线性微分方程组.docx
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线性微分方程组
第五章线性微分方程组
［教学目标］
1.理解线性微分方程组解的存在唯一性定理，掌握一阶齐（非齐）线性微分方程组解的性质与结构，
2.理解n阶线性微分方程与一阶线性微分方程组的关系。
3.掌握非齐次线性微分方程组的常数变易法，
4.理解常系数齐线性微分方程组基解矩阵的概念，掌握求基解矩阵的方法。
5.掌握常系数线性微分方程组的Laplce变换法。
［教学中难点］求解常系数非齐次线性微分方程组
［教学方法］讲授，实践。
［教学时间］16学时
［教学内容］n阶线性微分方程与一阶线性微分方程组的关系，一阶线性微分方程组解的存在唯一性定理；齐（非齐）线性微分方程组解的性质与结构，求解非齐次线性微分方程组的常数变易法；常系数齐线性微分方程组的基解矩阵及求基解矩阵的方法；求常系数线性微分方程组的Laplce变换法。
［考核目标］
1.线性微分方程组解的性质与结构。
aj（t）（i,j1,2丄，n）和fj（t）（i1,2丄，n）在区间atb上
2.能够求解常系数线性微分方程组。
§5.1
存在唯一
性定理
5.1.1记号和定义
考察形如
X1
a11（t）X1
a12（t）X2
L
a1n（t）Xn
f1（t）
X2
a21（t）X1
a22（t）X2
L
a2n（t）Xn
f2（t）
（5.1）
LL
LLL
Xn
an1（t）X1
an2（t）X2
L
ann（t）Xn
fn（t）
的一阶线性微分方程组，其中已知函数
上是连续的。
方程组（5.1）关于捲，血丄,Xn及Xi,X2丄,Xn是线性的.
引进下面的记号：
a11（t）
a12（t）
L
a1n（t）
a21（t）
a22（t）
L
a2n（t）
（5.2）
A（t）21
L
L
L
L
an1（t）
an2（t）
L
ann（t）
这里A（t）是nn矩阵，它的元素是
2
n个函数
ai
j（t）（i,j1,2,L,n）.
f1（t）
X1
X1
f2（t）
X2
X2
（5.3）
f（t）2
X
X
M
M
M
fn（t）
Xn
Xn
这里f（t）,x,x是n1矩阵或n维列向量。
注意，矩阵相加、矩阵相乘、矩阵与纯量相乘等等性质对于以函数作为元素的矩阵同样成立。
这样一来，方程组（5.1）可以写成下面的形式
xA（t）xf（t）（5.4）
引进下面的概念。
一个矩阵或者一个向量在区间atb上称为连续的，如果它的每一个元素都是区间atb上
的连续函数。
一个nn矩阵B（t）或者一个n维列向量u（t）:
bii（t）
b12（t）
L
g（t）
U1（t）
b21⑴
b22（t）
L
b2n（t）
/+、U2（t）
B（t）,
u
（t）-
L
L
L
L
M
bn1（t）
bn2（t）
L
bnn（t）
Un（t）
在区间atb上称为可微的，如果它的每-
一个兀素都在区间
atb上可微。
它们的导数分别由下
式给出：
S（t）g（t）
L
bm（t）
4（t）
b21（t）t22（t）
L
b2n（t）
U2（t）
B（t）__
u（t）
LL
L
L
M
bm（t）恥⑴
L
bnn（t）
Un（t）
不难证明，如果nn矩阵A（t
）,B（t）及n维向量u（t）
v（t）是可微的，那么下列等式成立：
（I）A（t）B（t）A（t）B（t）
u（t）v（t）u（t）v（t）
（H）A（t）B（t）A（t）B（t）A（t）B（t）
（川）A（t）u（t）A（t）u（t）A（t）u（t）
类似地，矩阵B（t）或者向量u（t）在区间atb上称为可积的，如果它的每一个元素都在区间
atb上可积。
它们的积分分别由下式给出：
b
abn（t）dt
b
ab2（t）dt
L
b
abin（t）dt
b
aU1（t）dt
b
b
abn（t）dt
b
a以呃
L
b
ab2n（t）dt
b
baU2（t）dt
aB（t）dt
aU（t）dta
L
L
L
L
M
b
b
b
b
bn（t）dt
a
02（t）dt
a
L
bnn（t）dt
a
Un（t）dt
a
现在我们给出（5.4）
的解的定义：
定义1设A（t）是区间
atb上的连续nn矩阵，
f（t）是同一区间
atb上的连续n维向量。
方程组
（5.4）
xA（t）xf（t）
在某区间
t
（这里
a,b）的解就是向量u（t），它的导数u（t）在区间
t
上连
续且满足
u（t）
A（t）u（t）f（t）,t
现在考虑带有初始条件x（t0）的方程组（5.4），这里t0是区间atb上的已知数，是n维
欧几里得空间的已知向量，在这样条件下求解方程组称为初值问题。
定义2初值问题
（5.5）
的解就是方程组（
5.4）在包含
to的区间
上的解u（t），使得u（t°）。
例2验证向量
u（t）
是初值冋题
x,x（0）
在区间解显然
上的解。
u（0）
0
e
0
e
因为et和
et处处有连续导数,
我们得到
u（t）
t
e
t
e
t
e
t
e
01
10u（t）
因此U（t）是给定初值问题的解。
正如在第而章所看到的，当n1时，我们可以得到初值问题（5.5）的解的明显表达式，当n2
时，情况就复杂多了。
在第四章中，我们讨论了带有初始条件的n阶线性微分方程的初值问题。
现在进一步指出，可以
通过下面的方法，将n阶线性微分方程的初值问题化为形如（5.5）的线性微分方程组的初值问题。
考虑n阶线性微分方程的初值问题
（5.6）
x（n）a1（t）x（n1）Lan1（t）xan（t）xf（t）
X（t°）1,x（t°）2,L,x（n1）（t0）n
其中
事实上，令
这时
而且
0
1
0
L
0
0
0
0
1
L
0
0
X
L
L
L
L
Lx
0
0
0
0
L
1
M
an（t）
an1（t）
an2（t）
L
d（t）
f（t）
常数。
我们指出，它可以化为下列线性微分方程组的初值问题
1
2
M
x（to）
X1
X2
X2
X
X
M
M
Xn
Xn
n
Xix,X2x,X3x,L,Xnx（n"
x|x
x2xx3
LLLL
（n1）
Xn1XXn
XnX（n）an（t）X1an1（t）X2La1（t）Xnf（t）
（5.7）
x（to）1x（to）
1,X（to）2X（to）2,L,Xn（to）X（n1}（to）
现在假设（t）是在包含t0的区间atb上（5.6）的任一解。
由此，得知
（t）,（t）,L,（n）（t）
在atb上存在、连续、满足方程（
5.6）且（to）1,（to）2丄，"T（to）
n。
令
（t）
1（t）
2（t）
M
n（t）
toa,b,1,2,L,n是已知
其中ai（t）,a2（t）,L,an（t）,f（t）是区间atb上的已知连续函数,
其中l（t）
（t）,
2（t）（t）,L
n（t）
（n1}（t）（atb），那么，显然有
（t。
）
。
此外,
1（t）
（t）
2（t）
2（t）
（t）
3（t）
（t）
M
M
M
nl（t）
（n°（t）
n（t）
n（t）
（n）（t）
ai（t）（n
%）
an（t）（t）
f（t）
2（t）
0
1
0
L
0
1（t）
0
3（t）
0
0
1
L
0
2（t）
0
M
M
M
M
M
M
M
M
n（t）
0
0
L
0
1
n1（t）
0
an（t）
l（t）
Lai（t）n（t）
f（t）
an（t）ani（t）
L
a2（t）
a1（t）
n（t）
f（t）
这就表示这个特定的向量（t）是（5.7）的解。
反之，假设向量u（t）是在包含t0的区间atb上
（5.7）的解。
令
Ui（t）
氏（t）
u（t）2
M
w（t）Ui（t）U2（t），由第二个方程得到
Un（t）
并定义函数w（t）Ui（t），由（5.7）的第一个方程，我们得到
w（t）U2（t）U3（t）,L，由第n1个方程得到w（n1}（t）Uni（t）Un（t），由第n个方程得到
w（n）（t）Un（t）an（t）Ui（t）ani（t）u2（t）La2（t）Uni（t）^⑴片⑴f（t）q（t）w（n°（t）a2（t）w（n2）（t）L%（t）w（t）f（t）
由此即得
w（n）（t）a!
（t）w（n1}（t）a2（t）w（n2）（t）Lan（t）w（t）f（t）
同时，我们也得到
w（to）Ui（to）1,L,W（n1）（to）Un（to）n
这就是说，w（t）是（5.6）的一个解。
总之，由上面的讨论，我们已经证明了初值问题（5.6）与（5.7）在下面的意义下是等价的：
给定
其中一个初值问题的解，我们可以构造另一个初值问题的解。
值得指出的是：
每一个n阶线性微分方程可化为n个一阶线性微分方程构成的方程组，反之却不
成立。
例如方程组
x
01
X1
X2
1
0x，X
不能化为一个二阶微分方程。
5.1.2存在唯一性定理
本节我们研究初值问题
xA（t）xf（t）,x（to）（5.5）
的解的存在唯一性定理。
类似与第三章，我们通过五个小命题，采用逐步逼近法来证明定理。
因为现在讨论的是方程组（写成向量的形式），所以有些地方稍微复杂些，而且要引进向量、矩阵的“范数”
及向量函数序列的收敛性等概念；然而由于方程是线性的，所以有些地方又显得简单些，而且结论也加强了。
总之，我们要比较第三章中的证明和现在的证明的异同，从对比中加深对问题的理解。
Xi
对于nn矩阵Aaij和n维向量xX2，我们定义它的范数为
iJnnM
Xn
nn
IIA|aj|INIx
i,J1i1
设代B是nn矩阵，x，y是n维向量，这时容易验证下面两个性质：
1）ABABAxAx
2）ABABxyxy
向量序列xk,xk
x2k
，称为收敛的，如果对每一个
i（i1,2丄，n）数列x^都是收敛的。
向量函数序列xk（t）,xk（t）
Xk（t）
x2k（t）称为在区间atb上收敛的（一致收敛的），如果对于
M
Xnk（t）
每一个i（i1,2,L,n）函数序列
xk（t）在区间atb上是收敛的（一致收敛的）
易知，区间
atb上的连续向量函数序列xk（t）的一致收敛极限向量函数仍是连续的。
向量函数级数xk（t）称为在区间atb上是收敛的（一致收敛的），如果其部分和作成的向量
k1
函数序列在区间atb上是收敛的（一致收敛的）。
判别通常的函数级数的一致收敛性的维氏判别法对于向量函数级数也是成立的，这就是说，如果
而级数Mk是收敛的，则xk（t）在区间atb上是一致收敛的。
k1k1
Xk（t）在区间
积分号下取极限的定理对于向量函数也成立，这就是说，如果连续向量函数序列
atb上是一致收敛的，贝U
b
m
Hk
limXk（t）dt
ak
注意，以上谈到的是向量序列的有关定义和结果，对于一般矩阵序列，可以得到类似的定义和结
果。
例如，nn矩阵序列A，其中Aka（k）称为收敛的，如果对于一切i,j1,2丄,n，数
nn
列a（k）都是收敛的。
无穷矩阵级数
AiA2L人L
称为收敛的，如果它的部分和所成序列是收敛的。
如果对于每一个整数k，
而数值级数Mk是收敛的，则Ak也是收敛的。
k1k1
同样，可以给出无穷矩阵函数级数Ak（t）的一致收敛性的定义和有关结果。
k1
定理1（存在唯一性定理）如果A（t）是nn矩阵。
f（t）是n维列向量，它们都在区间atb上连
续，则对于区间atb上的任何数to及任一常数向量
1
2
M
n
方程组
XA（t）xf（t）（5.4）
存在唯一解（t），定义于整个区间atb上，且满足初始条件
（t0）。
类似于第三章，我们分成五个小命题来证明
命题1设（t）是方程组（5.4）的定义与区间atb上且满足初始条件（t0）的解，贝V（t）是
积分方程
x（t）A（s）x（s）f（s）ds,atb（5.8）
to
的定义于atb上的连续解，反之亦然。
证明完全类似于第三章，兹不累赘。
现在取o（t），构造皮卡逐步逼近向量函数序列如下：
o（t）
t
k（t）tA（s）ki（s）f（s）ds,atb
to
k1,2,L
向量函数k（t）称为（5.4）的第k次近似解。
应用数学归纳法立刻推得命题2:
命题2对于所有的正整数k，向量函数k（t）在区间atb上有定义且连续。
命题3向量函数序列k（t）在区间atb上是一致收敛的。
命题4（t）是积分方程（5.8）的定义在区间atb上的连续解。
命题5设（t）是积分方程（5.8）的定义于atb上的一个连续解，则（t）（t）（atb）。
综合命题1—5,即得到存在唯一性定理的证明。
值得指出的是，关于线性微分方程组的解（t）的定义区间是系数矩阵A（t）和非齐次项f（t）在其
上连续的整个区间atb。
在构造逐步逼近函数序列k（t）时，k（t）的定义区间已经是整个
atb，不像第三章对于一般方程那样，解只存在于to的某个邻域，然后经过延拓才能使解定义在
较大的区间。
注意到5.1.1中关于n阶线性方程的初值问题（5.6）与线性微分方程组的初值问题（5.7）的等
价性的论述，立即由本节的存在唯一性定理可以推得关于n阶线性微分方程的解的存在唯一性定理。
推论（即第四章的定理1）如果a1（t）,L,an（t）,f（t）都是区间atb上的连续函数，则对于区间
atb上的任何数t0及任何的1,2,L,n，方程
x（n）a1（t）x（n1）Lan1（t）xan（t）xf（t）
存在唯一解w（t），定义于整个区间atb上且满足初始条件：
W（t°）1,W（t°）2,L,W（n"（t。
）n。
§5.2线性微分方程组的一般理论
现在讨论线性微分方程组
（5.14）
xA（t）xf（t）
的一般理论，主要是研究它的解的结构问题。
如果f（t）/0,则（5.14）称为非齐线性的。
如果f（t）0,则方程的形式为
xA（t）x（5.15）
称（5.15）为齐线性方程组，通常（5.15）称为对应于（5.14）的齐线性方程组。
5.2.1齐线性微分方程组
本段主要研究齐线性方程组（5.15）的所有解的集合的代数结构问题。
我们假设矩阵A（t）在区
间atb上是连续的。
设u（t）和v（t）是（5.15）的任意两个解，和是两个任意常数。
根据向量函数的微分法则，即知u（t）v（t）也是（5.15）的解，由此得到齐线性方程组的叠加原理。
定理2（叠加原理）如果U（t）和v（t）是（5.15）的解，则它们的线性组合U（t）v（t）也是（5.15）
的解，这里，是任意常数。
定理2说明，（5.15）的所有解的集合构成一个线性空间。
自然要问：
此空间的维数是多少呢？
为此，我们引进向量函数X1（t）,X2（t）,L,Xm（t）线性相关与线性无关的概念。
设人（t）,X2（t）,L,Xm（t）是定义在区间at
b上的向量函数，如果存在不全为零的常数
qsL,編，使得恒等式
GX1（t）C2X2（t）LCmXm（t）0,atb
成立；称向量函数X1（t）,x2（t）,L,xm（t）在区间a
tb上线性相关，否则，称X,（t）,X2（t）丄,Xm（t）为
Xm（t）
X2n（t）
M
线性无关的。
设有n个定义在区间atb上的向量函数
心⑴
x21（t）
X1（t）2；J丄L,Xn（t）
M
Xn1（t）
由这n个向量函数构成的行列式
Xnn（t）
X11（t）
X12（t）
L
X1n（t）
X21（t）
X22（t）
L
X2n（t）
W人⑴必亿）丄，Xn（t）W（t）
M
M
L
M
Xn1（t）
Xn2（t）
L
Xnn（t）
称为这些向量函数的伏朗斯基行列式。
定理3如果向量函数Xi（t）,X2（t）丄，Xn（t）在区间atb上线性相关，则它们的伏朗斯基行列式
W（t）0，atb。
证明由假设可知存在不全为零的常数g,c2丄,ch使得
C|X1（t）c2x2（t）LcnXn（t）0,atb（5.16）
把（5.16）看成是以d,C2丄,Cn为未知量的齐次线性代数方程组，这方程组的系数行列式就是
Xi（t）,X2（t）,L,Xn（t）的伏朗斯基行列式W（t）。
由齐次线性代数方程组的理论知道，要此方程组有非零
解，则它的系数行列式应为零，即
W（t）0，atb
定理证毕。
定理4如果（5.15）的解Xi（t）,X2（t）,L,Xn（t）线性无关，那么，它们的伏朗斯基行列式W（t）0,
atb。
证明我们采用反证法。
设有某一个t0,at0b，使得W（t0）0。
考虑下面的齐次线性代数方程
组：
GXi（t°）C2X2（t°）LCnXn（t°）0（5.17）
它的系数行列式就是W（t。
），因为W（t。
）0,所以（5.17）有非零解％C%丄，％，以这个非零解
%%丄，％构成向量函数X（t）:
X（t）购1（t）%X2（t）LC%Xn（t）（5.18）
根据定理2,易知X（t）是（5.15）的解。
注意到（5.17）,知道这个解X（t）满足初始条件
x（t。
）0（5.19）
但是，在atb上恒等于零的向量函数0也是（5.15）的满足初始条件（5.19）的解。
由解的唯一性，
知道X（t）0,即
%X1（t）%X2（t）L%Xn（t）0,atb
因为％%丄，％不全为零，这就与Xi（t）,X2（t）,L,Xn（t）线性无关的假设矛盾，定理得证。
由定理3,定理4可以知道，由（5.15）的n个解Xi（t）,X2（t）,L,Xn（t）作成的伏朗斯基行列式W（t），
或者恒等于零，或者恒不等于零•
定理$（5.15）一定存在n个线性无关的解X1（t）,X2（t）,L,Xn（t）.
证明任取t0a,b,
根据解的存在唯一性定理，
（5.15）分别满足初始条件
1
0
0
0
1
0
Mo）0
X2（to）0丄,Xn（to）
0
M
M
M
0
0
1
的解Xi（t）,X2（t）,L,Xn（t）一定存在。
又因为这n个解Xi（t）,X2（t）,L,Xn（t）的伏朗斯基行列式W（to）10,故根据定理3,Xi（t）,X2（t）,L,Xn（t）是线性无关的，定理证毕。
定理6如果X,（t）,X2（t）丄，Xn（t）是（5.15）的n个线性无关的解，则（5.15）的任一解X（t）均可表为
X（t）GX^t）C2X2（t）LCnXn（t）
这里C1,C2,L,Cn是相应的确定常数。
证明任取t0a,b，令
X（to）C1X1（to）C2X2（to）LCnXn（to）（5.20）
把（5.20）看作是以q,C2,L,Cn为未知量的线性代数方程组。
这方程组的系数行列式就是W（to）。
因
为X,（t）,X2（t）,L,Xn（t）是线性无关的，根据定理4知道W（to）0。
由线性代数方程组的理论，方程组
（5.20）有唯一解G,C2丄,Cn。
以这组确定了的C|,C2丄,Cn构成向量函数C^（t）C2X2（t）LCnXn（t）,
那么，根据叠加原理，它是（5.15）的解。
注意到（5.20）,可知（5.15）的两个解X（t）及
GX1（t）C2X2（t）LCnXn（t）具有相同的初始条件。
由解的唯一性，得到
X（t）C1X1（t）C2X2（t）LCnXn（t）
定理证毕。
推论1（5.15）的线性无关解的最大个数等于n.
（5.15）的n个线性无关的解X1（t）,X2（t）丄，Xn（t）称为（5.15）的一个基本解组。
显然，（5.15）具
有无穷多个不同的基本解组•
由定理5和定理6，我们知道（5.15）的解空间的维数是口.即（5.15）的所有解构成了一个n维的
线性空间.
注意到5.1.1节关于n阶线性微分方程的初值问题（5.6）与线性微分方程组的初值问题（5.7）的
等价性，本节的所有定理都可以平行地推论到n阶线性微分方程上去。
从本节的定理2容易推得第四章的定理2。
参看4.1.2中关于纯量函数组的线性相关概念，可以证明：
一组n1次可微的纯量函数x1（t）,x2（t）,L,xm（t）线性相关的充要条件是向量函数
X1（t）X2（t）Xm（t）
（*）
X1（t）X2（t）lLXm（t）
MMM
x（n1）（t）x2n1）（t）xmn1）（t）
线性相关。
事实上，
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