有关球的高考题文档格式.docx
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3.（2015•新课标全国卷n理科•T9）已知A,B是球O的球面上两点，/
AOB=90,C
为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球0
的表面积为
A.36n
B.64n
C.144nD.256n
【解题指南】
当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O-ABC的体积
最大，利用Vo-abc=Vc-aob列出关于半径R的方程，求出球的半径，然后求出球的表
面积.
【解析】选C.如图所示,当点C位于垂直于面AOB的直径端点时,三棱锥0-
ABC的体积最大,设球O的半径为R,此时Vo-ABC=VC-AOB=X2R2XR=R3=36,故R=6,
则球0的表面积为
S=4nR2=144n.
4.（2016全国卷m文科T11）与（2016全国卷3理科T10）相同在封闭的直三棱柱ABC-
AiBiCi内有一个体积为V的球.若AB丄BC,AB=6,BC=8,AAi=3,则V的最大值是（）
A.4nB.—C.6nD.32n
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【解题指南】注意当球和直三棱柱的三个侧面内切时，球已不在直三棱柱内
【解析】选B.当球的半径最大时，球的体积最大.在直三棱柱内，当球和三个侧面都相切时因为AB丄BC,AB=6,BC=8,所以AC=10,底面的内切圆的半径即为此时球的半径
68103
r=—^=2,直径为4＞侧棱.所以球的最大直径为3,半径为2,此时体积V=T.
冗.
方体的外接球的半径为梟,所以球的表面积为4n（73）2=12
5.（2010•辽宁高考文科-T11）已知S,A,B,C是球O表面上的点，SA
丄平面ABCAB丄BCSA=AB=1,BC=运，则球0的表面积等于（）
（D）
【命题立意】本题考查了空间两点间距离公式和球的表面积公式
建立空间坐标系
设球心坐标
球的半径
球的表面积
【思路点拨】
【规范解答】选A.QSA平面ABC,AB,AC平面ABC,SAAB
SAAC
故可以A为原点，AC所在的直线为y轴，AS所在的直线为z轴建立如图所示
的空间直角坐标系A-Xyz，则A（o,o,o）,BC-^36^^|3,o）,C（o，J3,o）,S（o,o,1）,设球心O
坐标为（X0,y0,zo）,则点0到各顶点S,A,B,C的距离相等，都等于球的半
径R.
【方法技巧】1.选用球心到各顶点的距离都相等来确定球心，才能求出半
径,
2.也可用另外的方法找到球心，因为/ABC是直角，所以AC是
ABC垂直的平面上，可知球心在平面SAC中，又因为球心到
S,A,C的距离都相等，且△SAC是直角三角形，所以球心
就是斜边SC的中点，球的半径为SC的一半,
3.另外，可将三棱锥S-ABC补成一个长方体进行求解
6.（2010
-海南宁夏高考•理科T10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱
【命题立意】本小题主要考查了几何体的外接球问题
【思路点拨】找出球与棱柱的相应关系，找出球的半径与三棱柱棱长之间的关系.
【规范解答】选B.设球心为0,设正三棱柱上底面为ABC，中心为0，因
为三棱柱所有棱的长为a，则可知00a,0A^a，又由球的相关性质
可知，球的半径RJOO20A2迈a，所以球的表面积为4R27a2，故
63
7.（2011•辽宁高考文科-T10）已知球的直径SC=4,A,B是该球球面上
…VSABC
11J3
Vsa0bVca0b-Sa0b（s00c）=3丁
两点，AB=73,ASCBSC30，则棱锥SABC的体积为（）
【思路点拨】找到直径SC的垂截面是解决本题的关键.
【精讲精析】选C.由题意可知SAC和SBC是两个全等的直角三角形，过直
角顶点A,B分别作斜边上的高线AH,BH，由于ASCBSC30,求得
AHBHJ3，所以等边ABH的面积为Sabh—（V3）2^^3，所求棱锥
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SABC的体积等于以ABH为底的两个小三棱锥的体积的和，其高的和即为
9.（2011•新课标全国高考理科•[15）已知矩形ABCD的顶点都在半径为
4的球O的球面上，且AB6,BC2®
则棱锥OABCD的体积为
体积.
【答案】8旋
个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的-，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为
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【思路点拨】画出图形，利用数形结合，然后利用球及圆的性质求解
锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角
形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（
A半（B）
（C）
3（D）
【解题指南】思路一：
取AB的中点为
D，将棱锥分割为两部分，利用
VVbcdsVacds求体积；
思路二：
设点
O到面ABC的距离为d,利用
V1SABC2d
3ABC求体积;
思路三：
利用排除法求解.
【解析】选A.方法一：
QSC是球O的直径，CASCBS90
QBABC
AC
1SC2
ASBS
运，取AB的中点为D，显然
AB
CD
平面CDS.
CDS
CD”
2
DS
SC
2，利用余弦定理可得
cos
sinCDSA庇
故
733
S1
OCDS2
442
VVbCDS
VaCDS
1
SCDSBD+~SCDS
3
AD
1S
SCDS
14242
BA—一1一
326-
方法二：
ABC
的外接圆的半径r
3，点O到平面ABC的距离
dJr2r2
V
此棱锥的体积为
1Sabc2d1逅迹返
33436
方法三：
V36
43
2R-
6，排除B,C,D
12.（2013•新课标I高考理科-T6）如图,有一个水平放置的透明
无盖的正方体容器，容器高8cm,将一个球放在容器口，再向容器内注水，
积为（）
【解题指南】结合截面图形，构造直角三角形，利用勾股定理列出关于球半径的方程，求出球半径,再利用v3r3求出球的体积-
【解析】选A.设球的半径为R,由勾股定理可知，R2（R2）242,解
（A）V6n
【解题指南】利用球心到截面的距离、截面圆的半径、球的半径之间满足勾股定理求得球的半径，然后利用公式求得球的体积
【解析】选B.设球0的半径为R,则RJ12（荷273，故
V球4R34爲
2灵的正方形.若
14.（2012•辽宁高考文科-T16）已知点P,A,B,C,D是球0表面上的点，PA丄平面ABCD四边形ABCD是边长为
PA=2W,则^OAB的面积为
方体的顶点来考虑.
OAB的
接长方体的顶点，球0位于该长方体的对角线的交点处，那么△面积为长方体对角面的四分之一
QQABB22^33PAA22/66,PBB66,00ADD面积^丄22曲6=33處.
44
【答案】3恵
15.（2013•辽宁高考文科-T10）与（2013•辽宁高考理科-T10）相同已知三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球0的球面上，若
AB3,AC4,ABAC,AA112,，则球0的半径为（）
【解题指南】对于某些简单组合体的相接问题，通过作出截面，使得有关的元素间的数量关系相对集中在某个平面图形中。
【解析】选C.由题意，结合图形，经过球心0和三棱柱的侧棱中点的
大圆，与三棱柱的侧棱垂直，三棱柱的底面三角形ABC为直角三角形,
AH:
HB=1:
2,AB丄平面,H为垂足,
截球O所得截面的面积为n,则
OA2OO2OA2
球O的表面积为
【解析】因为截球O所得截面的面积为n,所以截面的半径为1.设球的半径为R,则AH2R,BH—,由勾股定理得12（-）2R2,解得
333
R29.所以球O的表面积为4R2^.
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【答案】9.
17.（2013•大纲版全国卷高考文科-T16）与（2013•大纲版全国卷高考理科-T16）相同已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径,
OK3，且圆O与圆K所在的平面所成角为60o,则球O的表面积等于
【解题指南】解决本题要明确球大圆是指球的切面过圆心的圆.根据题意画出图形，确定圆O与圆K所在平面的二面角，构造直角三角形求出
半径长.
【解析】如图,
设公共弦MNR,E为MN的中点，贝JOEMN,KEMN
OEK为圆O与圆K所在平面的二面角.
10）已知一个正方体的所有顶点在一
所以OEK60，又OMN为等边三角形,
所以OE
^R.又因
1为OK
OK
sin60°
-,
即衣R
解得R
2，所以S
4R21
6.
【答案】
EK,
19.（2013•天津高考文科-T
个球面上.若球的体积为牛，则正方体的棱长为
【解题指南】先根据球的体积求出半径，再根据球的直径与其内接正方
【解析】设球半径为R,因为球的体积为彳r32
牛，所以r=3，又由球
体对角线的相等关系求其棱长
3,故其棱
的直径与其内接正方体对角线的相等知正方体的对角线长为
【答案】7320.（2013•福建高考理科-T12）已知某一多面体内接于球构成一个简
单组合体，如果该组合体的正视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是
【解题指南】如果考球，我们只要清楚一个结论，外接球的直径就是长方
体的对角线.
【解析】球是棱长为2的正方体的外接球，则球的直径
dJ2222222?
3,所以球的表面积为S=4nR2=nd2=12n.
【答案】12n
21.（2013•新课标全国n高考文科-T15）已知正四棱锥0ABCD的
体积为学，底面边长为73，则以0为球心，0A为半径的球的表面积
【解题指南】利用正四棱椎的性质，求得0A的长，即可得球的表面积.
【解析】设正四棱锥的高为h，
则-（73）2h亜，解得高h巫，则底
322
面正方形的对角线长为近
晶，所以0AJ（迈）2西276,所以
Y22
球的表面积为4（76）224
【答案】24
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