圆和圆的位置关系 教学设计案例.docx
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圆和圆的位置关系教学设计案例
教学设计案例
学科：
数学授课年级：
初三
章节名称
圆和圆的位置关系
计划学时
1h
学习内容分析
本节课是北师大版义务教育初中《数学》九年级下册第三章第六节,主要内容是圆和圆的位置关系.
教材处理方式
本节圆和圆的位置关系主要讲点和圆的位置关系,可从直线和圆的位置关系为基础引入,利用平移实验,让学生从实践中入手,采用观察、猜想、概括的方法直观地探索得到圆和圆的五种位置关系,从而实现从感性认识到理性认识的逐步深化.
教学目标
1．掌握圆与圆的五种位置关系的定义、性质及判定方法；两圆连心线的性质；
2．通过两圆的位置关系，培养学生的分类能力和数形结合能力；
3．通过演示两圆的位置关系，培养学生用运动变化的观点来分析和发现问题的能力。
教学重点
两圆的五种位置与两圆的半径、圆心距的数量之间的关系．
教学难点
两圆位置关系及判定．
教学设计思路
本节课的教学设计内容主要分为六部分：
（一）复习、引出问题
1．复习：
直线和圆有几种位置关系?
各是怎样定义的?
（教师主导，学生回忆、回答）直线和圆有三种位置关系，即直线和圆相离、相切、相交．各种位置关系是通过直线与圆的公共点的个数来定义的。
2．引出问题：
平面内两个圆，它们作相对运动，将会产生什么样的位置关系呢?
（二）观察、分类，得出概念
1、让学生观察、分析、比较，分别得出两圆：
外离、外切、相交、内切、内含（包括同心圆）这五种位置关系，准确给出描述性定义：
（1）外离：
两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离．（图
（1））
（2）外切：
两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切．这个唯一的公共点叫做切点．（图
（2））
（3）相交：
两个圆有两个公共点，此时叫做这两个圆相交．（图（3））
（4）内切：
两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切．这个唯一的公共点叫做切点．（图（4））
（5）内含：
两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含（图（5））．两圆同心是两圆内含的一个特例．（图（6））
2、归纳：
（1）两圆外离与内含时，两圆都无公共点．
（2）两圆外切和内切统称两圆相切，即外切和内切的共性是公共点的个数唯一
（3）两圆位置关系的五种情况也可归纳为三类：
相离（外离和内含）；相交；相切（外切和内切）．
教师组织学生归纳，并进一步考虑：
从两圆的公共点的个数考虑，无公共点则相离；有一个公共点则相切；有两个公共点则相交．除以上关系外，还有其它关系吗?
可能不可能有三个公共点?
结论：
在同一平面内任意两圆只存在以上五种位置关系．
（三）分析、研究
1、相切两圆的性质．
让学生观察连心线与切点的关系，分析、研究，得到相切两圆的连心线的性质：
如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上．这个性质由圆的轴对称性得到，有兴趣的同学课下可以考虑如何对这一性质进行证明
2、两圆位置关系的数量特征．
设两圆半径分别为R和r．圆心距为d，组织学生研究两圆的五种位置关系，r和d之间有何数量关系．（图形略）
两圆外切d＝R+r；
两圆内切d＝R-r（R＞r）;
两圆外离d＞R+r；
两圆内含d＜R-r（R＞r）;
两圆相交R-r＜d＜R+r．
（四）应用、练习
老师给同学们讲解几道例题，如以下例子：
例1：
如图，⊙O的半径为5厘米，点P是⊙O外一点，OP=8厘米
求：
（1）以P为圆心作⊙P与⊙O外切，小圆⊙P的半径是多少?
（2）以P为圆心作⊙P与⊙O内切，大圆⊙P的半径是多少?
解：
（1）设⊙P与⊙O外切与点A，则PA=PO-OA∴PA=3cm．
（2）设⊙P与⊙O内切与点B，则PB=PO+OB∴PB=13cm．
例2：
已知：
如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝8，以AC为直径作⊙O，以B为圆心，4为半径作圆．
求证：
⊙O与⊙B相外切．
证明：
连结BO，∵AC为⊙O的直径，AC＝12，
∴⊙O的半径，且O是AC的中点
∴∠C=90°且BC=8，
∵⊙O的半径，⊙B的半径，
∴BO=，∴⊙O与⊙B相外切．
（五）小结
知识：
①两圆的五种位置关系：
外离、外切、相交、内切、内含；
②以及这五种位置关系下圆心距和两圆半径的数量关系；
③两圆相切时切点在连心线上的性质．
能力：
观察、分析、分类、数形结合等能力．
思想方法：
分类思想、数形结合思想．
（六）作业
老师根据实际教学情况布置课本后的习题。
教学过程
教学环节
教学内容
所用时间
教师活动
学生活动
（一）复习、引出问题
直线和圆的几种位置关系及其定义。
5分钟
1．教师主导复习过程，
2．直线和圆有三种位置关系，即直线和圆相离、相切、相交．各种位置关系是通过直线与圆的公共点的个数来定义
3．引出问题：
平面内两个圆，它们作相对运动，将会产生什么样的位置关系呢?
学生回忆、回答
（二）观察、分类，得出概念
关于两圆：
外离、外切、相交、内切、内含（包括同心圆）这五种位置关系描述性定义。
10分钟
1、让学生观察、分析、比较ppt中展示的6幅图，分别得出两圆：
外离、外切、相交、内切、内含（包括同心圆）这五种位置关系，准确给出描述性定义：
（1）外离：
两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离．（图
（1））
（2）外切：
两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切．这个唯一的公共点叫做切点．（图
（2））
（3）相交：
两个圆有两个公共点，此时叫做这两个圆相交．（图（3））
（4）内切：
两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切．这个唯一的公共点叫做切点．（图（4））
（5）内含：
两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含（图（5））．两圆同心是两圆内含的一个特例．（图（6））
2、归纳：
（1）两圆外离与内含时，两圆都无公共点．
（2）两圆外切和内切统称两圆相切，即外切和内切的共性是公共点的个数唯一
（3）两圆位置关系的五种情况也可归纳为三类：
相离（外离和内含）；相交；相切（外切和内切）．
教师组织学生归纳，并进一步考虑：
从两圆的公共点的个数考虑，无公共点则相离；有一个公共点则相切；有两个公共点则相交．除以上关系外，还有其它关系吗?
可能不可能有三个公共点?
结论：
在同一平面内任意两圆只存在以上五种位置关系．
学生思考并回答问题。
（三）分析、研究
1、相切两圆的性质． 2、两圆位置关系的数量特征．
15分钟
1、相切两圆的性质．
让学生观察连心线与切点的关系，分析、研究，得到相切两圆的连心线的性质：
如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上．
这个性质由圆的轴对称性得到，有兴趣的同学课下可以考虑如何对这一性质进行证明
2、两圆位置关系的数量特征．
设两圆半径分别为R和r．圆心距为d，组织学生研究两圆的五种位置关系，r和d之间有何数量关系．
两圆外切：
d＝R+r；
两圆内切：
d＝R-r（R＞r）;
两圆外离：
d＞R+r；
两圆内含：
d＜R-r（R＞r）;
两圆相交:
R-r＜d＜R+r．
学生思考并回答问题。
（四）应用、练习
讲解例题，加深对概念的理解。
10分钟
老师给同学们讲解几道例题，如以下例子：
例1：
如图，⊙O的半径为5厘米，点P是⊙O外一点，OP=8厘米
求：
（1）以P为圆心作⊙P与⊙O外切，小圆⊙P的半径是多少?
（2）以P为圆心作⊙P与⊙O内切，大圆⊙P的半径是多少?
解：
设⊙P与⊙O外切与点A，则PA=PO-OA
∴PA=3cm．
（2）设⊙P与⊙O内切与点B，则PB=PO+OB
∴PB=13cm．
例2：
已知：
如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝8，以AC为直径作⊙O，以B为圆心，4为半径作．
求证：
⊙O与⊙B相外切．
证明：
连结BO，∵AC为⊙O的直径，AC＝12，
∴⊙O的半径，且O是AC的中点
∵∠C=90°且BC=8，
∵⊙O的半径，⊙B的半径，
∴⊙O与⊙B相外切．
（五）小结
知识：
①两圆的五种位置关系：
外离、外切、相交、内切、内含；
②以及这五种位置关系下圆心距和两圆半径的数量关系；
③两圆相切时切点在连心线上的性质．
能力：
观察、分析、分类、数形结合等能力．
思想方法：
分类思想、数形结合思想．
15分钟
由老师在黑板上板书，带领同学们进行小结。
（六）作业
总结本节教学重、难点，布置作业题
5分钟
老师根据实际上课情况，有选择地布置教材中的习题
课堂教学流程图
教学反思
反思教案：
本节课是紧接在直线和圆的位置关系之后来学习的，从知识延展的角度来看，它既是直线与圆的位置关系的延伸，也是对圆的有关内容的进一步完善。
基于以上分析，确定本节课的教学重点为探索并了解圆和圆的位置关系。
在探索过程中，让学生体会类比法、分类讨论思想、数形结合的数学思想。
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