12子空间与子空间的分解.docx
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12子空间与子空间的分解
§2线性子空间与子空间的分解
在通常的三维几何空间中，考虑一个通过原点的平面。
不难看出，这个平面上的所有向量对于加法和数量乘法组成一个二维的线性空间，这就是说，它一方面是三维几何空间的一个部分，同时它对于原来的运算也构成一个线性空间。
一般地，我们不仅要研究整个线性空间的结构，而且要研究它的线性子空间，一方面线性子空间本身有它的应用，另一方面通过研究线性子空间可以更深刻地揭示整个线性空间的结构。
一、线性子空间的定义
定义7设V是数域F上的一个线性空间，W是V的一非空子集。
如果W对于V中所定义的加法和数乘运算也构成数域F上的一个线性空间，则称W为V的一个线性子空间，简称子空间。
验证W是否为V的子空间，实际上只需考察W对于V中加法和数乘运算是否封闭就行了。
因为线性空间定义中的规则
（1）~（8）在W对线性运算是封闭的情况下必是满足的。
例1任何线性空间有两个平凡子空间或假子空间；一个是它自身VV,另一个是W0，称为零元素空间（零子空间）。
除此之外的子空间称为非平凡子空间或真子空间。
下面举几个常见的例子。
例2给定A⑻包丄,an）Rmn，集合
N（A）x|Ax0,xRn
R（A）（A）L（a1,a2,L,an）span{a1,a2,L,an}y|yAx,xRn
分别是Rn和Rm上的子空间，依次称为A的零空间（核）和列空间（值域），零空间的维数称为零度
A的零空间是齐次线性方程组Ax0的全部解向量构成的n
维线性空间Rn的一个子空间。
因为解空间的基就是齐次线性方程组的基础解系。
所以，dim（N（A））nrank（A）。
A的左零空间和行空间
N（AT）x|ATx0,xRm
R（AT）（AT）y|yATx,xRm，
dim（N（AT））mrank（AT）。
A表示Amn的广义逆，满足AXAA，则有
N（A）（InAA）
且InAA,AA幕等。
所以
rank（InAA）tr（InAA）ntr（AA）nrank（AA）nrank（A）
的线性组合所成的集合
是V的一个子空间，称为由1,2
m生成的子空间
若记A（!
2,,m）Rnm，则
（A）Span1,2,m
由子空间的定义可知，如果V的一个子空间包含向
1,2,
m，那么就一定包含它们所有的线性组合。
也就是说
Span1,2,m是V的一个子空间
注：
容易证明
（1）dim（A）rank（A）。
（2）（A）（AB）,Bbibi，特别若bj,j1,2,,l可表示
为1,2,,m的线性组合，则（A）（AB）。
定理2设W是Vn的一个m维子空间，1,2,,m是W的一个基，则这m个向量必定可扩充为Vn的基。
证明
若mn,则定理已成立。
若mn,则Vn中必存在一个向量
m1不能由1,2,
m线性表出，从而1,2,,m,m1线性
无关。
如果m1n,则定理已成立。
否则继续上述步骤。
经过
nm次，则可得到Vn内nm个线性无关的向量，使
1,2,,m,m1,
n为Vn的基。
二、子空间的分解
子空间作为子集，有子集的交（W1W2），和（W1W2）等运算，对它们有如下定理。
定理3设W1,W2是线性空间V的子空间，则有
（1）w与W2的交集wW2|WNW2是V的子
空间，称为Wi与W2的交空间。
（2）Wi与W2的和WiW2|12,1Wi,2W2
是V的子空间，称为W1与W2的和空间。
证明
（1）由0W1,0W2,可知0W1W2,因而W1W2是非空的.
其次，如果,
W1W2,即,W1而且,W2,因此
W1,
W2,因此W1W2.同样,由
kW1,kW2,知kWW2.因此W1W2是V的子空间.
（2）由定义W1W2V,而且非空.,W1W2,则有
Wi,i1,2.
12
1
2（11）（22）,
kk1k2，
因Wi是子空间,则11
W1,
22W2,k1W1,k2W2,
所以
W1W2,k
W1
W2,即W1W2是V的子空间.
子空间的交与和的概念可以推广到多个子空间的情形。
定理4（维数定理）设W1和W2是线性空间V的两个子空间，
则有
dimW1+dimW2=dim（W1W2）+dim（W1W2）
（1）
证明
设dim（W1W2）r,dimW1s1,dimW2s2,W1W2基为
1,2,,r，由定理2知，它们可分别扩充为：
W1的基
1,2,,r,r1,,s1，
W2的基
1,2,,r,r1,,s2，
则
W1=Span1,2,,r,r1,,s1，
W2=Span1,2,,r,r1,,s2，
W1W2Span1,2,,r,r1,,s1,r1,,s2
下面证明
1,2,,r,r1,,s1,r1,,s2为线性无关组。
任取数ki，pi，qi，使
ki
1
ipi
ir1
qi
ir1
0.
（2）
因为
s1
pi
ir1
r
ki
i1
s2
qii,
r1
所以
s1
pi
ir1
W1
W2.
从而有
s1
pi
ir1
r
ni
i1
r
ni
i1
s1
pi
r1
i0.
1,
2,
rr
1,
s1是W1的基
pi0,i
1,
s1.代入
（2）式,得
kii
i1
s2
qii0,
ir1
12
s2是W2的基,于是
ki0（i
1,2,
r）,qi0（i
1,
s2）,
12
r1s1r1
s2
线性无关，
dim（W1W2）r（s1r）（s2r）s1s2r,
定理得证.
从
（1）式知，若W1W20，则有dimCW^WzjvdimW^dimW?
这时WiW2,X1X2,XiWi,i1,2,其表达式中xi与X2
220]T
32
不是唯一的例如
1
2
0
3
3
W1Span0,
2
W2Span1,
2
，有2W1W2，
0
0
0
0
0
即W1W20。
这时0W1W2可有两种表达式000和
例4设R3中的两个子空间是
-11
-1-1
3,21
0-1
W1Span11,21,W2Span1
01
求W1W2及W1W2的基和维数。
解
W1W2=Span1,2,1,2
由于1122且1,2,2线性无关，故W1W2的一个基
为1,2,2，其维数dim（W1W2）=3。
由维数定理知
dim（W1W2）=dim（W1）dim（W2）-dim（W1W2）=2+2-3=1根据
2，
得到
1212（0,2,1）T0W1W2，
从而（0,2,1）t为W1W2的一个基，其维数dim（W,W2）=1。
三、直和子空间
子空间的和WiW2的定义仅表明，其中的任一向量可表示为12,1W1,2W2。
但这种表示法不一定唯一。
定义8设Wi,W2是线性空间V的两个子空间，如果WiW2中每个向量的分解式
i2、iWi,aW2
是唯一的，则WiW2称为Wi,W2的直和，记为WiW2。
定理5设Wi，W2是线性空间V的两个子空间，则下面几条
等价
⑴WiW2是直和；
⑵0向量表示法唯一，即由0i2（iWi,aW2）得
i20；
（3）WiW2=0；
（4）dim（Wi）dim（W2）dim（WiW2）
证明
采用轮转方式证明这些命题。
（i）
（2）
按定义，WiW2内任一向量表示法唯一，因而0的表示法
当然唯
（2）（3）
用反证法。
若WiW20，则有WiW2,0，于是
假设矛盾。
（3）（4）
利用维数定理即得。
（4）（i）
则有
2-2
于是
这说明
因而表示法唯一。
定理证毕。
22
定理6设Wi是V的一个子空间，则必存在Vn的子空间W2,
使WiW2Vn。
m是Wi的一个基，根据
证明：
设dim（Wi）=m,且i,2
W2Spanm1,,n，显然W2就满足要求。
子空间的交、和及直和的概念可以推广到多个子空间的情形。
四、内积空间
前文中，我们对线性空间的讨论主要是围绕着向量之间的加法和数量乘法进行的。
与几何空间相比，向量的度量性质如长度、夹角等在实际应用中更重要。
因此，我们在一般线性空间中定义内积，导出内积空间的概念。
定义9设V是实数域R上的实线性空间。
如果对于任意的
V，都有一个实数（,）与之对应，且满足
（1）（,）（,）;
（2）（,）（,）（,）;
（3）（k,）k（,）;
（4）
则称（
的内积。
定义了内积的实线性空间V称为内
（,）0,当且仅当0时（,）0.
积空间，又称欧几里得空间或Euclid空间（简称为欧氏空间）。
n
例如，在Rn中，定义内积（x,y）xTyxiyi。
这时Rn成
i1
为内积空间。
在内积空间Rn中，如果（x,y）0,则称x与y正交,
记为xy。
设欧氏空间Rn中的基为1,2,n，欧氏空间中有两个向
nn
量xii,yjj，下面我们来计算,的内积。
i1j1
（,）（Xi
i1
i,yjj1
j）
Xi（i,
i1j1
j）yj
记
（
1,1）
（1,
2）
（
1,n）
G（1,2,,n）（
2,1）
（2,
2）
（
2,n）
（
n,1）
（n,
2）
（
n,n）
X
y
yi
月2
X2
Xn
yn
则有
注:
阵，或度量矩阵
G（1,2,,n）00
（3）G（1,2,,n）对称正定。
因为方阵
X0,（1,2,,n）X0,XTG（1,2,,n）X（,）0
2
⑷若n1,则G
（1）||」表示长度的平方；n2时，则
2
G（1,2）||12I,表示面积的平方；n3,呢？
n）In，内
⑸若1,2,n是规范正交基，则G（1,2,
积（，）XTy0即向量内积等于坐标的内积，计算简单，所以内
积空间的基常采用规范正交基
另外，在规范正交基1,2,n下向量
需要解线性方程组就能得到Xi（,i）,i1,,n,即
设W是内积空间V的一个子空间。
显然
W也是一个内积空
（,i）i
i1
间。
如果V的一个向量与W的每一个向量正交，则称与W正交，记为W。
对于V中的两个子空间W「W2，如果任取
W1,W2，都有（，）0，即，则称W1与W2是互相
正交的。
记为W1W2。
定义10设S为V中的子空间，记
Sx|xS,xV
容易证明S也是线性空间，称为S的正交补空间。
定理7设A为nk矩阵。
记A为满足条件AA0且具有最大秩的矩阵，则
R（A）R（A）
证明
设X
R（A）
XAt,tAX
AAt0
zAx
0,z
（Az）X0XAz
XR（A）；
反之，
xR（A）xAz,z（Az）x0
zAx0,zAx0xAt,txR（A）.
推论：
R（A）R（A）N（At）;R（At）N（A）.
证明：
只证第一式，因为把第一式中的A看成A'即得第二式.
由xR（A）xR（A）xAt,t任意（At）'x0,t任意
t'A'x0,t任意A'x0xN（A'）.
和
xR（A）xAt,tA'xA'At0xN（A'）,证毕.
对于一个线性空间S，如果存在k个子空间Si,,Sk，使得对
任意S，可唯
地分解为
i
k,i
Si,i
i,2,
k,
则称S为Si,,Sk
的直和，
记为SSiS2
Sk，
若进
.rh一步
假设，对任意的
iSi,
jSj,i
j，有i
j，
则称
S为
Si,,Sk的正交直和，
记为SSiS2
Sk，
特别，
RnSS，对于Rn中子空间S都成立。
设A（amAk）,（A）（Aj）0,ij,则
（A）（Ai）（Ak）;若进一步假设AAj0,ij,则容易
证明（A）（Ai）（Ak）。
容易证明对于内积空间Rn的子空间S有下面的性质
（1）S（S）;
（2）
S1S2S2S1
⑷（S1S2）S1S2.
定理8对任意矩阵A，恒有R（A）R（AA）。
证明
显然R（AA）R（A）,故只需证R（A）R（AA）,事实上,对任给xR（AA）,有xAA0。
右乘x,得
2
xAAx（Ax）（Ax）Ax0,故Ax0,即xR（A）.证毕.
定理9设Anm,Hkm，则
（1）SAx:
Hx0是R（A）的子空间；
⑵dim（S）rankHArank（H）.
证明
第一结论的证明是简单的，现证
（2）0不妨设R（H）k,则存在
=rank（U2）=rank
U1
Ik
U2
0
rank（IQ
k阶可逆矩阵Q，使得HQ（Ik0）,于是
=rankHArank（H）.证毕.
推论设R（A）IR（B）0,则R（AB）R（A）.证明
因rank（AMB）dimR（AMB）dim（R（A）R（B））
dimR（A）dimR（B）dim（R（A）IR（B））dimR（A）dimR（B）=rank（A）rank（B）
又因为R（AB）Ax,xBt,t任意Ax,Bx0，依定理9
A
rank（B）rank（AMB）rank（B）
及假设条件，有
rank（AB）rank
（A））
Rank（A）dim（
但R（AB）R（A），于是R（AB）R（A）。
证毕
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