所以不等式组的整数解是：
-2,-1,0。
例3.已知方程（m-2）匸-I"''+（m+2）x+4=0是关于x的一元二次方程。
求m的值，并求
此方程的两根。
分析：
根据一元二次方程的定义，未知数x的最高次数是2，而且二次项的系数不能为0,
所以卅-2=2，且m-2工0。
于是可求m的值，进而求得方程的解。
解：
（1）依题意，得m-2=2,且m-2工0。
•••m=±2,且m^2。
二m=-2。
.,2
（2）把m=-2代入原方程，整理得（x-5）=1
•-x-5=士1,•Xi=4,x2=6。
例4.已知x是实数，且I-（x2+3x）=2，那么x2+3x的值为（）
A、1B、-3或1C、3D-1或3
误解：
设x2+3x=y,则原方程可变为-y=2,即y2+2y-3=0
yi=-3,y2=1
2
•••x+3x=-3或1。
故选B
剖析：
因为x为实数，所以要求x2+3x=-3和x2+3x=1有实数解。
当x2+3x=-3时，即是x2+3x+3=0，此时△=32-4X1X3<0，方程无实数解，即x不是实数，与题
222
设不符，应舍去；当x+3x=1时，即是x+3x-仁0,此时△=3-4X1X（-1）>0，方程有实数解，即x是实数，符合题设，故x2+3x=1。
正确答案：
选A
说明：
此题由解分式方程衍变而来，大大增加了错误机会，解题时，若忽视“实数”这个题设条件，将求得的值不加检验直接写出，则前功尽弃。
例5.解下列方程：
14x26
+~~2+~5
（1）、’「-■-■■=1，
（2）x2+x-叮：
；-+1=0。
S
分析
（1）宜用去分母法解；
（2）宜用换元法，可设x2+x=y，将原方程变为y-丁+1=0，先求岀y，再求岀x。
1転2
解
（1）原方程即为..-+■■■-"_=1
去分母，得x-2+4x-2（x+2）=（x+2）（x-2）。
整理，得x2-3x+2=0
•••x1=1,x2=2
经检验x=1是原方程的根，x=2是增根,
原方程的根是x=1
•y+y-6=0,•y1=-3,y2=2
22
当y=-3时，x+x=-3,x+x+3=0,此方程无实数根，
22
当y=2时，x+x=2,x+x-2=0,x1=-2,x2=1。
经检验,x1=-2,x2=1都是原方程的根。
•原方程的根是X1=-2,x2=1。
J4x+3y=1
例6.若方程组的解x与y相等，则a的值等于（）
A、4B、10C、11D、12
分析：
先解方程组
I
1
1代入ax+（a-1）y=3.
2
例7.已知关于x的方程（k-2）x-2（k-1）x+（k+1）=0，且k<3。
（1）求证：
此方程总有实数根;
（2）当方程有两实数根，且两实数根的平方和等于4时，k的值等于多少？
分析：
本题没有指明关于x的方程的类型，要分一元一次方程和一元二次方程两种情况讨论。
•/k<3,•••3-k>0o即△》0,此时一元二次方程有实数根。
综合①、②知，原方程总有实数根。
2（k~1）上+1
⑵设方程的两实根为xi,x2，贝0Xl+X2=:
-，XlX2=--
由题设，Xi2+X22=4,即（xi+X2）2-2x1X2=4
2
整理，得k-5k+4=0,•••k1=1,k2=4
■/k<3,•k=1
例8.商场岀售的A型冰箱每台售价2190元，每日耗电量为1度，而B型节能冰箱每台售价
虽比A型冰箱高岀10%,但每日耗电费却为0.55度。
现将A型冰箱打折岀售（打一折后的售价
丄
为原价的.11'），问商场至少打几折，消费者购买才合算（按使用期为10年，每年365天，每
度电0.40元计算）？
说明：
不等式应用题，是近年来应用题的发展新动向，去年有多处地区中考题目中有不等式
的应用题，它和方程应用题目一样，先认真审题，并能利用所设的未知数表示各种关系；不同的就是关系不是相等，而要根据题目表述为相应的不等关系。
本题的关键在于对“合算”一词的理解，以及如何将“合算”转化为数学“式子”。
实际上,
所谓合算是指两种冰箱十年后的总耗资小，对于本题目就是A型冰箱十年的总耗资小于B型冰箱。
得到不等关系。
解：
设商场将A型冰箱打x折岀售，则消费者购买A型冰箱需耗资
2190X
1一+365X10X1X0.4（元），
购买B型冰箱需耗资
2190（1+10%）+365X10X0.55X0.4（元）
依题意，得2190X］」+365X10X1X0.4<2190X（1+10%）+365X10X0.55X0.4。
解不等式，得x<&
因此，商场应将A型冰箱至少打八折出售，消费者购买才合算。
例9.某园林的门票每张10元，一次使用。
考虑到人们的不同需求，也为了吸引更多的游客，
该园林除保留原来的售票方法外，还推岀了一种“购买个人年票”的售票方法（个人年票从购买
日起，可供持票者使用一年）。
年票分A、BC、三类：
A类年票每张120元，持票者进入园林
时，无需再用门票；B类年票每张60元，持票者进入该园林时，需再购买门票，每次2元；C
类年票每张40元，持票者进入该园林时，需要购买门票，每次3元。
（1）如果你只选择一种购买门票的方式，并且你计划在一年中用80元花在该园林的门票上，
试通过计算，找岀可使进入该园林的次数最多的购票方式。
（2）求一年中进入该园林至少超过多少次时，购买A类年票比较合算。
析解：
本考题仍为“合算”问题，只是形式略有不同，涉及到列不等式组解实际应用问题。
（1）因为80<120,所以不可能选A类年票。
若选B类年票，则_=10（次）;
80-40]
3
若选C类年票，则
=133（次），取整数为13次
80
若不购买年票：
则二=8（次）
所以计划用80元花在该园林的门票上时，选择购买C类年票的方法进入园林的次数最多,
为13次
（2）设至少超过x次时，购买A类年票比较合算，则有不等式组
解得
26-,
3
甸+2x>120t
40+3x>120,
1Qt>120
其公共解集为x>30
例10.某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元；乙、丙两队合
2
作10天完成，厂家需付乙、丙两队共9500元；甲、丙两队合做5天完成全部工程的一，厂家需付甲、丙两队共5500元。
（1）求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？
（2）若工
期要求不超过15天完成全部工程，问可由哪队单独完成此项工程花钱最少？
请说明理由。
分析：
本例属工作量为1的工程问题，要注意下列三个关系式：
（1）工作效率X工作时间
1[
=1;
（2）工作效率="I；（3）工作时间=工作效率。
这类问题的等量关系是：
部分工作量之和=1
解：
（1）设甲队单独做x天完成，乙队单独做
y天完成，丙队单独做z天完成，则
66|
xy
10io,一十一-1
x-10,
解之，得
（2）设甲队做一天应付给
a元，乙队做一天应付b元，丙队做一天应付给c元,
6（ft+-8700.
^10（64-^=9500,则有ka+Qv叫
解方程组，得
10a=8000（元）,15b=9750（元）
由甲队单独完成此工程花钱最少。
（^=800,
c=300
答：
（1）甲队单独做10天完成，乙队单独做15天完成，丙队单独做30天完成；
（2）由甲队单独完成此项工程花钱最少。
测试
选择题
2
1.若一元二次方程x+4x+k=0有两个相等的实数根，则k的值为（）
A、4B、5C、8D、6
2•不解方程，判断方程
2
2x+3x-4=0的根的情况是（
A、有两个相等的实数根
C、只有一个实数根
B、有两个不相等的实数根
D、没有实数根
2
D、5x+4x=1
3．下列方程中有两个不相等的实数根的是（
222
A、2x+4x+35=0B、x2+1=2xC、（x-1）2=-1
4．一元二次方程x2-2x+m=0的两个实数根的条件是（）
A、m<1
C、m>1
D、me1
5•若关于x的方程2x（mx-4）=x2-6没有实数根，则m所取的最小整数是（）
A、2B、1C、-1D、不存在
6.已知方程x2+3x+m=0的两个根的差的平方是
8•以方程x2+2x-3=0的两个根的和与积为两个根的一元二次方程是（）
2
B、y2+5y+6=0
2
C、y2-5y+6=0
2
D、y2-5y-6=0
参考答案
5、A6、B7、A8、B
答案：
1、A2、B3、D4、D
解析：
1.分析：
已知方程有两个相等的实数根，
由一元二次方程根的判别式可得：
△=42-4X1xk=0,
二k=4
2.分析：
对于方程2x2+3x-4=0来说，△=32-4X2X（-4）=9+32>0
3.分析：
题目要求有两个不相等的实数根，•••△>0。
A.2x+4x+35=0,△=42-4X2X35<0。
B.X2+仁2x，注意：
利用根的判别式判断方程根的情况，应先将方程化为一元二次方程的一般形
式，再用判别式判断。
原方程可变形为：
x2-2x+1=0,△=（-2）2-4X1X仁0。
C.（x-1）2=-1，完全
平方式等于负数方程无解，也可以将方程化成一般形式再用判别式判断。
D.5x2+4x=1，原方程可
22
变形为：
5x+4x-1=0,△=4-4X5X（-1）>0。
4.分析：
根据题意，得△=（-2）2-4X1Xm>0,•me1。
n
5.分析：
原方程可变形为：
（2m-1）x2-8x+6=0根据题意，得厶=（-8）2-4（2m-1）X6<0,••m>r,
•m的最小整数为2。
6.分析：
本题的解题关键是利用根与系数关系建立关于m的方程，设方程的两根分别为xi,
X2,
根据题意，得Xi+X2=-3,xi•X2=m,
•（Xi-X2）2
22,
=xi+X2-2x1X2
8.
两根之积，从而
分析：
本题在解答时，应先根据根与系数关系计算出原方程的两根之和、
写出方程。
根据题意两根之和为-2，两根之积为-3，所以，以-2和-3为根的方程为：
y2+5y+6=0
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