尺规作图角平分线.docx

尺规作图角平分线.docx

《尺规作图角平分线.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《尺规作图角平分线.docx（13页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

尺规作图角平分线

、尺规作图

1.作一个角等于已知角的方法

B'

作法：

1.以点。

为圆心，任意长为半径画弧，分别交OAOBT点GD;

2.画一条射线OA,以点O'为圆心，OC£为半径画弧，交O'A于点C';

3.以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧交于点D';

4.过点D'画射线OB',则/AO'B'=ZAOB.

2.先任意画出一个^ABC.再画一个^AB'C',使

AB'=AB,B'C'=BC,C'A=CA.

作法：

画一个△AB'C'，使AB'=AB,A'C=AC,B'C=BC:

（1）画B'C'=BC;

（2）分别以点B',C'为圆心，线段AB,AC长为半径

画弧，两弧相交于点A';

（3）连接线段AB',A'C.

二、角的平分线导入:

小明家居住在通州区一栋居民楼的一楼，刚好位于一条暖气和天然气管道所成角的平分线上

的P点，要从P点建成两条管道，分别与暖气管道和天然气管道相连^

问题1:

怎样修建管道最短

问题2:

新修建的两条管道的长有什么关系，画来看一看^

图是一个平分角的仪器，其中AB=AD,BC=DC将点A放在角的顶点，AB和AD着角的两边

放下，沿AC画一条射线AE,AE就是这个角的平分线，你能说明它的道理吗

A

图12.37

作已知角的平分线的方法./

1

已知：

/AOB.2

求作：

/AOB的平分线.

作法：

（1）以点。

为圆心，适当长为半径画弧，交

OA于点M,交OB于点N.

（2）分别以点M,N为圆心，大于MN

的长为半径画弧，两弧在/AOB勺内部相

交于点C.

画射线OC射线OC即为所求（如图）.

理论根据：

作角平分线的理论根据是三角形全等的判定方法:

“SSS'.

拓展：

根据角平分线的作法还可以作已知角的四等分线.

注意：

“大于MN的长为半径画弧”是因为若以小或等于

出的两弧不能相交.

MN的长为半径画弧时，画

如图所示，已知/AOB求作：

/AO阵ZAOB.

角的平分线的性质

如图，任意作一个角/AOB作出/AOB的平分线OC.在OC上任取一点P,点P画出OA

OB的垂线，分别记垂足为D,E,测量PD,PE并作比较，你得到什么结论在OC上再取几

个点试一试.

通过以上测量，你发现了

角的平分线的什么性质

1.性质：

角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

要点精析：

（1）点一定要在角平分线上；

（2）点到角两边的距离是指点到角两边垂线段的长度;

（3）角平分线的性质可用来证明两条线段相等.

2.书写格式：

如图，:

OP平分/AOB

PD±OA于点D,P已OBT

点E,PD=PE.

例1、如图,/AOCWBOC点P在OC上，PDLOA,

PE!

QB垂足分另1J为D,E.求证PD=PE.

证明：

•••PDLOA,PEXOB,

•••/PDOhPEO=90.

在△PD丽△PEO43,

/PDO之PEO,/AOC之BOC,

OP=OP,

・•.△PDOPEO（AAS）.

•.PD=PE.

例1】如图，在^ABC中，/C=90°,AD平分/CABDELAB于E,F在AC上，BE=FC,

求证：

BD=DF.

导引：

要证BD=DF,可考虑证两线段所在的4BDE和△FDC全等，两个三角形中已有一角

和一边相等，只要再证DE=CD即可，这可由AD平分/CAB及垂直条件证得.

1、如图，在直线MNLh求作一点巳使点P到射线OA

和OB的距离相等

2、如图，在^ABC中，/0=90°,AC=BC,AD

平分/CAB交BC于D,D已AB于E,若AB=

6cm，则△DBE的周长是（）

A.6cmB.7cmC.8cm

3、如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线,

DE=14,则^BCE的面积等于

BE平分/ABC交CD于点E,BC=50,

总结：

角的平分线图形结构中的“两种数量关系”：

如图，OC平分/AOBPD±OA于D,PE

LOB于E,DE交OC于点F.

（1）角的相等关系：

①/AOC=/BOC=/PDF=/PEF

②/OD母/OE已/DFO=/EFO=/DFP=/EFP=90°;

③/DPO=/EPO=/ODF=/OEF.

（2）线段的相等关系：

OD=OEDP=EP,DF=EF.

三、角平分线的判定

角平分线的性质为：

角的平分线上的点到角的两边距离相等

交换上述已知和结论，你能得到什么结论，

这个新结论正确吗

判定方法：

角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.

书写格式：

如图，PD）±OAPHOBPAPE,

.・•点P在/AOB的平分线上（或/AOC=/BOC）

【例1】如图，BE=CF,DF±AC于点F,DEIAB于点E,BF和CE相交于点D.

求证：

AD平分/BAC.

导引：

要证AD平分/BAC已知条件中有两个垂直，即有点到角的两边的距离，再证这两个

BD讶口△CDF全等来完成.

距离相等即可证明结论，证这两条垂线段相等，可通过证明△

证明角平分线的“两种方法”

（1）定义法：

应用角平分线的定义.

（2）定理法：

应用“到角两边距离相等的点在角的平分线上”来判定.判定角平分线时，

需要满足两个条件：

“垂直”和“相等”.

1、在正方形网格中，/AOB的位置如图所示，到/AOB两边距离相等的点应是（）

A.点MB.点NC.点PD.点Q

2、如图，在四边形ABCD43,AB=CDBA和CD的延长线交于点E,若点P使得

S；APAB=SAPCtD则满足此条件的点P（）

A.有且只有1个

B.有且只有2个

C.组成/E的平分线

D.组成/E的平分线所在的直线（E点除外）

三角形的角平分线

如图，△ABC的角平分线BMCN相交于点P.求证：

点P到三边AB,BC,CA的距离相等

三角形得角平分线的交点到三边的距离相等，这个交点叫作三角形的内心

1到△ABC的三条边距离相等的点是^ABCW（）

A.三条中线的交点

B.三条角平分线的交点

C.三条高的交点

D.以上均不对

2如图，4ABC的三边AB,BC,CA的长分别为40,50,60,其三条角平分线交于点O,则S

△ABO：

SABCO：

SACAO=.

3如图，△ABC的/ABC的外角的平分线BD与/ACB的外角的平分线CE相交于点P.求

证：

点P到三边AB,BC,CA所在直线的距离相等.

角的平分线的性质与判定定理的关系：

（1）都与距离有关，即垂直的条件都应具备.

（2）点在角的平分线上点到这个角两边的距离相等.

（3）性质反映只要是角的平分线上的点，到角两边的距离就一定相等；判定定理反映只要是

到角两边距离相等的点，都应在角的平分线上.

判定定理