运筹学安全工程案例.docx
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运筹学安全工程案例
运筹学典型题型案例集（附lindo软件使用）
河北科技大学安全工程专业
第一章线性规划
1生产计划问题（（摘自王治祯环境应用数学309页））
某企业为了搞好综合利用，用三种废品生产三种副产品，生产情况和利润见下表，求最佳利润。
副产品
废品
A
B
C
最大日产量/件
甲
10
5
3
400
乙
6
10
2
300
丙
4
5
4
200
利润
5
8
2
解：
设ABC三种产品的产量为X1X2X3
MaxZ=5X1+8X2+2X3
10X1+5X2+3X3<=400
6X1+10X2+2X3<=400
4X1+5X2+4X3<=200
经过求解
X1=34.23，X2=8.19
X3=5.37
最大利润为274.41
2投资问题
解：
用Xij表示第i年初（i=1，2，3）给项目j（A，B，C，D）的投资金额。
第一年资金量：
30万，可投项目：
A、B；故：
X1A+X1B＜=30。
第二年资金量：
1.2*X1A，可投项目：
A、C；故：
X2A+X2C＜=1.2*X1A。
第三年资金量：
1.2*X2A+1.5*X1B，可投项目：
A、B、D；
故：
X3A+X3B+X3D＜=1.2*X2A+1.5*X1B。
其它条件：
X1B＜=20；X2C＜=15；X3D＜=10。
目标：
第三年底收益最大。
因投资X3B在第3年底不能收回，故无收益。
则目标函数为：
f（x）=0.2*（X1A+X2A+X3A）+0.5*X1B+0.6*X2C+0.4*X3D
LINGOModel如下：
max=0.2*（X1A+X2A+X3A）+0.5*X1B+0.6*X2C+0.4*X3D;
X1A+X1B<=30;
X2A+X2C<=1.2*X1A;
X3A+X3B+X3D<=1.2*X2A+1.5*X1B;
@bnd（0,X1B,20）;@bnd（0,X3B,20）;@bnd（0,X2C,15）;@bnd（0,X3D,10）;
运行结果如下：
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
27.50000
Totalsolveriterations:
2
VariableValueReducedCost
X1A12.500000.000000
X2A0.0000000.6000000E-01
X3A16.250000.000000
X1B17.500000.000000
X2C15.00000-0.1000000
X3D10.00000-0.2000000
X3B0.0000000.2000000
RowSlackorSurplusDualPrice
127.500001.000000
20.0000000.8000000
30.0000000.5000000
40.0000000.2000000
投资计划解释：
第一年年初投资A项目12.5万元，投资B项目17.5万元；
第二年年初投资C项目15万元；
第三年年初投资A项目16.25万元，投资D项目10万元；
第三年年年末可获最大收益27.5万元。
3志愿者排班问题
志愿者排班问题解答
解：
（1）假设从早上8点开始，整点时有xi位志愿者开始工作，如下表：
时间
8：
00
9：
00
10：
00
11：
00
12：
00
13：
00
14：
00
15：
00
16：
00
17：
00
18：
00
19：
00
20：
00
21：
00
开始工作人数
X8
X9
X10
X11
X12
X13
X14
X15
X16
X17
X18
X19
X20
X21
需要人数
4
4
6
6
8
8
6
6
4
4
6
6
8
8
从20：
00开始，工作时间由3小时调整为2小时，但接待时间到22：
00为止，刚好为2小时，故此条件不构成限制。
为方便计算，假定x6=x7=0。
设每个时间段需要的工作人数为zi，则：
;
目标：
所需志愿者最少。
LINGOModel如下：
min=X8+X9+X10+X11+X12+X13+X14+X15+X16+X17+X18+X19+X20+X21;
X8>=4;X8+X9>=4;X8+X9+X10>=6;X9+X10+X11>=6;X10+X11+X12>=8;
X11+X12+X13>=8;X12+X13+X14>=6;X13+X14+X15>=6;X14+X15+X16>=4;X15+X16+X17>=4;
X16+X17+X18>=6;X17+X18+X19>=6;X18+X19+X20>=8;X19+X20+X21>=8;
运行LINGO软件得到问题的最优解（只列出非零变量）：
最优目标函数值=32.00000
X8=4.000000X10=4.000000X11=2.000000X12=2.000000X13=4.000000X15=2.000000X16=2.000000X17=4.000000X19=2.000000X20=6.000000
根据运行结果，最优时间表确定如下，此时最少人数为32人
时间
8：
00
9：
00
10：
00
11：
00
12：
00
13：
00
14：
00
15：
00
16：
00
17：
00
18：
00
19：
00
20：
00
21：
00
开始工作人数
4
0
4
2
2
4
0
2
2
4
0
2
6
0
需要人数
4
4
6
6
8
8
6
6
4
4
6
6
8
8
（2）没有志愿者愿意在12：
00和18：
00开始工作，即增加约束条件：
X12=0；X18=0。
LINGOModel如下：
min=X8+X9+X10+X11+X12+X13+X14+X15+X16+X17+X18+X19+X20+X21;
X8>=4;X8+X9>=4;X8+X9+X10>=6;X9+X10+X11>=6;X10+X11+X12>=8;
X11+X12+X13>=8;X12+X13+X14>=6;X13+X14+X15>=6;X14+X15+X16>=4;X15+X16+X17>=4;
X16+X17+X18>=6;X17+X18+X19>=6;X18+X19+X20>=8;X19+X20+X21>=8;
X12=0;X18=0;
运行LINGO软件得到问题的最优解（只列出非零变量）：
最优目标函数值=32.00000
X8=4.000000X10=6.000000X11=2.000000X13=6.000000
X16=4.000000X17=2.000000X19=4.000000X20=4.000000
根据运行结果，最优时间表确定如下，此时最少人数为32人
时间
8：
00
9：
00
10：
00
11：
00
12：
00
13：
00
14：
00
15：
00
16：
00
17：
00
18：
00
19：
00
20：
00
21：
00
开始工作人数
4
0
6
2
0
6
0
0
4
2
0
4
4
0
需要人数
4
4
6
6
8
8
6
6
4
4
6
6
8
8
第二章灵敏度分析
解：
（1）设每天生产A1产品用奶x1桶，生产A2产品用奶x2桶。
则LINGOModel如下：
max=24*3*x1+16*4*x2;
x1+x2<=50;
12*x1+8*x2<=480;
3*x1<=100;
运行结果如下：
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
3360.000
Totalsolveriterations:
2
VariableValueReducedCost
X120.000000.000000
X230.000000.000000
RowSlackorSurplusDualPrice
13360.0001.000000
20.00000048.00000
30.0000002.000000
440.000000.000000
灵敏度分析结果如下：
Rangesinwhichthebasisisunchanged:
ObjectiveCoefficientRanges
CurrentAllowableAllowable
VariableCoefficientIncreaseDecrease
X172.0000024.000008.000000
X264.000008.00000016.00000
RighthandSideRanges
RowCurrentAllowableAllowable
RHSIncreaseDecrease
250.0000010.000006.666667
3480.000053.3333380.00000
4100.0000INFINITY40.00000
生产计划：
每天用20桶奶生产A1产品，用30桶奶生产A2产品获利最大，每天可获利3360元。
附加问题：
由影子价格可知，原料增加1单位，利润增长48元，成本为35元，所以可以买。
由灵敏度分析结果，每天最多再购买10桶牛奶。
由影子价格可知，时间增加1单位，利润增长2元，所以聘用临时工人的工资最多2元/小时。
由灵敏度分析可知，x1系数范围是（72-8,72+24），当A1产品获利增加到30元/kg时，即x1系数为30*3=90<72+24，在允许范围内，所以不应改变生产计划。
2课本81页2.12林敏度分析
第三章运输问题
1产销平衡的运输问题（摘自王治祯环境应用数学330页）
某城市有三个工厂,每个工厂生产都产出一定量的剩余物（通称为污染物）,本着化害为宝的精神,需将各厂的废物分别输送到本市内其他单位搞综合利用,一直每厂的剩余物和各厂的需要量及运价表,试用表上作业法求满足现有条件的运费最少的分配方案.
需求地
废品产出地
A
B
C
产量
甲
10
30
27
30
乙
16
19
22
50
丙
20
15
10
80
需要量
35
40
85
160
解:
（中间过程略）最优运送方案表为
需求地
废品产出地
A
B
C
产量
甲
30
30
乙
5
40
5
50
丙
80
80
需要量
35
40
85
160
此时总运费为2050
2产销不平衡的运输问题
解：
（1）设xij（i,j=1,2,3）为产地i运往客户j的运量，列表如下（运量、运费）：
客户1
客户2
客户3
发量
产地1
X11、10
X12、4
X13、12
3000
产地2
X21、8
X22、10
X23、3
4000
产地3（虚产地）
X31、---
X32、---
X33、---
1500
需求量
2000
1500
5000
建立数学模型如下：
min=10*x11+4*x12+12*x13+8*x21+10*x22+3*x23;目标
x11+x12+x13<=3000;约束条件
x21+x22+x23<=4000;约束条件
x31+x32+x33<=1500;约束条件
x11+x21+x31>=2000;约束条件
x12+x22+x32>=1500;约束条件
x13+x23+x33>=5000;约束条件
运行结果如下：
（只列出部分结果）
Objectivevalue:
33000.00
VariableValue
X111500.000
X121500.000
X130.000000
X210.000000
X220.000000
X234000.000
X31500.0000
X320.000000
X331000.000
运输方案：
产地1分别给客户1、2发货1500单位；
产地2给客户3发货4000单位；
产地3给客户1发货500单位，给客户3发货1000单位。
最低运费为33000。
3课本104页3.9飞行安全问题转化的运输问题
4人员分配问题
某检测站在一定时间内要化验一批水样,共分析16个项目,其中重金属A4项,有机物B5项,物理分析C3项,其他分析D4项,在分析期间,一部分人外出采样,站立仅仅有4人能够承担化验任务,根据每人世纪工作情况,化验员甲乙丙丁能完成435４项任务，每人完成不同任务所需要时间见下表所示，求需时最少的分配方案．
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
甲
２
１．５
１．５
０．５
乙
１
－
２
１．５
丙
１．５
１
－
１
丁
１．５
２．５
２．５
１．５
注释：
划横线为不能胜任此项工作
解：
此例题为运输问题，经过表上作业法，结果为
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
甲
４
乙
３
丙
５
丁
１
３
此时用时最少为１９．
第四章整数规划与分配问题
（摘自北京工业大学薛毅编写的数学建模实验）
1监控摄像头的最优安装问题（0-1整数规划）
20-1整数规划课本125页例题6
3指派问题1
4指派问题2（摘自王治祯环境应用数学334页）
利用5种不同质量浓度的有机废水灌溉5块土质相同的草地,各质量浓度的污水灌溉草地收获量见下表,求最优灌溉方案和最优分配下的最大生产量（单位公斤）
1
2
3
4
5
1
73
82
115
43
67
2
120
78
88
80
50
3
65
90
75
125
40
4
87
130
45
65
100
5
90
45
65
75
80
提示:
将各行都剪去该行最大数,再列效率表,则求最大生产量问题转化为求最小用时问题.
1
2
3
4
5
1
42
33
0
72
48
2
0
42
32
40
70
3
60
35
50
0
85
4
43
0
85
65
30
5
0
45
25
15
10
以下仍按照表上作业指派问题的求解方法来做.最优指派方案为
1
2
3
4
5
1
1
2
1
3
1
4
1
5
1
此时最佳收获量为120+130+115+125+80=570
第八章动态规划
1 最短路径问题
２电器安全可靠性问题（课本216页8.9）
３招聘问题（课本216页8.12）
第九章决策分析
1风险型决策的决策树法（课本317页11.511.611.8类似）
某厂因生产需要，考虑是否自行研制一个新的安全装置，首先，决定这个研制项目是否需要评审，如果需要评审，则需要评审费5000元，不评审，则可省去这笔评审费用，如进行评审，通过概率为0.8，不通过概率为0.2。
研制过程可以采取独立完成和外厂协作形式，如果研制成功，有6万元的收益，若采用本厂独立完成形式，则研制费用为2.5万元，成功概率为0.7，失败概率为0.3；若采用外厂协作性质，成功概率为0.99，失败概率为0.01，但是需要支付4万元的研制费用。
试问该厂决策者应该如何决策？
（用决策树法求解）
摘自张景林主编安全系统工程149页
答案：
故决策者应该参加项目评审，并且评审通过后应该采用写作完成的策略，此时预期的收益最大为1.082万元。
2不确定性决策
317页11.1
河北科技大学环境科学专业
第一章线性规划
1生产计划问题（摘自王治祯环境应用数学301页）
某厂生产甲乙两种产品，设生产1t单位甲产品，排放污水2个单位，排渣2个单位，生产1t单位乙产品，排放污水4个单位，排渣1个单位。
甲产品单价位500元，乙产品单价为400元，按照环保部门要求，为了使生产中每天排放的废水和废渣不超过20个和10个单位，问甲乙两种产品各应生产多少，才能使产值最大？
要求采用图解法和单纯性法求解，并与lingo求解结果作比较？
解：
图解法
略
单纯性法略
Lingo程序
max=5X1+4X2
2X1+4X2<=20
2X1+X2<=10
运行结果有惟一最优解，生产甲10/3件，乙10/3件，产值为3000元。
2江河水质管理问题（摘自王治祯环境应用数学304页）
某地有三个大型污染源企业，根据江水稀释自净化能力以及下游饮用水要球，允许三个企业排放的BOD5的总量为2.99t/d，根据表求解每个企业排放BOD5的最佳削减率和达到这种削减所需要的资金。
污染源
治理措施
BOD5的最大日削减量
实现最大日削减量所需要的费用万元
削减率%
A1
a
1.872
90
80
B2
b
2.628
135
73
C3
c
1.368
43
36
目标函数
minZ=90X1+135X2+43X3
1.872X1+2.628X2+1.368X3>=2.99
X1<=1
X2<=1
X3<=1
计算结果
X1=0，X2=0.859
X3=0.542
所需要的资金最少为132.977万元
3城市安全供水问题（摘自王治祯环境应用数学312页）
一个40万人口的城市，由于工业及人口的不断发展，面临缺水问题，初步估计全市缺水约5000t/d，水源及有关资料见下表，同时要求水质中硫化物，氯化物和可溶性固体分别不超过650，200，100mg/L，是决定最低成本的供水策略。
A河
净化水
B河
地下水
可溶性固体mg/L
100
150
50
20
氯化物mg/L
700
500
800
600
硫化物mg/L
300
100
250
40
价格元/t
0.5
0.4
0.7
0.6
解：
设X1X2X3X4位分别来自4个水源地的最低成本下的供水量（单位万t）。
MinZ=0.5X1+0.4X2+0.7X3+0.6X4
700X1+500X2+800X3+600X4<=650（X1+X2+X3+X4）
300X1+100X2+250X3+40X4<=200（X1+X2+X3+X4）
100X1+150X2+50X3+20X4<=100（X1+X2+X3+X4）
X1+X2+X3+X4>=0.5
经过求解
X1=0.29，X2=0.14
X3=0,X4=0.11
最低成本为2.67万元
运筹学软件LINGO的使用
一LINGO简介
LINGO是LinearInteractiveandGeneralOptimizer的缩写，即“交互式的线性和通用优化求解器”，可以用于求解非线性规划，也可以用于一些线性和非线性方程组的求解等。
其特色在于可以允许决策变量是整数（即整数规划，包括0-1整数规划），方便灵活，而且执行速度非常快。
二LINGO在各类问题中的应用实例
1课本27页例题5的lingo程序
max2x1+3x2
ST
2x1+2x2<=12
4x1<=16
5x2<=15
End
lingo求解结果
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
15.00000
Infeasibilities:
0.000000
Totalsolveriterations:
1
ModelClass:
LP
Totalvariables:
2
Nonlinearvariables:
0
Integervariables:
0
Totalconstraints:
4
Nonlinearconstraints:
0
Totalnonzeros:
6
Nonlinearnonzeros:
0
VariableValueReducedCost
X13.0000000.000000
X23.0000000.000000
RowSlackorSurplusDualPrice
115.000001.000000
20.0000001.000000
34.0000000.000000
40.0000000.2000000
2数学建模基础216页0-1整数规划的lingo程序
max3x1-2x2+5x3
ST
x1+2x2-x3<=2
x1+4x2+x3<=4
x1+x3<=3
4x2+x3<=6
end
INT3
lingo求解结果
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
8.000000
Objectivebound:
8.000000
Infeasibilities:
0.000000
Extendedsolversteps:
0
Totalsolveriterations:
0
ModelClass:
PILP
Totalvariables:
3
Nonlinearvariables:
0
Integervariables:
3
Totalconstraints:
5
Nonlinearconstraints:
0
Totalnonzeros:
13
Nonlinearnonzeros:
0
VariableValueReducedCost
X11.000000-3.000000
X20.0000002.000000
X31.000000-5.000000
RowSlackorSurplusDualPrice
18.0000001.000000
22.0000
升级会员 