第二章整式的加减.docx
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第二章整式的加减
第二章整式的加减
2.1整式
第1课时用字母表示数
【知识与技能】
能正确用含字母的式子表示数量关系及以前学过的运算律、计算公式.
【过程与方法】
体会字母表示数的意义，形成初步的符号感，提高应用数学的意识.
【情感态度】
探究过程中培养和发展学生学习数学的主动性，提高数学表达能力，发展分析和解决问题的能力.
【教学重点】
用字母表示数量之间的关系.
【教学难点】
体会字母表示数的意义，形成初步的符号感.
一、情境导入,初步认识
做一做
1.若正方形的边长为a，则正方形的面积是；
2.若三角形一边长为a，并且这边上的高为h，则这个三角形的面积为；
3.长方形的长与宽分别为a、b，则长方形的周长是;
4.鸡兔同笼，鸡a只，兔b只，则共有头个，脚只.
【教学说明】教师出示上面4个小题，让学生初步体会用字母表示数的意义.教师可向学生提问：
它们有什么不同？
不管学生对此作出什么回答，教师都应给予鼓励.
【答案】1.a2
2.
ah
3.2（a+b）或2a+2b
4.a+b2a+4b
问题用字母表示数的书写规则.
【教学说明】培养学生良好的规范的书写习惯.
【归纳结论】
（1）乘号的写法：
字母与字母相乘，数与字母相乘时，乘号“×”通常省略不写或用“·”代替.例如a×b写成ab或a·b.
（2）除号的写法：
除号一般不用除号“÷”，而是写成分数的形式，例如：
（a+b）h÷2写成
.
（3）带分数的写法：
数与字母相乘时，数如果是带分数，要化成假分数，并且数要写在字母的前面，例如计算2
与xy相乘时，写成
xy或
.
二、思考探究，获取新知
用字母表示数.
问题1教材第54页例1.
【教学说明】上一栏目中，学生已通过做一做大致体会了用字母表示数的意义，因此对于这道例题，教师可放手让学生独立思考并做一做，让学生有更深一步的体会：
用字母表示数量关系和用数去表示数量关系是一样的.
问题2教材第55页例2.
【教学说明】这道例题也同样是用字母表示数量关系，只不过其结果是多项式.教师仍可让学生独立完成.在这道例题完成后，教师向学生提问：
①用字母表示数量关系和用数表示有什么异同？
②用字母表示数量关系是不是应用更为广泛一些？
③用数表示是不是有其局限性？
【归纳结论】事实上，用字母表示数量关系往往更为便捷和直观，而用数表示这些关系往往具有局限性（有些数量关系不能用数表示）；用字母表示数，字母和数一样可以参与运算，可以用式子把数量关系简明地表示出来.
试一试教材第56页练习.
三、运用新知，深化理解
1.下列各式：
①1
x;②（a+b）÷c;③2n-1;④2xy
;⑤2.5xy2;⑥
ab3,其中符合书写要求的个数为（）
A.1个B.2个C.3个D.4个
2.用含有字母的式子填空.
（1）某商店前一个月盈利a元，这个月盈利是前一个月盈利的75%，则这个月盈利元.
（2）三角形的底是高的2倍，若高是xcm，则这个三角形的面积是cm2.
（3）1kg橘子a元，1kg苹果6元，购买10kg橘子和mkg苹果共元.
（4）x的立方与y的平方的差是.
【教学说明】通过这几个小题检测学生对本节课内容的掌握情况.可采取学生抢答的形式完成.
【答案】1.C
2.
（1）75%a
（2）x2
（3）10a+6m（4）x3-y2
四、师生互动，课堂小结
1.师生共同回顾用字母表示数的知识点.教师提问：
如何用字母表示数量关系？
2.你还有什么疑问？
说说看.
1.教材第56页“练习”及从习题2.1中选取.
2.完成练习册中本课时的练习.
第2课时单项式
【知识与技能】
1.理解单项式及单项式的系数、次数的概念.
2.会准确迅速地确定一个单项式的系数和次数.
【过程与方法】
通过列代数式，了解单项式的有关概念，结合小组讨论、合作学习等方式，经历概念的形成过程，培养学生自主探索知识和合作交流能力.
【情感态度】
初步培养学生观察、分析、抽象、概括等思维能力和应用意识.
【教学重点】
1.掌握用字母表示有关单项式的数量关系.
2.掌握单项式及单项式的系数、次数的概念，并会准确迅速地确定一个单项式的系数和次数.
【教学难点】
单项式概念的建立.
一、情境导入,初步认识
问题下列各式子：
100t,0.8p，mn,a2h,-n,它们有什么特点？
【教学说明】先让学生通过观察、分析、与同伴进行交换，试着说出自己找到的各式特点.教师给予积极的鼓励，适当的总结，引入新课题.
二、思考探究，获取新知
单项式、单项式的系数和次数.
问题教材第56页思考.
【教学说明】结合上节课时的学习，用字母表示数的式子有什么特点？
教师提出这个问题，让学生稍作思考后回答，然后师生共同归纳，得出有关单项式的概念及其系数和次数.教师应向学生强调以下几点：
①单项式中不含加减运算，只含字母与字母或数与字母的乘法（包括乘方）运算；②当一个单项式的系数是1时，“1”统一省略不写.当一个单项式的系数是-1时，“1”可以省略不写，但“-”不能省略；③一个数也是单项式；④单项式的系数是带分数时，要写成假分数，如1
x2y要写成
x2y；⑤单项式的系数包括它前面的符号；⑥单项式的次数是所有字母次数的和，不是看哪一个字母的次数最高.
三、典例精析，掌握新知
例1教材第56~57页例3.
【教学说明】这个例题较为简单，可让学生独立完成后教师进行巡视，及时发现问题.巡视过程中，教师注意看学生是否会将第
（2）小题
ah的次数写成1，是否会将第（3）小题的系数写成0，若发现有此类问题要进行纠正.此外，教师还应让学生看第（4）（5）小题的结果，向学生强调：
用字母表示数后，同一个式子可以表示不同的意义.
例2判断下列各代数式是否是单项式.如不是，请说明理由；如是，请指出它的系数和次数.
①x＋1；②
；③πr2；④-
a2b.
解：
①不是，因为原代数式中出现了加法运算；②不是，因为原代数式是1与x的商；③是，它的系数是π，次数是2；④是，它的系数是-
，次数是3.
【教学说明】通过这个例题，教师可让学生说明：
①中的式子是下一课时要学到的多项式；②中的式子是分式，在以后的学习中要学到；③中的π是常数，不是字母（学生对此可能有思维定势）；④中的次数是a的次数与b的次数相加，不是单指a的次数.
试一试教材第57页练习.
【教学说明】在讲解完上面的例题后，教师引导学生做教材第57页练习.对于第1题，教师让学生分成2组，第1组回答系数，第2组回答次数，看哪个组回答得对，以培养学生的团队意识，活跃课堂气氛.第2题为用字母表示数的题，教师仍可点名让学生回答.
四、运用新知，深化理解
1.下列各式中，单项式有（）
A.4个B.5个C.6个D.7个
2.单项式-3πxy2z3的系数和次数分别是（）
A.-π，5B.-1，6C.-3π，6D.-3，7
3.判断题.（对的打“√”，错的打“”）
（1）字母a和数字1都不是单项式.（）
（2）
可以看作
与3的乘积，所以式子
是单项式.（）
（3）单项式xyz的次数是3.（）
（4）-
这个单项式系数是2，次数是4.（）
（5）单项式24的次数是4.（）
4.指出下列单项式的系数和次数.
①-6；②-a8;③+2a2b;④-
.
5.如果（a+1）x3yb-1是关于x、y的单项式，且系数不为0，次数为5，那么a、b满足什么条件？
【教学说明】以上几题均是对本课时的知识进行练习巩固，教师可让学生先独立完成，然后学生举手回答，看学生会在哪方面有困惑或疑问，然后有针对性地对相应知识点进行讲解.
【答案】
1.B2.C
3.
（1）×
（2）×（3）√（4）×（5）×
4.①系数为-6，次数为0.【解析】一个数字也是单项式，此处-6可看作-6与一个指数为0的字母相乘，所以其次数为0.
②系数为-1，次数为8.
③系数为2，次数为3.
④系数为-
，次数为8.
5.解：
由题意可得，a+1≠0,且3+b-1=5,解得a≠-1,b=3.即a、b满足的条件是a≠-1,b=3.
五、师生互动，课堂小结
教师提出以下问题，让学生思考，然后师生一起进行知识小结:
（1）什么是单项式？
单项式的系数和次数是什么？
（2）你还有什么疑问和困惑？
说说看.
1.布置作业：
从教材习题2.1中选取.
2.完成练习册中本课时的练习.
第3课时多项式和整式
【知识与技能】
1.通过本节课的学习，使学生掌握整式、多项式的项及其次数、常数项的概念.
2.知道整式和单项式、多项式的关系.
【过程与方法】
通过小组讨论、合作交流，让学生经历新知的形成过程，培养比较、分析、归纳的能力.由单项式与多项式归纳出整式，这样更有利于学生把握概念的内涵与外延，有利于学生知识的迁移和知识结构体系的更新
【情感态度】
初步体会类比和逆向思维的数学思想.
【教学重点】
掌握整式及多项式的有关概念，掌握多项式的定义、多项式的项和次数，以及常数项等概念.
【教学难点】
多项式的次数.
一、情境导入,初步认识
做一做
1.一袋水果共26千克，其中苹果x千克，橘子y千克，其余全是香蕉，那么香蕉有千克.
2.如图阴影部分的面积为.
【教学说明】由于本课时学习的是多项式，所以首先通过让学生做一做用字母表示数量关系来引入多项式，既是对前一课时有关知识的回顾，又由此导入新课，既符合学生的认知水平，又能为学生学习新知提供丰富的素材.以上答案依次为26-x-y、a2-
πa2.
二、思考探究，获取新知
问题观察栏目一中的结果26-x-y、a2-
πa2，以及前一课时问题2（即教材第55页例2）中的结果，这些式子有什么特点？
【教学说明】这个问题由学生小组派代表回答，教师应肯定每一位学生说出的特点，培养学生观察、比较、归纳的能力，同时又锻炼他们的口头表达能力.通过特征的讲述，由学生自己归纳出多项式的定义，教师可给予适当的提示及补充，并予以板书.
【归纳结论】上面这些代数式都是由几个单项式相加而成的.像这样，几个单项式的和叫做多项式.在多项式中，每个单项式叫做多项式的项.其中，不含字母的项，叫做常数项.例如，多项式3x2－2x+5有三项，它们是3x2，－2x，5.其中5是常数项.
一个多项式含有几项，就叫几项式.多项式里，次数最高项的次数，就是这个多项式的次数.例如，多项式3x2－2x+5是一个二次三项式.
【教学说明】归纳过程中，教师还应向学生提醒：
（1）多项式的次数不是所有项的次数之和；
（2）多项式的每一项都包括它前面的符号.
此外，教师在此处介绍多项式的项和次数、以及常数项等概念，并让学生比较多项式的次数与单项式的次数的区别与联系，有利于向学生渗透类比的数学思想.
三、典例精析，掌握新知
例1判断：
（1）多项式a3－a2ｂ＋ab2－b3的项为a3、a2ｂ、ab2、b3，次数为12.（）
（2）多项式3n4－2n2＋1的次数为4，常数项为1.（）
【教学说明】这两个判断能使学生清楚地理解多项式中项和次数的概念，第
（1）题中第二、四项应为－a2b、－b3，而往往很多同学都认为是a2b和b3，不把符号包括在项中.另外也有同学认为该多项式的次数为12，应注意：
多项式的次数为最高次项的次数.答案依次为：
（1）×
（2）√.
例2指出下列多项式的项和次数：
（1）3x－1＋3x2；
（2）4x3＋2x－2y2.
解：
（1）3x，－1，3x2；次数是2；
（2）4x3，2x，-2y2；次数是3.
例3指出下列多项式是几次几项式.
（1）x3－x＋1；
（2）x3－2x2y2＋3y2-5.
解：
（1）三次三项式；
（2）四次四项式.
例4已知代数式3xn－（m－1）x＋1是关于x的三次二项式，求m、n的值.
解：
n=3,m-1=0,m=1.
【教学说明】让学生口答例2、例3，老师在黑板上规范书写格式.讲述例2时应特别提醒学生注意，多项式的项包括前面的符号，多项式的次数应为最高次项的次数.在例3讲完后插入整式的定义：
单项式与多项式统称整式.例4分析时要紧扣多项式的定义，培养学生的逆向思维，使学生透彻理解多项式的有关概念，培养他们应用新知识解决问题的能力,此外，教材中的例4由学生自行阅读，教师可酌情讲解.
四、运用新知，深化理解
1~2.教材第58~59页练习.
3.选择.
（1）如果一个多项式是五次多项式，那么（）
A.这个多项式最多有六项
B.这个多项式只能有一项的次数是六
C.这个多项式一定是五次六项式
D.这个多项式最少有二项，并且最高次项的次数是五
（2）下列说法正确的是（）
A.－
的系数是－2,次数是3
B.单项式a的系数是0,次数是0
C.－3x2y+4x－1是三次三项式,常数项是1
D.单项式－
的次数是2,系数为－
（3）下列说法正确的是（）
A.
不是单项式B.
是单项式
C.x的系数是0D.
是整式
4.已知代数式x5－5xny＋4y2是关于字母x、y的五次三项式，正整数n可以取哪些值？
【教学说明】上面1~3题较为简单，可让学生口答完成.第4题稍难，教师可作提示：
-5xny的次数是n+1.
【答案】1.
（1）2（a+b）ab106
（2）
（a+b）h15
2.
（1）5x,次数是1
（2）x2+3x+6,次数是2，项为x2、3x、6（3）x+2，次数是1，项为x、2
3.
（1）D
（2）D（3）D
4.n可以是1、2、3、4.
五、师生互动，课堂小结
1.理解多项式的定义，能说出一个多项式是几次几项式，最高次数是几，分别由哪几项组成，各项的系数分别为多少，常数项为几.
2.这堂课学习了多项式，与前一节所学单项式合起来统称为整式，使知识形成了系统.
1.布置作业：
从教材习题2.1中选取.
2.完成练习册中本课时的练习.
3.选做题：
（1）“x的12与y的和”用代数式可以表示为（）
（2）多项式2-3x2y+2y2-7x的项数与次数分别为（）
A.4,7B.4,3C.3,4D.3,3
（3）如图，用围棋棋子按下面的规律摆图形，则摆第n个图形需要围棋子的枚数是（）
A.5nB.5n－1C.6n－1D.2n2＋1
（4）如图，边长为（m+3）的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后剩余部分又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），若拼成的矩形一边长为3，则另一边长是（）
A.2m+3B.2m+6C.m+3D.m+6
（5）一个三位数，个位数字是a,十位数字是b,百位数字是个位的两倍，这个三位数表示为.
（6）一个关于字母x的二次三项式的二次项系数为４，一次项系数为１，常数项为7.这个二次三项式为.
（7）父亲年龄比儿子年龄的3倍少5岁，设儿子的年龄为x岁，则父亲的年龄为岁.
（8）关于x,y的多项式5xmy2+（m－2）xy+3x.①如果多项式的次数为5，则m为多少？
②如果多项式只有二项，则m为多少？
2.2整式的加减
第1课时合并同类项
【知识与技能】
理解同类项的概念，掌握合并同类项的法则.
【过程与方法】
1.经历概念的形成过程和法则的探究过程，培养观察、归纳、概括能力，发展应用意识.
2.渗透分类和类比的思想方法.
【情感态度】
在独立思考的基础上，积极参与讨论，敢于发表自己的观点，从交流中获益.
【教学重点】
正确合并同类项.
【教学难点】
找出同类项并正确的合并.
一、情境导入,初步认识
我们来看本章引言中的问题
（2）.
在西宁到拉萨路段，列车通过冻土地段所需时间是th，那么它通过非冻土地段所需要的时间就是2.1th，则这段铁路的全长（单位：
千米）是100t+120×2.1t，即100t+252t.类比数的运算，我们应如何化简式子100t+252t呢？
【教学说明】教师先引出教材中的问题，让学生思考，并试着写出答案，教师再予以评讲，为下面同类项及合并同类项概念的引入作铺垫.
二、思考探究，获取新知
问题1为了搞好班会活动，李明和张强去购买一些水笔和软面抄作为奖品.他们首先购买了15本软面抄和20支水笔，经过预算，发现这么多奖品不够用，然后他们又去购买了6本软面抄和5支水笔.问：
①他们两次共买了多少本软面抄和多少支水笔？
②若设软面抄的单价为每本x元，水笔的单价为每支y元，则这次活动他们支出的总金额是多少元？
【教学说明】知识的呈现过程尽量与学生已有的生活实际密切联系，从而能提高学生从事探索活动的投入程度和积极性，激发学生的求知欲.
问题2观察下列各单项式，把你认为相同类型的式子归为一类.
【教学说明】由学生小组讨论后，按不同标准进行多种分类，教师巡视后把不同的分类方法投影显示.
要求学生观察归为一类的式子，思考它们有什么共同的特征?
请学生说出各自的分类标准，并且肯定每一位学生按不同标准进行的分类，再由教师给出同类项的定义.
试一试
1.下列各式与3a2b3是同类项的是（）
A.－3a2b3B.－3a3b2
C.－2b2a3D.－a3b3
2.若单项式3xm－ny3与单项式3x2nyn的和是6xm－nyn，则（）
A.m≠9B.n≠3
C.m＝9，n≠3D.m＝9，n＝3
3.判断下列各题中的两个项是否是同类项，并说明理由.
（1）3a2b和－
a2b；
（2）
ab3和－
a3b；
（3）x3和y3；（4）
m2n3和3n3m2；
（5）2ab和2xy；（6）－3和0.
4.
（1）若
x3y2a与－
x5by4是同类项，求a，b的值;
（2）若－3x5y2m－3与
xny5是同类项，求m2－2n的值;
（3）若3amb5和－7bn+1a2是同类项，求m与n的值.
【答案】1.A
2.D
3.
（1）（4）（6）是同类项.
4.
（1）a＝2，b＝
（2）6（3）m＝2，n＝4
问题3探索合并同类项的过程.
学生讨论问题1的解答过程，可根据购买的时间次序列出代数式，也可根据购买物品的种类列出代数式，再运用加法的交换律与结合律将同类项结合在一起，将它们合并起来，化简整个多项式，所得的结果都为（21x＋25y）元.
由此可得：
把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.（板书：
合并同类项.）
三、典例精析，掌握新知
例1k取何值时，3xky与－x2y是同类项？
解：
要使3xky与－x2y是同类项，这两项中x的次数必须相等，即k＝2.所以当k＝2时，3xky与－x2y是同类项.
例2找出多项式3x2y－4xy2－3＋5x2y＋2xy2＋5中的同类项，并合并同类项.
【教学说明】根据以上合并同类项的实例，让学生讨论归纳，得出合并同类项的法则：
把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母指数保持不变.
例3下列各题合并同类项的结果对不对？
若不对，请改正.
（1）2x2＋3x2=5x4；
（2）3x＋2y=5xy；
（3）7x2－3x2=4；（4）9a2b－9ba2=0.
解：
（1）不对，结果应为5x2；
（2）不对，两者不是同类项；（3）不对，结果应为4x2；（4）结果正确.
【教学说明】通过这一组题的训练，进一步熟悉法则.
例4合并下列多项式中的同类项：
【教学说明】用不同的记号标出各同类项，会减少运算错误，当然熟练后可以不再标出.其中第（3）题应把（x＋y）、（x－y）看作一个整体，特别注意（x－y）2n=（y－x）2n，n为正整数.在讲完这个例题后，教师可让学生做教材第64页例1，进一步体会合并同类项.
例5求多项式3x2＋4x－2x2－x＋x2－3x－1的值，其中x=－3.
试一试把x＝－3直接代入例5这个多项式，可以求出它的值吗？
与上面的解法比较一下，哪个解法更简便？
【教学说明】通过比较两种方法，使学生认识到，在求多项式的值时，常常先合并同类项，再求值，这样比较简便.在讲完这个例题后，教师可让学生看教材第64页例2，看跟此题有什么类似之处.
四、运用新知，深化理解
1~4.教材第65页练习.
【教学说明】这4题让学生独立完成，并让学生上台板演.
【答案】略
五、师生互动，课堂小结
1.要牢记同类项的概念，熟练正确的合并同类项，以防止2x2＋3x2=5x4的错误.
2.从实际问题中类比概括得出合并同类项法则，并能运用法则，正确的合并同类项.
1.布置作业：
从教材习题2.2中选取.
2.完成练习册中本课时的练习.
第2课时去括号
【知识与技能】
能运用运算律探究去括号法则，并且利用去括号法则将整式化简.
【过程与方法】
经过类比带有括号的有理数的运算，发现去括号时的符号变化的规律，归纳出去括号法则，培养学生观察、分析、归纳能力.
【情感态度】
培养学生主动探究、合作交流的意识，严谨治学的学习态度.
【教学重点】
去括号法则，准确应用法则将整式化简.
【教学难点】
括号前面是“-”号去括号时，括号内各项变号容易产生错误.
一、情境导入,初步认识
利用合并同类项可以把一个多项式化简，在实际问题中，往往列出的式子含有括号，那么该怎样化简呢？
现在我们来看本章引言中的问题（3）：
在格尔木到拉萨路段，如果列车通过冻土地段要uh，那么它通过非冻土地段的时间为（u－0.5）h，于是，冻土地段的路程为100ukm，非冻土地段的路程为120（u－0.5）km，因此，这段铁路全长（单位：
km）是
100u+120（u－0.5）①
冻土地段与非冻土地段相差
100u－120（u－0.5）②
上面的式子①、②都带有括号，它们应如何化简？
思路点拨：
教师引导、启发学生类比数的运算，利用分配律.学生练习、交流后，教师归纳：
利用分配律，可以去括号，合并同类项，得：
100u+120（u－0.5）=100u+120u+120×（－0.5）=220u－60；
100u－120（u－0.5）=100u－120u－120×（－0.5）=－20u+60.
我们知道，化简带有括号的整式，首先应先去括号.
上面两式去括号部分变形分别为：
+120（u－0.5）=+120u－60③
－120（u－0.5）=－120u+60④
比较③、④两式，你能发现去括号时符号变化的规律吗？
二、思考探究，获取新知
【教学说明】上一栏目中问题，应鼓励学生通过观察，试用自己的语言叙述去括号法则，然后教师板书（或用屏幕）展示.
【归纳结论】如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；
如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反.
特别地，+（x－3）与－（x－3）可以分别看作1与－1分别乘（x－3）.
利用分配律，可以将式子中的括号去掉，得：
+（x－3）=x－3（括号没了，括号内的每一项都没有变号）
－（x－3）=－x+3（括号没了，括号内的每一项都改变了符号）
去括号规律要准确理解，去括号应对括号内的每一项的符号都予考虑，做到要变都变；要不变，则每一项都不变；另外，括号内原有几项去掉括号后仍有几项.
三、典例精析，掌握新知
例1化简下列各式：
（教材第66页例4）
（1）8a+2b+（5a－b）；
（2）（5a－3b）－3（a2－2b）.
【教学说明】讲解时，先让学生判定是哪种类型的去括号，去括号后，要不要变号，括号内的每一项原来是什么符号？
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