目中提出的问题.

第二部分典例精析

考点一：

阅读试题提供新定义、新定理，解决新问题

例1（2012•十堰）阅读材料：

例：

说明代数式

的几何意义，并求它的最小值．

解：

=

，

如图，建立平面直角坐标系，点P（x，0）是x轴上一点，

则

可以看成点P与点A（0，1）的距离，

可以看成点P与点B（3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和，它的最小值就是PA+PB的最小值．

设点A关于x轴的对称点为A′，则PA=PA′，因此，求PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，而点A′、B间的直线段距离最短，所以PA′+PB的最小值为线段A′B的长度．为此，构造直角三角形A′CB，因为A′C=3，CB=3，所以A′B=3

，即原式的最小值为3

．

根据以上阅读材料，解答下列问题：

（1）代数式

的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（1，1）、点B的距离之和．（填写点B的坐标）

（2）代数式

的最小值为．

【分析】

的形式，再根据题中所给的例子即可得出结论；

（2）先把原式化为

的形式，故得出所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（0，7）、点B（6，1）的距离之和，再根据在坐标系内描出各点，利用勾股定理得出结论即可．

【解答】

（1）∵原式化为

的形式，

∴代数式

的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（1，1）、点B（2，3）的距离之和，

故答案为（2，3）；

（2）∵原式化为

的形式，

∴所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（0，7）、点B（6，1）的距离之和，

如图所示：

设点A关于x轴的对称点为A′，则PA=PA′，

∴PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，而点A′、B间的直线段距离最短，

∴PA′+PB的最小值为线段A′B的长度，

∵A（0，7），B（6，1）

∴A′（0，-7），A′C=6，BC=8，

∴A′B=

=10，

故答案为：

10．

同步拓展

1.（2012湛江）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：

例题：

解一元二次不等式x2﹣4＞0

解：

∵x2﹣4=（x+2）（x﹣2）

∴x2﹣4＞0可化为

（x+2）（x﹣2）＞0

由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得

解不等式组①，得x＞2，

解不等式组②，得x＜﹣2，

∴（x+2）（x﹣2）＞0的解集为x＞2或x＜﹣2，

即一元二次不等式x2﹣4＞0的解集为x＞2或x＜﹣2．

根据以上的例题解下列不等式

（1）一元二次不等式x2﹣16＞0的解集为　　；

（2）分式不等式

的解集为　　；

（3）解一元二次不等式2x2﹣3x＜0．

【解答】

（1）∵x2﹣16=（x+4）（x﹣4）

∴x2﹣16＞0可化为

（x+4）（x﹣4）＞0

由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得

解不等式组①，得x＞4，

解不等式组②，得x＜﹣4，

∴（x+4）（x﹣4）＞0的解集为x＞4或x＜﹣4，

即一元二次不等式x2﹣16＞0的解集为x＞4或x＜﹣4．

（2）∵

∴

或

解得：

x＞3或x＜1

（3）∵2x2﹣3x=x（2x﹣3）

∴2x2﹣3x＜0可化为

x（2x﹣3）＜0

由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得

或

解不等式组①，得0＜x＜

，

解不等式组②，无解，

∴不等式2x2﹣3x＜0的解集为0＜x＜

．

考点二、阅读试题信息，归纳总结提炼数学思想方法

例2（2012•赤峰）阅读材料：

（1）对于任意两个数a、b的大小比较，有下面的方法：

当a-b＞0时，一定有a＞b；

当a-b=0时，一定有a=b；

当a-b＜0时，一定有a＜b．

反过来也成立．因此，我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求差法”．

（2）对于比较两个正数a、b的大小时，我们还可以用它们的平方进行比较：

∵a2-b2=（a+b）（a-b），a+b＞0

∴（a2-b2）与（a-b）的符号相同

当a2-b2＞0时，a-b＞0，得a＞b

当a2-b2=0时，a-b=0，得a=b

当a2-b2＜0时，a-b＜0，得a＜b

解决下列实际问题：

（1）课堂上，老师让同学们制作几种几何体，张丽同学用了3张A4纸，7张B5纸；李明同学用了2张A4纸，8张B5纸．设每张A4纸的面积为x，每张B5纸的面积为y，且x＞y，张丽同学的用纸总面积为W1，李明同学的用纸总面积为W2．回答下列问题：

①W1=（用x、y的式子表示）

W2=（用x、y的式子表示）

②请你分析谁用的纸面积最大．

（2）如图1所示，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，已知A、B到l的距离分别是3km、4km（即AC=3km，BE=4km），AB=xkm，现设计两种方案：

方案一：

如图2所示，AP⊥l于点P，泵站修建在点P处，该方案中管道长度a1=AB+AP．

方案二：

如图3所示，点A′与点A关于l对称，A′B与l相交于点P，泵站修建在点P处，该方案中管道长度a2=AP+BP．

①在方案一中，a1=km（用含x的式子表示）；

②在方案二中，a2=km（用含x的式子表示）；

③请你分析要使铺设的输气管道较短，应选择方案一还是方案二．

【分析】

（1）①根据题意得出3x+7y和2x+8y，即得出答案；②求出W1-W2=x-y，根据x和y的大小比较即可；

（2）①把AB和AP的值代入即可；②过B作BM⊥AC于M，求出AM，根据勾股定理求出BM．再根据勾股定理求出BA′，即可得出答案；

③求出a12-a22=6x-39，分别求出6x-39＞0，6x-39=0，6x-39＜0，即可得出答案．

【解答】

（1）解：

①W1=3x+7y，W2=2x+8y，故答案为：

3x+7y，2x+8y．

②解：

W1-W2=（3x+7y）-（2x+8y）=x-y，

∵x＞y，

∴x-y＞0，

∴W1-W2＞0，

得W1＞W2，

所以张丽同学用纸的总面积大． 

（2）①解：

a1=AB+AP=x+3，

故答案为：

x+3．

②解：

过B作BM⊥AC于M，

则AM=4-3=1，

在△ABM中，由勾股定理得：

BM2=AB2-12=x2-1，

在△A′MB中，由勾股定理得：

AP+BP=A′B=

，

故答案为：

．

③解：

a12-a22=（x+3）2-（

）2=x2+6x+9-（x2+48）=6x-39，

当a12-a22＞0（即a1-a2＞0，a1＞a2）时，6x-39＞0，解得x＞6.5，

当a12-a22=0（即a1-a2=0，a1=a2）时，6x-39=0，解得x=6.5，

当a12-a22＜0（即a1-a2＜0，a1＜a2）时，6x-39＜0，解得x＜6.5，

综上所述

当x＞6.5时，选择方案二，输气管道较短，

当x=6.5时，两种方案一样，

当0＜x＜6.5时，选择方案一，输气管道较短．

考点三、阅读相关信息，通过归纳探索，发现规律，得出结论

例3（2012•凉山州）在学习轴对称的时候，老师让同学们思考课本中的探究题．

如图

（1），要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？

你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律？

聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法．他把管道l看成一条直线（图

（2）），问题就转化为，要在直线l上找一点P，使AP与BP的和最小．他的做法是这样的：

①作点B关于直线l的对称点B′．

②连接AB′交直线l于点P，则点P为所求．

请你参考小华的做法解决下列问题．如图在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，BC=6，BC边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使△PDE得周长最小．

（1）在图中作出点P（保留作图痕迹，不写作法）．

（2）请直接写出△PDE周长的最小值：

．

【分析】

（1）根据提供材料DE不变，只要求出DP+PE的最小值即可，作D点关于BC的对称点D′，连接D′E，与BC交于点P，P点即为所求；

（2）利用中位线性质以及勾股定理得出D′E的值，即可得出答案．

【解答】

（1）如图，作D点关于BC的对称点D′，连接D′E，与BC交于点P，

P点即为所求；

（2）∵点D、E分别是AB、AC边的中点，

∴DE为△ABC中位线，∵BC=6，BC边上的高为4，∴DE=3，DD′=4，

∴D′E=

=5，∴△PDE周长的最小值为：

DE+D′E=3+5=8，故答案为：

8．

第三部分每课质检

1．（2012•宁波）邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又剩下一个四边形，称为第二次操作；…依此类推，若第n次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形．如图1，▱ABCD中，若AB=1，BC=2，则▱ABCD为1阶准菱形．

（1）判断与推理：

①邻边长分别为2和3的平行四边形是阶准菱形；

②小明为了剪去一个菱形，进行了如下操作：

如图2，把▱ABCD沿BE折叠（点E在AD上），使点A落在BC边上的点F，得到四边形ABFE．请证明四边形ABFE是菱形．

（2）操作、探究与计算：

①已知▱ABCD的邻边长分别为1，a（a＞1），且是3阶准菱形，请画出▱ABCD及裁剪线的示意图，并在图形下方写出a的值；

【解答】

（1）①利用邻边长分别为2和3的平行四边形进过两次操作，所剩四边形是边长为1的菱形，

故邻边长分别为2和3的平行四边形是2阶准菱形；

故答案为：

2；

②由折叠知：

∠ABE=∠FBE，AB=BF，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AE∥BF，

∴∠AEB=∠FBE，

∴∠AEB=∠ABE，

∴AE=AB，

∴AE=BF，

∴四边形ABFE是平行四边形，

∴四边形ABFE是菱形；

（2）

①如图所示：

②∵a=6b+r，b=5r，

∴a=6×5r+r=31r；

如图所示：

故▱ABCD是10阶准菱形．

2.（2012•淮安）阅读理解

如图1，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分；…；将余下部分沿∠BnAnC的平分线AnBn+1折叠，点Bn与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，∠BAC是△ABC的好角．

小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形．情形一：

如图2，沿等腰三角形ABC顶角∠BAC的平分线AB1折叠，点B与点C重合；情形二：

如图3，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合．

探究发现

（1）△ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC是不是△ABC的好角？

（填“是”或“不是”）．

（2）小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角，请探究∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系．根据以上内容猜想：

若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为．

应用提升

（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15°、60°、105°，发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角．

请你完成，如果一个三角形的最小角是4°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角．

【解答】

（1）△ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC是△ABC的好角；

理由如下：

小丽展示的情形二中，如图3，

∵沿∠BAC的平分线AB1折叠，

∴∠B=∠AA1B1；

又∵将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合，

∴∠A1B1C=∠C；

∵∠AA1B1=∠C+∠A1B1C（外角定理），

∴∠B=2∠C；

故答案是：

是；

（2）∠B=3∠C；如图所示，在△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分，将余下部分沿∠B2A2C的平分线A2B3折叠，点B2与点C重合，则∠BAC是△ABC的好角．

证明如下：

∵根据折叠的性质知，∠B=∠AA1B1，∠C=∠A2B2C，∠A1 B1C=∠A1A2B2，

∴根据三角形的外角定理知，∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C；

∵根据四边形的外角定理知，∠BAC+∠B+∠AA1B1-∠A1 B1C=∠BAC+2∠B-2C=180°，

根据三角形ABC的内角和定理知，∠BAC+∠B+∠C=180°，

∴∠B=3∠C；

由小丽展示的情形一知，当∠B=∠C时，∠BAC是△ABC的好角；

由小丽展示的情形二知，当∠B=2∠C时，∠BAC是△ABC的好角；

由小丽展示的情形三知，当∠B=3∠C时，∠BAC是△ABC的好角；

故若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为∠B=n∠C；

（3）由

（2）知，∠B=n∠C，∠BAC是△ABC的好角，

∴∠C=n∠A，∠ABC是△ABC的好角，∠A=n∠B，∠BCA是△ABC的好角，

∴如果一个三角形的最小角是4°，三角形另外两个角的度数是4、172；8、168；16、160；44、132；88°、88°．

3.（2012•南京）下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批改．

题目：

某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：

1，在温室内，沿前侧内墙保留3m的空地，其他三侧内墙各保留1m的通道，当温室的长与宽各为多少时，矩形蔬菜种植区域的面积是288m2？

解：

设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，则长为2xm，

根据题意，得x•2x=288．

解这个方程，得x1=-12（不合题意，舍去），x2=12

所以温室的长为2×12+3+1=28（m），宽为12+1+1=14（m）

答：

当温室的长为28m，宽为14m时，矩形蔬菜种植区域的面积是288m2．

我的结果也正确！

小明发现他解答的结果是正确的，但是老师却在他的解答中画了一条横线，并打了一个？

．

结果为何正确呢？

（1）请指出小明解答中存在的问题，并补充缺少的过程：

变化一下会怎样…

（2）如图，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD的内部，AB∥A′B′，AD∥A′D′，且AD：

AB=2：

1，设AB与A′B′、BC与B′C′、CD与C′D′、DA与D′A′之间的距离分别为a、b、c、d，要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，a、b、c、d应满足什么条件？

请说明理由．

【解答】

（1）小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：

1的理由．

在“设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，则长为2xm．”前补充以下过程：

设温室的宽为ym，则长为2ym．

则矩形蔬菜种植区域的宽为（y-1-1）m，长为（2y-3-1）m．

∵

 =2，

∴矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：

1；

（2）要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，

就要

，即

，

即

，

即

=2．