完整版必修一函数的单调性题型大全.docx
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完整版必修一函数的单调性题型大全
函数的单调性与最值
一、知识点归纳
1、函数单调性的性质：
（1）
增函数：
如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值
f（x1）-f（x2）>0
，当时，都有，
x1-x2
（2）
减函数：
如果对于属于定义域I内某个区间的任意两个自变量的值，当时，
f（x1）-f（x2）<0
都有，
x1-x2
（3）函数的单调性还有以下性质．
1.函数y＝－f（x）与函数y＝f（x）的单调性相反．
2.当f（x）恒为正或恒为负时，函数y＝
1
f（x）与y＝f（x）的单调性相反．
3.在公共区间内，增函数＋增函数＝增函数，增函数－减函数＝增函数等．
（）（）
fxfx
4.如果k>0函数k与函数具有相同的单调性。
（）（）
fxfx
如果k<0函数k与函数具有相反的单调性。
1
5.若f（x）≠0，则函数f（x）与f（x）具有相反的单调性,.
fxfx
6.若>O，函数与函数
fx
具有相同的单调性。
fxfx
若<0，函数与函数
fx
具有相同的单调性
7.函数f（x）在R上具有单调性，则f（-x）在R上具有相反的单调性。
2、复合函数的单调性。
①如果函数
u=g（x）x∈A
u∈B
y=f（u）（C⊆B）
y∈D，则y=
f[g（x）]
称为x的复合函数。
②解决复合函数的问题，关键是弄清复合的过程，即中间变量u的定义域与值域的作用。
复合函数的单调性的判断：
同增异减。
题型一、单调性讨论或证明
▲定义法证明单调性的等价形式：
设x1、x2∈[a,b]，x1≠x2,那么
（x-x）[f（x）-f（x
）]>0⇔
f（x1）-f（x2）>0⇔
f（x）在[a,b]上是增函数；
1212
x1-x2
（x-x）[f（x）-f（x
）]<0⇔
f（x1）-f（x2）<0⇔
f（x）在[a,b]上是减函数.
1212
x1-x2
例1.证明：
f（x）=1
x2
在（-∞,0）上是增函数；
1-x
变式1.判断f（X）=1+x在（-1，＋∞）上的单调性
例2.求函数f（x）＝
ax
1-x2
（a>0）在区间（-1，1）内的单调性
变式1.若例题中改成a≠0.该怎么做呢
例3.已知a>0，函数f（x）=x+a（x>0），证明：
函数f（x）在（0，x
a）上是减函数，在
[a，＋∞）上是增函数。
变式1.判断函数f（x）＝x+1在（1,＋∞）上的增减情况
x
单调性的应用
题型二、比较函数值的大小
例4.已知函数y=
f（x）在[0,+∞）上是减函数，试比较
f（3）4
与f（a2-a+1）的大小.
变式1.已知函数y=
f（x）在[1,+∞）上是增函数，比较f（a）与f（a2）的大小
题型三、已知单调性，求参数范围（含参问题）
例5.已知函数f（x）=x2-2（x-a）x+2
（1）若f（x）的减区间是（-∞,4]，求实数a的值；
（2）若f（x）在（-∞,4]上单调递减，求实数a的取值范围.
⎨-x2+（2-b）x,x≤0
例6.若函数f（x）=⎧（2b-1）x+b-1,x>0在R上为增函数，求实数b的取值范围.
⎩
例7.函数f（x）=ax+1在区间（-2，+∞）上是增函数，那么a的取值范围是（）
x+2
A.02
B.a>1
2
C.a<-1或a>1D.a>-2
练习
1.设二次函数f（x）=x2-（2a+1）x+3
（1）若函数f（x）的单调增区间为
，则实数a的值；
（2）若函数f（x）在区间内是增函数，则实数a的范围；
⎧ax,x>1
2.
若函数f（x）=⎪
⎪（2-4）x+
13,x≤1
4
是（-∞,+∞）上的减函数，求a的取值范围．
3.函数f（x）=4x2-kx-8在[5,20]上具有单调性,则实数k的取值范围（）
A.[20,80]
B．（-∞，40，]⋃[160+∞）C．（-∞，20）⋃（80，+∞）
D．[40,160]
题型四、利用单调性，求解抽象不等式（不含参问题）
例7.已知函数y=
f（x）是（-1,1）上的减函数，且f（1-a）>
f（a2-1），求实数a的取值
范围.
变式
1.已知：
f（x）是定义在[－2，2]上的增函数，且f（x－1）
2.已知函数f（x）＝Error!
若f（2－a2）>f（a），则实数a的取值范围是（）
A．（－∞，－1）∪（2，＋∞）B．（－1,2）
C．（－2,1）D．（－∞，－2）∪（1，＋∞）
题型五、单调性法求函数最值（值域）
例8函数f（x）=
1
2x-1
在[1,5]上的最大值为
最小值为;
变式1.函数y=2x-
的值域为;
2.函数y=+
的值域为;3
3.
函数y=
-
x+2的值域为;
例9函数y=x+1
x
在（1，＋∞）上的值域为（）
y=1+x
变式1函数的值域为;
例10函数y=2x+1在[2,4]上的最大值为
x+1
最小值为;
二次函数的区间最值的求法
二次函数在给定区间[m,n]上求最值，常见类型：
（1）定轴定区间：
对称轴与区间[m,n]均是确定的；
（2）动轴定区间：
定轴定区间（可数形结合，较易解决，注意对称轴与区间位置关系）
例11.当-2≤x≤2时，求函数y=x2-2x-3的最值.
变式：
求函数y=-x2+4x+5在[1,5]上的最值.
2、动轴定区间（对对称轴在区间左侧、右侧、内部三种情况进行讨论，从而确定最值在区间端点处还是在顶点处取得.）
例12.已知函数f（x）=x2+2ax+2，求f（x）在[-5,5]上的最值.
变式：
求函数f（x）=x2-2ax-1在[0,2]上的最值.
思考求函数y=+2x的值域
知识拓展——复合函数单调性（▲难点）
一、复习回顾：
复合函数的定义：
如果函数y=f（t）的定义域为A，函数t=g（x）的定义域为D，值域为C，则
当C⊆A时，称函数y=f（g（x））为f与g在D上的复合函数，其中t叫做中间变量，t=g（x）
叫内层函数，y=
▲小结：
f（x）叫外层函数。
1、注意：
（1）求单调区间必先求定义域；
（1）单调区间必须是定义域的子集；
（2）写多个单调区间时，区间之间不能用“”并起来，应用“，”隔开.
2、判断复合函数单调性步骤：
求函数的定义域；
将复合函数分解成基本初等函数：
y=f（t）与t=g（x）；
确定两个函数的单调性；
④由复合法则“同増异减”得出复合函数单调性
题型二、求复合函数的单调区间
例13.求下列函数的单调区间.
（3）y=
（2）y=
1
x2-2x-3
变式
（1）y=
（2）y=1
（3）y=
1
x2-4x
题型六、抽象函数单调性的判断——定义法
“凑”，凑定义或凑已知条件，从而使用定义或已知条件得出结论；
赋值法，给变量赋值要根据条件与结论的关系，有时可能要进行多次尝试.
例14.已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x>0时f（x）>0，
求证：
f（x）在R上单调递增.
变式1：
已知定义在（0,+∞）上的函数f（x）对任意x、y∈（0,+∞），恒有f（xy）=
f（x）+f（y），
且当00，判断f（x）在（0,+∞）上单调性
变式2：
定义在（0,+∞）上的函数f（x）对任意x、y∈（0,+∞），满足f（mn）=
当x>1时f（x）>0.
f（m）+f（n），且
（1）求f
（1）的值；
（2）求证：
f（
m）=
n
f（m）-f（n）；
（3）求证：
f（x）在（0,+∞）上是增函数；
（4）若f
（2）=1，解不等式f（x+2）-f（2x）>2
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