课时跟踪训练41.docx
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课时跟踪训练41
课时跟踪训练(四十一)
一、选择题
1.若平面α∥平面β,直线a∥平面α,点B∈β,则在平面β内且过B点的所有直线中( )
A.不一定存在与a平行的直线
B.只有两条与a平行的直线
C.存在无数条与a平行的直线
D.存在唯一与a平行的直线
[解析] 当直线a在平面β内且经过B点时,可使a∥平面α,但这时在平面β内过B点的所有直线中,不存在与a平行的直线,而在其他情况下,都可以存在与a平行的直线,故选A.
[答案] A
2.已知m,n为两条不同直线,α,β为两个不同平面,那么使m∥α成立的一个充分条件是( )
A.m∥β,α∥β
B.m⊥β,α⊥β
C.m⊥n,n⊥α,m⊄α
D.m上有不同的两个点到α的距离相等
[解析] 对于A,直线m可能位于平面α内.对于B,直线m可能位于平面α内.对于D,当直线m与平面α相交时,显然在该直线上也能找到两个不同的点到平面α的距离相等.故选C.
[答案] C
3.设l为直线,α,β是两个不同的平面,下列命题中正确的是( )
A.若l∥α,l∥β,则α∥βB.若l⊥α,l⊥β,则α∥β
C.若l⊥α,l∥β,则α∥βD.若α⊥β,l∥α,则l⊥β
[解析] l∥α,l∥β,则α与β可能平行,也可能相交,故A项错;由“垂直于同一条直线的两个平面平行”可知B项正确;由l⊥α,l∥β可知α⊥β,故C项错;由α⊥β,l∥α,可知l与β可能平行,也可能l⊂β,也可能相交,故D项错.故选B.
[答案] B
4.一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等,那么直线l与平面α的位置关系是( )
A.l∥αB.l⊥α
C.l与α相交但不垂直D.l∥α或l⊂α
[解析] l∥α时,直线l上任意点到α的距离都相等,l⊂α时,直线l上所有的点到α的距离都是0,l⊥α时,直线l上有两个点到α距离相等,l与α斜交时,也只能有两点到α距离相等.故选D.
[答案] D
5.若α、β是两个相交平面,点A不在α内,也不在β内,则过点A且与α和β都平行的直线( )
A.只有1条B.只有2条
C.只有4条D.有无数条
[解析] 据题意如图,要使过点A的直线m与平面α平行,则据线面平行的性质定理得经过直线m的平面与平面α的交线n与直线m平行,同理可得经过直线m的平面与平面β的交线k与直线m平行,则推出n∥k,由线面平行可进一步推出直线n与直线k与两平面α与β的交线平行,即要满足条件的直线m只需过点A且与两平面交线平行即可,显然这样的直线有且只有一条.故选A.
[答案] A
6.如图,若Ω是长方体ABCD-A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体,其中E为线段A1B1上异于B1的点,
F为线段BB1上异于B1的点,且EH∥A1D1,则下列结论中不正确的是( )
A.EH∥FG
B.四边形EFGH是矩形
C.Ω是棱柱
D.Ω是棱台
[解析] ∵EH∥A1D1,A1D1∥B1C1,
∴EH∥B1C1.∴EH∥平面BCGF.
∵FG⊂平面BCGF,∴EH∥FG,故A对.
∵B1C1⊥平面A1B1BA,EF⊂平面A1B1BA,∴B1C1⊥EF,
则EH⊥EF.由上面的分析知,四边形EFGH为平行四边形,故它也是矩形,故B对.
由EH∥B1C1∥FG,故Ω是棱柱,故C对,故选D.
[答案] D
7.(2015·吉林九校联考)已知m,n为两条不同的直线,α,β,γ为三个不同的平面,则下列命题中正确的是( )
A.若m∥α,n∥α,则m∥n
B.若m⊥α,n⊥α,则m∥n
C.若α∥β,m∥n,m∥α,则n∥β
D.若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β
[解析] 对于选项A,m∥α,n∥α,则m与n可以平行,可以相交,可以异面,故A错误;对于选项B,由线面垂直的性质定理知,m∥n,故B正确;对于选项C,n可以平行β,也可以在β内,故C错;对于选项D,α与β可以相交,因此D错.故选B.
[答案] B
8.(2016·云南检测)如图,在三棱锥S-ABC中,△ABC是边长为6的正三角形,SA=SB=SC=15,平面DEFH分别与AB,BC,SC,SA交于D,E,F,H,且D,E分别是AB,BC的中点,如果直线SB∥平面DEFH,那么四边形DEFH的面积为( )
A.
B.
C.44D.45
[解析] 取AC的中点G,连接SG,BG.易知SG⊥AC,BG⊥AC,故AC⊥平面SGB,所以AC⊥SB.因为SB∥平面DEFH,SB⊂平面SAB,平面SAB∩平面DEFH=HD,则SB∥HD.同理SB∥FE.又D,E分别为AB,BC的中点,则H,F也为AS,SC的中点,从而得HF綊
AC綊DE,所以四边形DEFH为平行四边形.因为AC⊥SB,SB∥HD,DE∥AC,所以DE⊥HD,所以四边形DEFH为矩形,其面积S=HF·HD=
·
=
.故选A.
[答案] A
9.(2015·广东七校联考)设a,b是两条直线,α,β是两个不同的平面,则α∥β的一个充分条件是( )
A.存在一条直线a,a∥α,a∥β
B.存在一条直线a,a⊂α,a∥β
C.存在两条平行直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α
D.存在两条异面直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α
[解析] 对于A,两个平面还可以相交,若α∥β,则存在一条直线a,a∥α,a∥β,所以A是α∥β的一个必要条件;同理,B也是α∥β的一个必要条件;易知C不是α∥β的一个充分条件,而是一个必要条件;对于D,可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中,成为相交直线,则有α∥β,所以D是α∥β的一个充分条件.故选D.
[答案] D
10.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E、F,且EF=
,则下列结论中错误的是( )
A.AC⊥BE
B.EF∥平面ABCD
C.三棱锥A-BEF的体积为定值
D.△AEF的面积与△BEF的面积相等
[解析] 由AC⊥平面DBB1D1可知AC⊥BE.故A正确.EF∥BD,EF⊄平面ABCD,BD⊂平面ABCD,知EF∥平面ABCD,故B正确.
A到平面BEF的距离即为A到平面DBB1D1的距离为
,且S△BEF=
BB1×EF=定值,
故VA-BEF为定值,即C正确.
△AEF的面积为
,△BEF的面积为
,两三角形面积不相等,故D错误.故选D.
[答案] D
二、填空题
11.棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是棱AA1的中点,过C,M,D1作正方体的截面,则截面的面积是________.
[解析] 由面面平行的性质知截面与面AB1的交线MN是△AA1B的中位线,所以截面是梯形CD1MN,易求其面积为
.
[答案]
12.已知m、n是不同的直线,α,β是不重合的平面,给出下列命题:
①若m∥α,则m平行于平面α内的任意一条直线;
②若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m∥n;
③若m⊥α,n⊥β,m∥n,则α∥β;
④若α∥β,m⊂α,则m∥β.
上面的命题中,真命题的序号是________(写出所有真命题的序号).
[解析] ①由m∥α,则m与α内的直线无公共点,
∴m与α内的直线平行或异面,故①不正确.
②α∥β,则α内的直线与β内的直线无公共点,
∴m与n平行或异面,故②不正确.
③④正确.
[答案] ③④
13.如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、DC的中点,N是BC的中点,点M在四边形EFGH及其内部运动,则当M满足条件________时,有MN∥平面B1BDD1.
[解析] 因为平面NHF∥平面B1BDD1,所以当M点满足在线段FH上,有MN∥平面B1BDD1.
[答案] M∈线段FH
三、解答题
14.如图,几何体E-ABCD是四棱锥,△ABD为正三角形,CB=CD,EC⊥BD,∠BCD=120°,M为线段AE的中点,求证:
DM∥平面BEC.
[证明] 证法一:
如图1,延长AD,BC交于点F,连接EF.
因为CB=CD,∠BCD=120°,
所以∠CBD=30°.
因为△ABD为正三角形,
所以∠BAD=60°,∠ABC=90°,
因此∠AFB=30°,
所以AB=
AF.
又AB=AD,所以D为线段AF的中点.连接DM,由点M是线段AE的中点,因此DM∥EF.
又DM⊄平面BEC,EF⊂平面BEC,
所以DM∥平面BEC.
证法二:
如图2,取AB的中点N,连接DM,DN,MN,
因为M是AE的中点,
所以MN∥BE.
又MN⊄平面BEC,BE⊂平面BEC,
∴MN∥平面BEC.
又因为△ABD为正三角形,
所以∠BDN=30°,
又CB=CD,∠BCD=120°,
因此∠CBD=30°,
所以DN∥BC.
又DN⊄平面BEC,BC⊂平面BEC,所以DN∥平面BEC.
又MN∩DN=N,故平面DMN∥平面BEC,
又DM⊂平面DMN,所以DM∥平面BEC.
15.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别为A1B1、A1D1的中点,E、F分别为B1C1、C1D1的中点.
(1)求证:
四边形BDFE是梯形;
(2)求证:
平面AMN∥平面EFDB.
[证明]
(1)连接B1D1.
在△B1D1C1中,E、F分别是B1C1、C1D1的中点,
∴EF綊
B1D1.
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
四边形BDD1B1是矩形,
∴BD綊B1D1,∴EF綊
BD.
∴四边形BDFE是梯形.
(2)在△A1B1D1中,M、N分别为A1B1、A1D1的中点,
∴MN∥B1D1,由
(1)知,EF∥B1D1,
∴MN∥EF.
在正方形A1B1C1D1中,F为C1D1的中点,M为A1B1的中点,
∴FM綊A1D1,
而正方体的侧面ADD1A1为正方形,
∴AD綊A1D1,∴FM綊AD,
∴四边形ADFM为平行四边形,
∴AM∥DF.
又∵AM∩MN=M,EF∩FE=F,
∴平面AMN∥平面EFDB.
16.一个多面体的直观图及三视图如图所示(其中M、N分别是AF、BC的中点).
(1)求证:
MN∥平面CDEF;
(2)求多面体ACDEF的体积.
[解]
(1)证明:
由已知得此多面体为直三棱柱.
取BF的中点G,连接MG、NG,
由M、N分别为AF、BC的中点可得NG∥CF,MG∥EF,
∴可得平面MNG∥平面CDEF,
又MN⊂平面MNG,
∴MN∥平面CDEF.
(2)由三视图可知AB=BC=BF=2,
DE=CF=2
,∠CBF=
.
取DE的中点H,连接AH.
∵AD=AE,∴AH⊥DE,
又∵在直三棱柱ADE-BCF中,
平面ADE⊥平面CDEF,
平面ADE∩平面CDEF=DE.
∴AH⊥平面CDEF.
∴多面体ACDEF是以AH为高,以矩形CDEF为底面的棱锥,
∵易得AH=
.S矩形CDEF=DE·EF=4
,
∴棱锥A-CDEF的体积为
V=
·S矩形CDEF·AH=
×4
×
=
.