全国中考数学真题分类汇编 5 二元一次方程组及其应用数学备课大师全免费.docx

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二元一次方程（组）及其应用

考点一、二元一次方程组（8~10分）

1、二元一次方程

含有两个未知数，并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是（

2、二元一次方程的解

使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。

3、二元一次方程组

两个（或两个以上）二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。

4二元一次方程组的解

使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。

5、二元一次方正组的解法

（1）代入法

（2）加减法

6、三元一次方程

把含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程。

7、三元一次方程组

由三个（或三个以上）一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组。

一、选择题

例1.（2017·贵州安顺·3分）已知实数x，y满足

，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（　　）

A．20或16B．20

C．16D．以上答案均不对

1．（2017贵州毕节3分）已知关于x，y的方程x2m﹣n﹣2＋4ym＋n＋1＝6是二元一次方程，则m，n的值为（　　）

A．m＝1，n＝﹣1B．m＝﹣1，n＝1C．

D．

2.（2017·辽宁丹东·3分）二元一次方程组

的解为（　　）

A．

B．

C．

D．

3.（2017·四川宜宾）宜宾市某化工厂，现有A种原料52千克，B种原料64千克，现用这些原料生产甲、乙两种产品共20件．已知生产1件甲种产品需要A种原料3千克，B种原料2千克；生产1件乙种产品需要A种原料2千克，B种原料4千克，则生产方案的种数为（　　）

A．4B．5C．6D．7

4.（2017·黑龙江龙东·3分）为了丰富学生课外小组活动，培养学生动手操作能力，王老师让学生把5m长的彩绳截成2m或1m的彩绳，用来做手工编织，在不造成浪费的前提下，你有几种不同的截法（　　）

A．1B．2C．3D．4

5．（2017·黑龙江齐齐哈尔·3分）足球比赛规定：

胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某足球队共进行了6场比赛，得了12分，该队获胜的场数可能是（　　）

A．1或2B．2或3C．3或4D．4或5

二、填空题

1.（2017·吉林·3分）某学校要购买电脑，A型电脑每台5000元，B型电脑每台3000元，购买10台电脑共花费34000元．设购买A型电脑x台，购买B型电脑y台，则根据题意可列方程组为　　．

2.（2017·江西·6分）

（1）解方程组：

．

3.（2017·四川宜宾）今年“五一”节，A、B两人到商场购物，A购3件甲商品和2件乙商品共支付16元，B购5件甲商品和3件乙商品共支付25元，求一件甲商品和一件乙商品各售多少元．设甲商品售价x元/件，乙商品售价y元/件，则可列出方程组　　．

4．（2017·山东省滨州市·4分）甲、乙二人做某种机械零件，已知甲是技术能手每小时比乙多做3个，甲做30个所用的时间与乙做20个所用的时间相等，那么甲每小时做　9　个零件．

三、解答题

1．（2017·四川攀枝花）某市为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制度．若每月用水量不超过14吨（含14吨），则每吨按政府补贴优惠价m元收费；若每月用水量超过14吨，则超过部分每吨按市场价n元收费．小明家3月份用水20吨，交水费49元；4月份用水18吨，交水费42元．

（1）求每吨水的政府补贴优惠价和市场价分别是多少？

（2）设每月用水量为x吨，应交水费为y元，请写出y与x之间的函数关系式；

（3）小明家5月份用水26吨，则他家应交水费多少元？

2．（2017·四川泸州）某商店购买60件A商品和30件B商品共用了1080元，购买50件A商品和20件B商品共用了880元．

（1）A、B两种商品的单价分别是多少元？

（2）已知该商店购买B商品的件数比购买A商品的件数的2倍少4件，如果需要购买A、B两种商品的总件数不少于32件，且该商店购买的A、B两种商品的总费用不超过296元，那么该商店有哪几种购买方案？

3.（2017·黑龙江龙东·10分）某中学开学初到商场购买A、B两种品牌的足球，购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费4500元，已知购买一个B种品牌的足球比购买一个A钟品牌的足球多花30元．

（1）求购买一个A种品牌、一个B种品牌的足球各需多少元．

（2）学校为了响应习总书记“足球进校园”的号召，决定再次购进A、B两种品牌足球共50个，正好赶上商场对商品价格进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高4元，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果学校此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过第一次花费的70%，且保证这次购买的B种品牌足球不少于23个，则这次学校有哪几种购买方案？

（3）请你求出学校在第二次购买活动中最多需要多少资金？

4．（2017·湖北黄石·4分）解方程组

．

5.（2017·青海西宁·10分）青海新闻网讯：

2017年2月21日，西宁市首条绿道免费公共自行车租赁系统正式启用．市政府今年投资了112万元，建成40个公共自行车站点、配置720辆公共自行车．今后将逐年增加投资，用于建设新站点、配置公共自行车．预计2018年将投资340.5万元，新建120个公共自行车站点、配置2205辆公共自行车．

（1）请问每个站点的造价和公共自行车的单价分别是多少万元？

（2）请你求出2017年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率．

6.（2017·广西百色·6分）解方程组：

7.（2017·贵州安顺·13分）某校住校生宿舍有大小两种寝室若干间，据统计该校高一年级男生740人，使用了55间大寝室和50间小寝室，正好住满；女生730人，使用了大寝室50间和小寝室55间，也正好住满．求该校的大小寝室每间各住多少人？

8.（2017·云南省昆明市）（列方程（组）及不等式解应用题）

春节期间，某商场计划购进甲、乙两种商品，已知购进甲商品2件和乙商品3件共需270元；购进甲商品3件和乙商品2件共需230元．

（1）求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？

（2）商场决定甲商品以每件40元出售，乙商品以每件90元出售，为满足市场需求，需购进甲、乙两种商品共100件，且甲种商品的数量不少于乙种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润．

9．（2017·山东省滨州市·4分）甲、乙二人做某种机械零件，已知甲是技术能手每小时比乙多做3个，甲做30个所用的时间与乙做20个所用的时间相等，那么甲每小时做　　个零件．

五.问答题

1．（2017·山东省滨州市·4分）某运动员在一场篮球比赛中的技术统计如表所示：

技术

上场时间（分钟）

出手投篮（次）

投中

（次）

罚球得分

篮板

（个）

助攻（次）

个人总得分

数据

注：

表中出手投篮次数和投中次数均不包括罚球．

根据以上信息，求本场比赛中该运动员投中2分球和3分球各几个．

答案

二元一次方程（组）及其应用

一、选择题

1.（2017·贵州安顺·3分）已知实数x，y满足

，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（　　）

A．20或16B．20

C．16D．以上答案均不对

【分析】根据非负数的意义列出关于x、y的方程并求出x、y的值，再根据x是腰长和底边长两种情况讨论求解．

【解答】解：

根据题意得

，

解得

，

（1）若4是腰长，则三角形的三边长为：

4、4、8，

不能组成三角形；

（2）若4是底边长，则三角形的三边长为：

4、8、8，

能组成三角形，周长为4＋8＋8＝20．

故选B．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形三边关系；解题主要利用了非负数的性质，分情况讨论求解时要注意利用三角形的三边关系对三边能否组成三角形做出判断．根据题意列出方程是正确解答本题的关键．

1．（2017贵州毕节3分）已知关于x，y的方程x2m﹣n﹣2＋4ym＋n＋1＝6是二元一次方程，则m，n的值为（　　）

A．m＝1，n＝﹣1B．m＝﹣1，n＝1C．

D．

【考点】二元一次方程的定义．

【分析】利用二元一次方程的定义判断即可．

【解答】解：

∵方程x2m﹣n﹣2＋4ym＋n＋1＝6是二元一次方程，

∴

，

解得：

，

故选A

2.（2017·辽宁丹东·3分）二元一次方程组

的解为（　　）

A．

B．

C．

D．

【考点】二元一次方程组的解．

【分析】根据加减消元法，可得方程组的解．

【解答】解：

①＋②，得3x＝9，

解得x＝3，

把x＝3代入①，

得3＋y＝5，

y＝2，

所以原方程组的解为

．

故选C．

A．4B．5C．6D．7

【考点】二元一次方程组的应用．

【分析】设生产甲产品x件，则乙产品（20﹣x）件，根据生产1件甲种产品需要A种原料3千克，B种原料2千克；生产1件乙种产品需要A种原料2千克，B种原料4千克，列出不等式组，求出不等式组的解，再根据x为整数，得出有5种生产方案．

【解答】解：

设生产甲产品x件，则乙产品（20﹣x）件，根据题意得：

，

解得：

8≤x≤12，

∵x为整数，

∴x＝8，9，10，11，12，

∴有5种生产方案：

方案1，A产品8件，B产品12件；

方案2，A产品9件，B产品11件；

方案3，A产品10件，B产品10件；

方案4，A产品11件，B产品9件；

方案5，A产品12件，B产品8件；

故选B．

A．1B．2C．3D．4

【考点】二元一次方程的应用．

【分析】截下来的符合条件的彩绳长度之和刚好等于总长9米时，不造成浪费，设截成2米长的彩绳x根，1米长的y根，由题意得到关于x与y的方程，求出方程的正整数解即可得到结果．

【解答】解：

截下来的符合条件的彩绳长度之和刚好等于总长5米时，不造成浪费，

设截成2米长的彩绳x根，1米长的y根，

由题意得，2x＋y＝5，

因为x，y都是正整数，所以符合条件的解为：

、

，

则共有3种不同截法，

故选：

C．

5．（2017·黑龙江齐齐哈尔·3分）足球比赛规定：

胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某足球队共进行了6场比赛，得了12分，该队获胜的场数可能是（　　）

A．1或2B．2或3C．3或4D．4或5

【考点】二元一次方程的应用．

【分析】设该队胜x场，平y场，则负（6﹣x﹣y）场，根据：

胜场得分＋平场得分＋负场得分＝最终得分，列出二元一次方程，根据x、y的范围可得x的可能取值．

【解答】解：

设该队胜x场，平y场，则负（6﹣x﹣y）场，

根据题意，得：

3x＋y＝12，即：

x＝

，

∵x、y均为非负整数，且x＋y≤6，

∴当y＝0时，x＝4；当y＝3时，x＝3；

即该队获胜的场数可能是3场或4场，

故选：

C．

二、填空题

1.（2017·吉林·3分）某学校要购买电脑，A型电脑每台5000元，B型电脑每台3000元，购买10台电脑共花费34000元．设购买A型电脑x台，购买B型电脑y台，则根据题意可列方程组为　

　．

【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．

【分析】根据题意得到：

A型电脑数量＋B型电脑数量＝10，A型电脑数量×5000＋B型电脑数量×3000＝34000，列出方程组即可．

【解答】解：

根据题意得：

，

故答案为：

2.（2017·江西·6分）

（1）解方程组：

．

【考点】翻折变换（折叠问题）；解二元一次方程组．

【分析】

（1）根据方程组的解法解答即可；

（2）由翻折可知∠AED＝∠CED＝90°，再利用平行线的判定证明即可．

【解答】解：

（1）

，

①﹣②得：

y＝1，

把y＝1代入①可得：

x＝3，

所以方程组的解为

；

3.（2017·四川宜宾）今年“五一”节，A、B两人到商场购物，A购3件甲商品和2件乙商品共支付16元，B购5件甲商品和3件乙商品共支付25元，求一件甲商品和一件乙商品各售多少元．设甲商品售价x元/件，乙商品售价y元/件，则可列出方程组　

　．

【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．

【分析】分别利用“A购3件甲商品和2件乙商品共支付16元，B购5件甲商品和3件乙商品共支付25元”得出等式求出答案．

【解答】解：

设甲商品售价x元/件，乙商品售价y元/件，则可列出方程组：

．

故答案为：

．

【考点】二元一次方程组的应用．

【分析】设甲每小时做x个零件，乙每小时做y个零件，根据题意列出关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可得出结论．

【解答】解：

设甲每小时做x个零件，乙每小时做y个零件，

依题意得：

，

解得：

．

故答案为：

9．

【点评】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键根据数量关系列出关于x、y的二元一次方程组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合题意列出方程（或方程组）是关键．

三、解答题

（1）求每吨水的政府补贴优惠价和市场价分别是多少？

（2）设每月用水量为x吨，应交水费为y元，请写出y与x之间的函数关系式；

（3）小明家5月份用水26吨，则他家应交水费多少元？

【考点】一次函数的应用．

【分析】

（1）设每吨水的政府补贴优惠价为m元，市场调节价为n元，根据题意列出方程组，求解此方程组即可；

（2）根据用水量分别求出在两个不同的范围内y与x之间的函数关系，注意自变量的取值范围；

（3）根据小英家5月份用水26吨，判断其在哪个范围内，代入相应的函数关系式求值即可．

【解答】解：

（1）设每吨水的政府补贴优惠价为m元，市场调节价为n元．

，

解得：

，

答：

每吨水的政府补贴优惠价2元，市场调节价为3.5元．

（2）当0≤x≤14时，y＝2x；

当x＞14时，y＝14×2＋（x﹣14）×3.5＝3.5x﹣21，

故所求函数关系式为：

y＝

；

（3）∵26＞14，

∴小英家5月份水费为3.5×26﹣21＝69元，

答：

小英家5月份水费69吨．

【点评】本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的解法，特别是在求一次函数的解析式时，此函数是一个分段函数，同时应注意自变量的取值范围．

2．（2017·四川泸州）某商店购买60件A商品和30件B商品共用了1080元，购买50件A商品和20件B商品共用了880元．

（1）A、B两种商品的单价分别是多少元？

【考点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用．

【分析】

（1）设A种商品的单价为x元、B种商品的单价为y元，根据等量关系：

①购买60件A商品的钱数＋30件B商品的钱数＝1080元，②购买50件A商品的钱数＋20件B商品的钱数＝880元分别列出方程，联立求解即可．

（2）设购买A商品的件数为m件，则购买B商品的件数为（2m﹣4）件，根据不等关系：

①购买A、B两种商品的总件数不少于32件，②购买的A、B两种商品的总费用不超过296元可分别列出不等式，联立求解可得出m的取值范围，进而讨论各方案即可．

【解答】解：

（1）设A种商品的单价为x元、B种商品的单价为y元，由题意得：

，

解得

．

答：

A种商品的单价为16元、B种商品的单价为4元．

（2）设购买A商品的件数为m件，则购买B商品的件数为（2m﹣4）件，由题意得：

，

解得：

12≤m≤13，

∵m是整数，

∴m＝12或13，

故有如下两种方案：

方案

（1）：

m＝12，2m﹣4＝20即购买A商品的件数为12件，则购买B商品的件数为20件；

方案

（2）：

m＝13，2m﹣4＝22即购买A商品的件数为13件，则购买B商品的件数为22件．

（1）求购买一个A种品牌、一个B种品牌的足球各需多少元．

（3）请你求出学校在第二次购买活动中最多需要多少资金？

【考点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用．

【分析】

（1）设A种品牌足球的单价为x元，B种品牌足球的单价为y元，根据“总费用＝买A种足球费用＋买B种足球费用，以及B种足球单价比A种足球贵30元”可得出关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；

（2）设第二次购买A种足球m个，则购买B中足球（50﹣m）个，根据“总费用＝买A种足球费用＋买B种足球费用，以及B种足球不小于23个”可得出关于m的一元一次不等式组，解不等式组可得出m的取值范围，由此即可得出结论；

（3）分析第二次购买时，A、B种足球的单价，即可得出那种方案花钱最多，求出花费最大值即可得出结论．

【解答】解：

（1）设A种品牌足球的单价为x元，B种品牌足球的单价为y元，

依题意得：

，解得：

．

答：

购买一个A种品牌的足球需要50元，购买一个B种品牌的足球需要80元．

（2）设第二次购买A种足球m个，则购买B中足球（50﹣m）个，

依题意得：

，

解得：

25≤m≤27．

故这次学校购买足球有三种方案：

方案一：

购买A种足球25个，B种足球25个；

方案二：

购买A种足球26个，B种足球24个；

方案三：

购买A种足球27个，B种足球23个．

（3）∵第二次购买足球时，A种足球单价为50＋4＝54（元），B种足球单价为80×0.9＝72（元），

∴当购买方案中B种足球最多时，费用最高，即方案一花钱最多．

∴25×54＋25×72＝3150（元）．

答：

学校在第二次购买活动中最多需要3150元资金．

4．（2017·湖北黄石·4分）解方程组

．

【分析】首先联立方程组消去x求出y的值，然后再把y的值代入x﹣y＝2中求出x的值即可．

【解答】解：

将两式联立消去x得：

9（y＋2）2﹣4y2＝36，

即5y2＋36y＝0，

解得：

y＝0或﹣

，

当y＝0时，x＝2，

y＝﹣

时，x＝﹣

；

原方程组的解为

或

．

【点评】本题主要考查了高次方程的知识，解答本题的关键是进行降次解方程，此题难度不大．

5.（2017·青海西宁·10分）青海新闻网讯：

（1）请问每个站点的造价和公共自行车的单价分别是多少万元？

（2）请你求出2017年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率．

【考点】一元二次方程的应用；二元一次方程组的应用．

【分析】

（1）分别利用投资了112万元，建成40个公共自行车站点、配置720辆公共自行车以及投资340.5万元，新建120个公共自行车站点、配置2205辆公共自行车进而得出等式求出答案；

（2）利用2017年配置720辆公共自行车，结合增长率为x，进而表示出2018年配置公共自行车数量，得出等式求出答案．

【解答】解：

（1）设每个站点造价x万元，自行车单价为y万元．根据题意可得：

解得：

答：

每个站点造价为1万元，自行车单价为0.1万元．

（2）设2017年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率为a．

根据题意可得：

720（1＋a）2＝2205

解此方程：

（1＋a）2＝

，

即：

，

（不符合题意，舍去）

答：

2017年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率为75%．

6.（2017·广西百色·6分）解方程组：

【考点】解二元一次方程组．

【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．

【解答】解：

，

①×8＋②得：

33x＝33，即x＝1，

把x＝1代入①得：

y＝1，

则方程组的解为

．

【分析】首先设该校的大寝室每间住x人，小寝室每间住y人，根据关键语句“高一年级男生740人，使用了55间大寝室和50间小寝室，正好住满；女生730人，使用了大寝室50间和小寝室55间，也正好住满”列出方程组即可．

【解答】解：

（1）设该校的大寝室每间住x人，小寝室每间住y人，由题意得：

，

解得：

．

答：

该校的大寝室每间住8人，小寝室每间住6人．

【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，抓住题目中的关键语句，列出方程组．

8.（2017·云南省昆明市）（列方程（组）及不等式解应用题）

春节期间，某商场计划购进甲、乙两种商品，已知购进甲商品2件和乙商品3件共需270元；购进甲商品3件和乙商品2件共需230元．

（1）求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？

【考点】一次函数的应用；二元一次方程组的应用．

【分析】

（1）设甲种商品每件的进价为x元，乙种商品每件的进价为y元，根据“购进甲商品2件和乙商品3件共需270元；购进甲商品3件和乙商品2件共需230元”可列出关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可

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