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*******大学

本科生毕业论文（设计）

题目******

学院******

专业班级******

学生姓名******

指导教师*****

撰写日期：

二○一二年五月二日

目录

摘要 2

1引言 2

2在金融领域应用数学方法的必要性 3

2.1金融研究的对象具有可计量性 3

2.2教学具有高度的抽象性，高度的精确性，严密的逻辑性 3

2.3在金融领域应用数学方法的局限性 3

2.3.1非经济因素的影响 3

2.3.2数学方法应用目的不明确 4

3数学在金融领域的主要发展及应用 4

3.1金融数学模型化发展的思考 4

3．1．1金融实践为什么需要（复杂的）数学模型 4

3.2数学在金融领域中的应用 5

3．2．1资产估价模型 5

3．2．2证券投资组合模型 6

3.2.2.1均值方差模型 7

3.2.2.2资本资产定价模型（CAPM） 7

3.2.2.3套利定价模型 10

3.3数学方法在金融领域中的广泛应用 12

3.3.1金融工程学 12

3.3.2金融文学 12

4现代金融理论的发展趋势 13

4.1随机最优控制理论 13

4.2鞅理论 13

4.3脉冲最优控制理论 13

4.4微分对策理论 14

4.5最优停时理论 14

4.6智能优化 14

5结论 14

参考文献：

15

致谢 16

数学方法在金融领域中的发展及应用

****

信息与管理科学学院信息与计算科学专业

摘要：

数学是研究现实的数量关系和空间形式的科学，因此，它一直是和各种各样的应用问题紧密相关的。

随着知识经济的到来。

人们对各种问题的要求越来越精确，数学方法以其精确和严密性在金融学中被广泛应用，阐述金融工具从日常语言发展到数理语言．具有了理论上的抽象，是金融学科的一种进步。

那为什么高深的数学方法在金融研究中作用有限呢?

金融学研究不确定性条件下的决策．不存在完美的金融模型来指导实践。

本文主要介绍了数学在金融领域中的主要发展及应用，并在此基础上分析了目前存在的问题。

关键词：

羊群行为度量方法；证券投资；资本资产定价；期权定价；金融趋势

Mathematicsmethodinthefieldoffinancialdevelopmentandapplication

Abstract:

Mathematicsisthenumberofrealityandtheformofthespacesciencerelationship,therefore,ithasalwaysbeenandallkindsoftheapplicationofcloselyrelated.Withthecomingofknowledgeeconomy,Peopleonavarietyofissuesmoreandmorepreciserequirements,mathematicalmethodtoitsaccurateandrigoriswidelyusedinfinance,expoundsthefinancialtoolsfromdailylanguagedevelopmenttomathematicallanguage.Withthetheoryofabstracting,isfinancialdisciplineofakindofprogress.Whyadvancedmathematicalmethodsinresearchinfinancelimitedrole?

Financeaffairsundertheuncertaintyofadecision,doesnothavetheperfectfinancialmodeltoinstructthepractice.Thisarticlemainlyintroducedthemathematicsinthefinancialsectorofthemaindevelopmentandapplication,andbasedonthisanalysisofthecurrentproblems.

Keywords:

Herdingmeasurementmethod;Negotiablesecuritiesinvestment

.Thecapitalassetpricing;Optionpricing;Financialtrend

1引言

数学方法是科学方法中的理性方法的最重要的一种，大凡在比较成熟的科学中，都广泛运用数学方法。

数学方法包括各种纯粹数学和应用数学方法，比如数字计算、数学推理、建立和求解方程、运筹、统计、计算机模拟和推演等。

随着金融市场的发展，金融学越来越与数学紧密相连，而且现代金融学的发展也推动了数学的某些分支的发展，同时数学理论和方法为金融学的发展提供了有力的工具。

实践已经证明，数学给金融学带来了巨大的活力，实践还将继续证明，数学在金融理论中会发挥越来越大的作用。

但是在我们对数学的作用作出乐观的估计的同时，必须清楚地意识到数学所处的地位，企图把所有的金融问题都纳入金融数学的范畴的想法是不现实的，也是荒唐的。

数学总是其它学科的合作伙伴，它着眼于“能做什么"和“怎样做的更好”，这大概正是它在一些边缘学科中获得成功所遵循的路线。

这条路线已经并将继续在金融经济领域中得到贯彻，数学家与金融家的通力合作是发展金融数学的必由之路。

2在金融领域应用数学方法的必要性

2.1金融研究的对象具有可计量性

金融学要反映金融活动中的数量关系，金融研究的对象是具有可计量性的。

同任何其他经济活动一样，金融现象和过程既有质的规定性．又有量的规定性，这就决定了把数学方法应用于金融研究是完全可能的。

金融活动中也存在大量的数据，比如，证券交易，期货等等。

在进行金融理论研究时，搜集和整理这些数据．并运用数学模型对货币金融活动中的利率、汇率、货币供给与需求、收益率等数据进行分析，才能得出更为精确的结论。

2.2数学具有高度的抽象性，高度的精确性，严密的逻辑性

由于其固有的抽象性可使金融研究借助于数学方法的抽象，更好地发现现实金融问题背后的经济变量函数，使复杂的关系得以清晰化。

由于其固有的精确性，采用数学方法可以准确的研究和描述经济范畴之间的数量关系。

由于其固有的严密逻辑性，使得数学分析成为科学推理的主要手段．可以使一些用其他方法难以说清的逻辑关系得到简洁明了的说明。

比如．马科维茨证明的“不要把鸡蛋放在一个篮子里”的道理．从而使金融投资理论由老祖母的经验成为严谨的数学。

2.3在金融领域应用数学方法的局限性

2.3.1非经济因素的影响

金融学所研究的问题．具有复杂、不容易被量化的特点，存在着许多非经济因素的影响。

其中包括政治的，文化的，习俗的，心理的等。

而数学模型对现实的把握是相对的、有条件的，不是绝对的，因此数学模型的理论前提不得不建立在一系列假设的基础上，这些假设与现实市场的状况在某些时候是完全不同的。

数学模型就失去了它的分析能力，对未来结果的预测也丧失了其应有的准确性。

次贷危机、五大投资银行的衰落，都证明了这一点。

2.3.2数学方法应用目的不明确

数学也是一种语言．对某种现象之所以要用数学而不用其他形式的语言去描述，就是因为它能够比其他形式的语言更简练、更准确地将该现象表示出来。

如果达不到简练准确的效果，就应该采用其他的，而不应该以渊博的数学知识作为傲视同仁之资本，用以掩饰金融理论贫乏之尴尬。

例如20世纪90年代，一些经济学家试图用随机微分和非参数统计方法研究金融问题。

但至今成效甚徽．甚至于

应用方面出现了致命的偏差。

数学科学是研究数量关系和空间形式的一个宏大科学体系，它是一门集严密性、逻辑性、精确性和创造力与想象力于一体的学问，也是自然科学、技术科学、社会管理科学等的巨大智力资源。

金融市场是一个复杂的系统，随着社会经济的发展，特别是世界经济一体化的迅速发展，金融的全球化自由化也日益加强。

与此同时，也加剧了金融市场的激烈竞争，使金融风险普遍存在。

金融风险的防范和控制仅靠传统的金融体制和金融业务是不够的，金融市场秩序也不能只靠行政和司法来维持，它要求金融改革深化和金融创新，特别要求金融理论的系统科学化、数学化和计算机化，也就是说，从系统科学的观点出发，着眼于金融市场的整体，运用模型，特别是数学模型来表达金融市场系统的本质，用最优化技术来评价，选择方案，运用计算机寻找满意的结果，使金融市场系统整体达到最经济，最有效，最合理的状态。

在这样的状态下，才有可能最大限度地控制和化解金融风险。

3数学在金融领域的主要发展及应用

3.1金融数学模型化发展的思考

最近50年来金融数学模型与金融实践的相互作用越来越明显。

金融数学模型直接、明显地改变着金融实践，反过来金融实践强烈地影响着数学模型的产生发展。

因此，数学模型对金融业未来的发展有着重大影响。

事实上，现代金融理论就是现代数学上的优化与应用上的完美结合。

3．1．1金融实践为什么需要（复杂的）数学模型

金融理论的核心问题，就是研究在不确定的环境下，经济代理人在空间和时间上分配或配置金融资产的活动。

这种金融行为涉及到金融资产的时间因素，不确定性因素——即金融资产的价值和风险问题。

由于时间因素、不确定性因素及其交互作用的结果使金融行为呈现出极端的复杂性。

处理这种复杂性常常就需要引入复杂的数学工具。

如不确定性的描述就需要引入概率、统计和随机过程理等，如何在空间和时间上分配资源需要引入最优化模型等。

历史上，数学模型对金融实践有着直接的和明显性的影响，推动了金融实践的发展；同时，金融实践也强烈地影响着金融数学模型的产生与发展。

金融数学模型在未来将改变传统的风险管理方法。

金融风险是上世纪90年代金融机构管理的中心内容，事实上，风险管理一直是金融机构管理的重点，然而由于无法精确辨识、测定各种金融风险，传统的风险管理重点只能集中于资本分配方面，利用股权资本来充当各种风险的“缓冲垫"，这种方法的优点在于，无需预测风险的来源，因为股权资本能防御任何风险，但从代理成本、税收的角度看，股权资本的融资成本很高，因而这种方法成本高效率低。

风险管理的另一种基本方法是，利用各种创新金融工具如衍生证券通过套头交易来规避风险。

与股权资本方法不同，套头交易是一种具有针对性的风险控制技术。

当金融机构用这种技术来规避风险时，不仅要辨识风险的类型（商品风险、利率风险，汇率风险），而且要测定风险暴露的精确数量。

利用这种风险管理技术，管理者可以针对性地将非系统风险的、与收益无关的风险剥离出来。

这种风险管理技术成本低效率高，但是要求其管理者对其业务有深刻的数量理解，也就是说这种管理风险的技术需要复杂的数学模型。

以金融数学模型为核心的金融创新对未来全球金融系统影响的第三个方面是对会计制度的影响。

金融创新己使传统的金融资产界限划分变得模糊。

例如，传统的股权通过金融互换协议（Swap），可以转换为债权。

又如，巴塞尔协议对不同风险类的资产要求不同的资本金，在美国，对银行持有美国长期国库券不要求资本金，对抵押债券要求4％的资本金（当然，长期国库券的收益低于抵押债券收益）。

银行可以投资于长期国库券，然后进行一个分期摊还互换交易，银行支付国库券的收益，得到抵押债券的收益。

这样，银行可以得到与直接投资于抵押债券相同的收益，而逃避4％的资本金要求。

在会计业务中，往往利用比率来测量公司的金融风险程度，其中重要的一个比率是杠杆比（资产与股本资本之比）。

然而，在金融创新的环境下，传统的杠杆比变得越来越没有意义，尤其对金融公司。

简而言之，在过去大多数的时间中，金融数学模型对金融实践的影响是有限的和附属的。

但是，在过去20年间，这些模型已成为全世界金融机构和市场中实践者的中心内容。

在未来，金融数学模型在包括管理和会计活动在内的全球性金融系统运作中大概有必不可少的作用。

3．2数学在金融领域中的应用

3．2．1资产估价模型

资金具有时间价值。

不同的时间点上的现金流不能直接相加减或相比较，1896年，美国经济学家欧文·费雪（Irvingfisher）提出了资产当前价值等于未来现金流量贴现值之和的思想，解决了这一问题，为资产估价模型建立了基础。

最简单的估价模型是复制（或贴现）公式。

欧文·费雪思想的数学表达如下：

设某项投资未来时刻t的现金流量为C（t），其贴现率为R（t），n为期数，总现值为PV，则PV=这一数学表达成为计算证券投资价值的资本化方法基础，并根据不同的条件具有多种多样的表现形式。

在1938年，美国投资理论家威廉斯（Williams）提出了贴现现金流模型（DCF），明确表达了股票的内在价值等于它的所有未来股息的贴现值之和：

P（t）=。

其中，P（t）为时刻t的股票价格，D（t+k）为时刻t+k获得的股息，i（常数）为合适的贴现利率。

在此基础上，又产生了许多特殊条件下的价值模型，如固定收人证券的价值模型，股息零增长模型，可变贴现率价值模型等。

总之，费雪的思想对资产定价模型起了奠基石的作用。

3．2．2证券投资组合模型

1952年马柯维茨（Markowtz，H．M．）的博士论文“投资组合的选择"是现代金融数学的第一个突破口。

他在该论文中提出了用于投资分析的均值一方差分析方法。

他认为，投资者的目标应是收益的期望效用最大化，而不单单是期望收益最大化。

他用收益率的方差作为风险的度量，先从各证券收益率的联合特性用二次规划确定可供投资者选择的有效投资组合边界，然后根据投资者的效用函数（对收益和风险的权衡）确定最优投资组合。

金融市场存在不确定性。

人们在进行证券投资时，收益与投资存在着时间上的滞后，这种滞后伴随着许多未来不确定性因素的影响，将导致投资者可能得不到预期的收益甚至有亏损的危险，这种危险便是投资风险。

风险就是未来实际收益与预期收益之间的偏离程度。

在数学上，人们常把股票的未来价格看成一个随机变量或随机过程。

由于不同证券，不同时期的股票价格不可比较，人们便将价格序列转化成百分数表示的可比较的收益率序列。

把收益率看成一个随机变量或随机过程，更便于数学处理。

费雪曾提出未来资产收益的不确定性可以用概率分布来描述。

收益率的概率分布实际上描述了一项投资风险的环境。

这样一来，人们可以用收益率R的数学期望E（R）来作为未来收益率的点值预测，把R的方差D（R）=作为度量未来实际收益率与预期收益率之间偏离程度的数字特征，即用方差（或标准差）来度量投资风险的大小。

3.2.2.1均值方差模型

在早期研究成果的基础上，美国经济学家，诺贝尔经济学奖得主马柯威茨（Markowitz）在20世纪50年代建立了均值一方差模型的分析框架（即投资组合选择理论）。

它的这一创造性工作使金融学由述性科学转变为分析性科学。

当投资选择全部为风险资产时，均值一方差模型表述如下：

设X=（T为转置）为一个n维投资向量，其中为投资比例：

I=E（R）=，其中，（i=1，2，⋯，n）为资产的期望收益率，并假定以不全相等；Σ=为协方差矩阵，并假定Σ非奇异（这实际上要求没有一项资产的收益与其余部分资产组成的投资组合收益完全相关，没有一项资产或资产投资组合是风险的）；E（R）和Σ是已知的。

对给定的组合P，收益率均值记为，方差为，，那么按照马柯威茨的思想，最小方差投资组合选择问题表述为一个二次规划问题：

，S·t·．E（R）=。

由于Σ正定及凸性，该问题存在唯一解，并可利用拉格朗日乘数法求出这个解：

投资向量为X=，投资组合最小风险值。

作为均值一方差模型的深入和补充，有托宾在1959年建立的两资金分离定理，还有许多人使用的具有无风险资产的均值一方差模型，以及其他多种多样的推广和改进。

3.2.2.2资本资产定价模型（CAPM）

50年代初数理经济学家阿罗（Arrow，K．）和德布罗（Debreu，G．）提出的不确定性经济的一般均衡模型被认为是现代金融理论的另一重要源泉。

因为它是金融资产的均衡定价的基础。

这两位学者分别是1972年和1983年诺贝尔经济学奖得主。

1964年、1965年和1966年，威廉·夏普、约翰·林特纳（JohnLintner）、简·莫辛（JanMossin）三人分别独立地著作的资产定价模型，它是第一个在不确定的条件下探讨资本资产定价理论的数学模型，它为金融市场收益结构的分析提供了理论依据。

他们研究了在竞争均衡市场中金融资产的价格形成。

他们证明了在均衡市场中，市场投资组合（即按每种证券的市值与市场中证券总市值之比确定比重）是有效投资组合，每种组合资产的预期收益率和它们与市场投资组合的协方差之间有线性关系，这就是著名的资产定价模型（CAPM）。

CAPM在证券估价，投资组合绩效的测定、资本预算及投资风险分析中得到广泛应用。

马柯威茨模型要求大量的数据，并且计算相当复杂。

他的学生威廉·夏普（WilliamSharpe）对此进行了简化。

20世纪60年代，夏普提出了单指数模型，加上莫森（Mossin），林特（Lintner）等人的工作，形成了资本资产定价模型（CAPM）。

这一模型是以市场均衡原理为前提的。

在市场达到均衡状态时，每种风险证券的价格都将调整到使其供求达到均衡。

这时存在一个组合M，每种证券在组合M中所占有的份额正好等于其市场价值占市场上全部证券市场价值的比例。

在CAPM模型框架中，只要知道无风险资产的收益率，，市场组合M的期望收益率和标准差，投资者就容易确定有效组合边界。

有效组合P的期望收益率和标准差的线性关系表达为资本市场线：

=，并且，在均衡状态下，风险证券（或者组合）i的期望收益率是它与市场组合收益率的协方差线性函数：

此外，罗伯特·默顿（RorbetMerton）把该模型推广到多因素的CAPM。

例基于资产定价模型的股票市场羊群行为指标：

决策相关引起股票市场投资者在同一时间买卖相同或相近的股票，结果导致股票价格行为趋于一致的市场羊群行为。

投资者羊群行为最终通过股票价格偏离长期均衡价值来表现，这种价格偏差与投资者买卖股票的一致性行为是等价的，都包含了投资者认知状况的基本信息。

由于股票长期均衡价值是对该股票风险收益关系的总结，股票价格偏离了长期均衡价值意味着该股票的风险收益均衡关系被打破。

对于CAPM模型，均衡系数衡量了一支股票的长期风险收益均衡关系，羊群行为打破了该股票的风险收益的均衡关系意味着实际系数偏离了均衡系数值对市场中的所有股票而言，市场羊群行为出现后，市场所有股票系数的横截面离散度变小。

对于CAPM模型：

（1）

在市场长期均衡状况下，有

与分别为t时刻个股i和市场的超额收益率；为t时刻数学期望因子.事实上，股票i的均衡系数会随时间而逐渐变化，但这种通过公司长期发展带来的变化是极其缓慢的，为此，在实证研究中一般认为股票i的市场系数是不变的.所以，短期内诸多股票市场系数出现变化即意味着市场出现了行为异常，而非这些公司发展带来的股票基本面调整引起的.根据上述分析，股票短期系数值与其长期均衡值的偏离程度包含市场行为的基本信息，该偏离程度与源于投资者认知变化的股票市场羊群行为具有等价性.

当市场出现羊群行为时，股票的长期风险收益均衡关系被打破，每支股票的系数和期望收益率会出现不同程度的偏离.如果代表了市场的共同观点，那么，羊群行为的出现会促使投资者以为基础重新认识个股收益，这将导致实际系数由于投资者的认知改变而与长期均衡偏离.根据CAPM模型，当市场出现羊群行为时，实际系数服从下列关系：

.

（2）

与分别为个股i的短期期望收益与系数，参数的经济涵义见（3）.

在传统因子定价模型中，代表资产收益对因子变动灵敏度的因子载荷（Factorloading）（如CAPM模型的市场系数）的离散度指标（截面方差）变化具有特殊的经济涵义.一般情况下，因子载荷离散度指标不依赖于市场收益时间序列出现波动，只依赖于个股收益与因子实现值相互关系的变化.在平均意义上，个别信息对市场范围所有资产因子载荷的影响是细微的，资产因子载荷离散度不可能被个别信息显著改变，因子载荷离散度指标的任何显著变化只能是投资者一致性交易行为带来的股价同涨同跌的结果.大部分资产的因子载荷会追随市场中的某个因素偏离其长期均衡值而导致整个市场资产因子载荷离散度发生显著变化.资产定价模型因子载荷离散度指标具备的克服股票市场其它基础变量影响的先天性优势为利用其设计出更符合实际情况的股票市场羊群行为指标创造了条件.为了利用股票的市场系离散度指标的经济含义，根据离散度数学定义，有：

（3）

定义系数离散度对其长期均衡值的离散度的偏离度为股票市场羊群行为参数，1,当=0时，=，均衡CAPM成立，未出现羊群行为；当=1时，=1，市场中的所有个股与市场按照同样的节奏运动，市场出现完全意义上的羊群行为；当0<<1时，市场出现与羊群行为指标值大小对应的羊群行为,在实际当中，还有可能出现“逆羊群行为>，即市场出现部分个股逆大盘而动的走势，<0.

金融市场理论认为，在一定时期内能够影响股票价格变化的原因来自于股票基本价值的变化和市场交易行为（即市场供求）的推动,利用个股和市场超额收益,计算CAPM模型的市场系数需要考虑无风险收益率，实际上无风险收益率短期内的相对稳定性使个股超额收益率对市场超额收益率的回归几乎等价于个股实际收益率对市场实际收益率和一个性质变量的回归，结果未必能够反映股票基本价值的变动，无风险收益率的引入并不意味着个股基本价值对市场系数的影响已经消除,个股的市场系数仍会受个股基本因素的影响，市场内所有股票市场系数的截面离散度也会受市场基本面因素的影响,上述基于CAPM模型的市场羊群行为指标仍受个股基本面因素的影响，对市场羊群行为的检验有可能受市场基本面因素的误导,要在资本资产定价因子载荷离散度基础上设计出能够反映交易者认知变化的股票市场羊群行为指标就必须杜绝来自市场基本面因素的影响.

3.2.2.3套利定价模型

1976年，斯蒂芬·罗斯（StephenRoss）提出了套利定价模型。

该模型认为，股票价格和收益的变化，不仅受个别股票特殊性的影响，而且受到对所有股票一致性反应的共同因素的影响。

从而提出了描述共同因素变化与证券收益波动关系模型，分为单因素模型和多因素模型。

多因素模型的一般形式为：

其中为证券i的收益率，与诸因素无关，且，为证券f对第k个因素的繁感度，N为因素数，为随机剩余误差，：

N（O，）。

在均衡状态下，套利定价模型为：

。

其中表示第k个因素的边际贡献，=。

期权价值模型1979年考克斯（J．Cox），罗斯（S．Ross），普宾斯（M．Rubinstan）瑞德门思（R．Rendlmar）和巴特（B．Bartter）等人，分别建立了期权二项式价值模式，阐明了投机者的套利交易与期权价格均衡状态的关系。

二项式价值模型是离散时间状态模型，与现实生活中价格变动的连续性存在着矛盾，一定程度上影响其实用价值。

连续时间资产选择理论中，假定股票价格S（t）遵循一般化的维纳（Wiener）过程一ITO过程