如图所示,以v2矢量末端为圆心;以v1矢量的大小为半径画弧,从v2矢量的始端向圆弧作
切线,则
合速度沿此切线航程最短,
由图知:
sinθ=
v
1
v
2
dx2
θ
v1
v2
最短航程x2=
d
sin
=
v
d
2
v
1
第三四节平抛运动
抛体运动：
将物体以一定的初速度向空中抛出,仅在重力作用下物体做的运动
平抛运动：
平抛运动具有水平初速度且只受重力作用，是匀变速曲线运动。
研究平抛运动的方法是利用运动的合成与分解，将复杂运动分解成水平方向的匀速直线运动
和竖直方向的自由落体运动。
其运动规律为：
（1）水平方向：
ax=0，vx=v0，x=v0t。
（2）竖直方向：
ay=g，vy=gt，y=gt
2/2。
（3）合运动：
a=g，
2
vtvv
x
y
2
，
sx
2y2
。
vt与v0方向夹角为θ，tanθ=gt/v0，s与x方向夹角为α，tanα=gt/2v0。
平抛运动中飞行时间仅由抛出点与落地点的竖直高度来决定，
2h
t
即g
2h
，与v0无关。
水平射程s=v0g
。
9、斜抛运动：
将物体用一定的初速度沿斜上方抛出去，仅在重力作用下物体所做的运动
典型题目
1，关于平抛运动，下列说法正确的是（）
A、因为轨迹是曲线，所以平抛运动是变加速运动
B、运动时间由下落高度和初速度共同决定
C、水平位移仅由初速度决定
D、在相等的时间内速度的变化都相等
解析：
曲线运动中某一时刻质点的瞬时速度总是沿该时刻质点所在位置的切线方向。
故：
AD正确。
2，在“研究平抛物体的运动”实验中，某同学记录了A、B、C三点，取A点为坐标原点，
建立了右图６－６所示的坐标系。
平抛轨迹上的这三点坐标值图中已标出。
那么小球平抛的
初速度为，小球抛出点的坐标为
解析：
根据
2
sgT得：
s0.250.15
Ts0.1s
g10
所以
2
x1010
vm/s1m/
0
T0.1
s
由于s1:
s:
s1:
3:
5
23
所以：
抛出点的坐标应为（-10，-5）
3，如图6-10所示，摩托车做腾跃特级表演，以初速度v0冲上高为h、
顶部水平的高台，然后从高台水平飞出，若摩托车始终以额定功率P
行驶，经时间t从坡底到达坡顶，人和车的总质量为m，且各种阻力
的影响可忽略不计，求：
（1）人和车到达坡顶时的速度v
（2）人和车飞出的水平距离x
（3）当h为多少时，人和车飞出的水平距离最远？
解析：
根据动能定理得：
ptmgh
1
2
mv
2
1
2
2
0
mv
所以：
v
2
pt
m
2gh
2
0
v
2h
,
xvt,t
（2）由平抛运动规律得：
g
所以：
x
2pt2
2ghv
0
m
2h
g
（3）由
（2）的结果整理得：
x
4
pth
mg
22
2vh4pt2v
20）4
0
4h（hh
gmgg
2
2
ptv
0
h
当2g
mg4
时，x最大。
4，小球以初速度v0水平抛出，落地时速度为v1,阻力不计,以抛出点为坐标原点,以水平初
速度v0方向为x轴正向,以竖直向下方向为y轴正方向,建立坐标系
小球在空中飞行时间t
抛出点离地面高度h
水平射程x
小球的位移s
落地时速度v1的方向,反向延长线与x轴交点坐标x是多少?
解析：
（1）如图在着地点速度v1可分解为水平方向速度v0和竖直方向分速度vy,
而vy=gt则v12=v2+v2=v2+（gt）
2=v2+v2=v2+（gt）
0y0
2
2
v
1
可求t=g
2
0
v
O
s
x1
x
x
（2）平抛运动在竖直方向分运动为自由落体运动
hv0
h=gt
g
2/2=2
·
1
2
g
vv
22
22
10
v1v=g
02
y
vyv1
（3）平抛运动在水平方向分运动为匀速直线运动
v
0
v
2
1
v
2
0
x=v0t=g
22
2vv
01
4
3v
0
4
v
1
（4）位移大小s=
2h2
x=g
2
位移s与水平方向间的夹角的正切值
h
2
v
1
2
0
v
tanθ=x
2v
=0
2
1
v
2
0
v
（5）落地时速度v1方向的反方向延长线与x轴交点坐标x1=x/2=v02g
第五六七八节圆周运动
描述匀速圆周运动快慢的物理量
线速度v：
质点通过的弧长和通过该弧长所用时间的比值，即v＝△L/△t，单位m/s；属于
瞬时速度，既有大小，也有方向。
方向为在圆周各点的切线方向上
注：
匀速圆周运动是一种非匀速曲线运动，因线速度的方向在时刻改变。
角速度：
质点所在半径转过的角度φ与所用时间t的比值，即ω＝△φ/△t，单位rad/s；
对某一确定的匀速圆周运动而言，角速度是恒定的周期T，频率f＝1/T，转速n＝1/TT=2/ω
线速度、角速度及周期之间的关系：
vr
向心力：
圆周运动的物体受到一个指向圆心力的作用，只改变运动物体的速度方向，不改变
速度大小。
2
mv
向心力表达式：
2
Fmr，或者
F
r
向心加速度：
方向与向心力的方向相同，
2
ar，或
a
2
v
r
注意的结论：
（1）由于a方向时刻在变，所以匀速圆周运动是瞬时加速度的方向不断改变的变加速运动。
（2）做匀速圆周运动的物体，向心力是一个效果力，方向总指向圆心，是一个变力。
（3）做匀速圆周运动的物体受到的合外力就是向心力。
离心运动：
做匀速圆周运动的物体，在所受的合力突然消失或者不足以提供圆周运动所需的
向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动。
满足条件：
（1）当产生向心力的合外力突然消失，物体便沿所在位置的切线方向飞出。
（2）当产生向心力的合外力不完全消失，而只是小于所需要的向心力，物体将沿切线和圆
周之间的一条曲线运动，远离圆心而去。
现实中的实例：
雨伞旋转、链球投掷、洗衣机的脱水筒
防止离心运动的实例：
汽车拐弯时限速，高速旋转的飞轮、砂轮的限速
做圆周运动的物体供需关系
当F=mω
2r时，物体做匀速圆周运动
当F=0时，物体沿切线方向飞出
当F＜mω
2r时，物体逐渐远离圆心
当F＞mω
2r时，物体逐渐靠近圆心
典型题目
1，如图所示，汽车以速度v通过一圆弧式的拱桥顶端时，关于汽车受力的说法正确的是（）
A、汽车的向心力就是它所受的重力
B、汽车的向心力就是它所受的重力和支持力的合力，方向指
向圆心
C、汽车受重力、支持力、牵引力、摩擦力和向心力的作用
D、以上均不正确
解析：
汽车在拱桥顶端时，竖直方向的重力和支持力的合力提供向
心力，水平方向受牵引力和摩擦力的合力为零。
故：
B正确。
2，如图所示，用长为L的细绳拴着质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动，则下列说法
正确的是（）
A、小球在圆周最高点时所受向心力一定为重力
B、小球在圆周最高点时绳子的拉力不可能为零
C、若小球刚好能在竖直面内做圆周运动，则其在最高点速率
是gl
D、小球在圆周最低点时拉力一定大于重力
2
mv
解析：
（1）当球刚好通过最高点时，拉力为零，有vgj
mg,
l
（2）当球在最高点时的速度vgl时，绳的拉力为F，此时
2
mv
mgF
故D
l
选项正确。
2
v
（3）小球在最低点有：
Fmgm
所以拉力F必大于重力。
故：
CD正确。
l
3，如图所示的传动装置中，B,C两轮固定在一起绕同一轴转动，A,B两轮用皮带传动，三轮
的半径关系是rA=rC=2rB.若皮带不打滑,求A,B,C轮边缘的a,b,c三点的角速度之比和线速度
之比.
c
a·
b
·
·B
AC
解析：
A,B两轮通过皮带传动，皮带不打滑,则A,B两轮边缘的线速度大小相等.
即va=vb或va:
vb=1:
1①
由v=ωr得ωa:
ωb=rB:
rA=1:
2②
B,C两轮固定在一起绕同一轴转动,则B,C两轮的角速度相同，
即ωb=ωc或ωb:
ωc=1:
1③
由v=ωr得vb:
vc=rB:
rC=1:
2④
由②③得ωa:
ωb:
ωc=1:
2:
2
由①④得va:
vb:
vc=1:
1:
2
4，细杆的一端与小球相连，可绕O点的水平轴自由转动，不计摩擦，杆长为R。
（1）若小球在最高点速度为gR，杆对球作用力为多少？
当球运动到最低点时，杆对球
的作用力为多少？
（2）若球在最高点速度为gR/2时，杆对球作用力为多少？
当球运动到最低点时，杆对
球的作用力是多少？
（3）若球在最高点速度为2gR时，杆对球作用力为多少？
当球运动到最低点时，杆对球
的作用力是多少？
解析：
（1）球在最高点受力如图（设杆对球作用力T1向下）
则T1+mg=mv1
2/R，将v
1=gR代入得T1=0。
故当在最高点球速为gR时，杆对球无作用力。
当球运动到最低点时，由动能定理得：
T2
2mgR=m2v2/2-mv
2/2-mv
2/2，
1
2
解得：
v2=5gR，
球受力如图：
T2-mg=mv2
2/R，
解得：
T2=6mg
mg
同理可求：
（2）在最高点时：
T3=-3mg/4“-”号表示杆对球的作用力方向与假设方向相反，
即杆对球作用力方向应为向上，也就是杆对球为支持力，大小为3mg/4
当小球在最低点时：
T4=21mg/4
（3）在最高点时球受力：
T5=3mg；在最低点时小球受力：
T6=9mg
5，在高速公路的拐弯处，路面造的外高内低，即当车向右拐弯时，司机左侧的路面比右侧
的要高一些，路面与水平面间的夹角为，设拐弯路段是半径为R的圆弧，那么车速为多少
时车轮与路面之间的横向（即垂直与前进方向）摩擦力等于零？
解析：
此题为火车转弯模型。
汽车在倾斜路面转弯时要使车轮不受横向摩擦力。
则汽车所受
的重力和路面对汽车的支持力的合力提供向心力。
则有：
2
v
mgtanm
R
vgRtan
第六章万有引力定律及其应用
开普勒三大定律:
所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处于椭圆的一个焦点上
对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。
所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。
万有引力定律：
宇宙间任意两个有质量的物体都存在相互吸引力，其大小与两物体的质量乘
积成正比，跟它们间距离的平方成反比。
对万有引力定律的理解
万有引力定律：
自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体的质量的
乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比，两物体间引力的方向沿着二者的连线。
Gmm
12
2
r公式表示：
F=
。
引力常量G：
①适用于任何两物体。
②意义：
它在数值上等于两个质量都是1kg的物体（可看成质点）相距1m时的
相互作用力。
③G的通常取值为G=6。
67×10-11Nm2/kg2。
是英国物理学家卡文迪许用实验测得。
适用条件：
万有引力定律只适用于质点间引力大小的计算。
当两物体是质量均匀分布的球体
时，它们间的引力也可以直接用公式计算，但式中的r是指两球心间的距离。
万有引力具有以下三个特性：
①普遍性：
万有引力是普遍存在于宇宙中的任何有质量的物体（大到天体小到微观粒子）间
的相互吸引力，它是自然界的物体间的基本相互作用之一。
②相互性：
两个物体相互作用的引力是一对作用力和反作用力，符合牛顿第三定律。
③宏观性：
通常情况下，万有引力非常小，只在质量巨大的天体间或天体与物体间它的存在
才有宏观的物理意义，在微观世界中，粒子的质量都非常小，粒子间的万有引力可以忽略不
计。
万有引力定律的应用：
（中心天体质量M,天体半径R,天体表面重力加速度g）
万有引力=向心力：
（一个天体绕另一个天体作圆周运动时，下面式中r=R+h）
24
2
MmV
2
Gm
2mrmr
22
r
rT
重力=万有引力：
Mm
2
地面物体的重力加速度：
mg=G
R
M
g=G
2≈9.8m/s
R
2
Mm
高空物体的重力加速度：
mg=G
（Rh）
M
gG
=
22
Rh
<9.8m/s
2
三种宇宙速度：
在地球表面附近（轨道半径可视为地球半径）绕地球作圆周运动的卫星的线速度,在所有圆周
运动的卫星中线速度是最大的.
2
由mg=mv/R或由
G
2
MmVGM
2=gR=7.9km/s
mV
RRR
①第一宇宙速度:
v1=7.9km/s，它是卫星的最小发射速度，也是地球卫星的最大环绕速度.
②第二宇宙速度（脱离速度）:
v2=11.2km/s，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度.
③第三宇宙速度（逃逸速度）:
v3=16.7km/s，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度.
地球同步卫星：
所谓地球同步卫星，是相对于地面静止的，这种卫星位于赤道上方某一高度的稳定轨道上，
且绕地球运动的周期等于地球的自转周期，即T=24h=86400s，离地面高度同步卫星的
轨道一定在赤道平面内，并且只有一条.所有同步卫星都在这条轨道上，以大小相同的线速
度，角速度和周期运行着.
卫星的超重和失重：
“超重”是卫星进入轨道的加速上升过程和回收时的减速下降过程，此情景与“升降机”
中物体超重相同.“失重”是卫星进入轨道后正常运转时，卫星上的物体完全“失重”（因
为重力提供向心力），此时，在卫星上的仪器，凡是制造原理与重力有关的均不能正常使用.
1，利用下列数据和引力常量，可以计算出地球质量的是：
A、已知地球的半径R和地面的重力加速度
B、已知卫星绕地球作匀速圆周运动的轨道半径r和周期T
C、已知卫星绕地球作匀速圆周运动的轨道半径r线速度v
D、已知卫星绕地球作匀速圆周运动的线速度v和周期T
解析：
选项A设相对于地面静止的某一物体的质量是m，根据万有引力等于重力的关系得：
GMm/R
2=mg
2
得：
M=gR/G
选项B，设卫星的质量为m，根据万有引力等于向心力的关系
GMm/R
2=MR4π2/T
2
得：
M=4π
2R3/GT2
选项C，设卫星的质量为m，根据万有引力等于向心力的关系
GMm/R
2=mv2/R
得：
M=v
2R/G
选项D，设卫星的质量为m，根据万有引力等于向心力的关系
GMm/R
2=mv2π/T
GMm/R
2=mv2/R
3
得：
M=vT/2πG
综上所述，该题的四个选项都是正确的，如果已知地球的半径是R，且把地球看作球
体，则地球的体积为V=4πR3/3，根据ρ=M/V=3πr
3/3，根据ρ=M/V=3πr
3/GT2R
3
计算出地球的密度，此法也可以
计算其它天体的质量和密度。
当绕行天体在中心天体表面附近运行时，此式可简化为
2
ρ=M/V=3π/GT
2，宇航员站在某行星表面上的某高处，沿水平方向抛出一个小球，经过时间t，小球落到
行星表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L．若抛出时的初速度增大到2倍，则抛出点
与落地点之间的距离为3L．已知两落地点在同一水平面内，该行星的半径为，万有引
力常数为，求该行星的质量．
解析：
设抛出点距地面的高度为H,重力加速度为g,两次抛出的时间相同，都为t，则根据
1
平抛运动的公式可得：
H=gt
2
L2-H2=（Vt）
2-H2=（Vt）
2----
（1）
2----
（2）
3L2-H2=（2Vt）
2-H2=（2Vt）
2----（3）
由以上三式得：
g=2L/3t
2
2
根据：
g=GM/R
可得：
M=2LR2/3t
2/3t
2G
3，关于人造卫星，下列说法正确的是：
A、运行的轨道半径越大，线速度越大
B、运行的速率可以等于8km/s
C、运动的轨道半径越大，周期也越大
D、运行的周期可以等于80m
解析：
在中学物理中，一般认为人造卫星在圆轨道上绕地球作匀速圆周运动
设地球的质量为M，卫星的质量是m，卫星在半径为r的轨道上运行时的速率为v，根据
万有引力等于向心力的关系可得
v=GM/r------------
（1）
ω=（GM/r
3）1/2---------------
（2）
T=（4π
2r3/GM）1/2-------------（3）
据
（1）式选项A错误
1/2
因v=（gr）
=（6.4×10
6
×10）
1/2
=7.9km/s
故:
B错误
4，关于人造地球卫星，下列说法正确的是
A．第一宇宙速度是人造地球卫星绕地球运动所必须的最大地面发射速度
B第一宇宙速度是人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动的最大速度
C.卫星离地面越高，运行速率越大，周期越小
D.卫星的轨道半径越大，需要的发射速度越大，在轨道上运行的速度越小
解析：
第一宇宙速度是发射卫星的最小速度同时也是卫星绕地球运动的最大环绕速度。
根据
公式以及T=2πr/v可知：
卫星离地面越高，运行速率越小，周期越大。
根据
能量守恒，要把卫星发射的越高，需要的发射速度就越大，但在轨道上运行的速度就越小。
答案：
BD
5，俄罗斯“和平号”轨道空间站因超期服役和缺乏维持继续在轨道运行的资金，俄政府于
2000年底作出了将其坠毁的决定.坠毁过程分两个阶段，首先使空间站进入无动力自由运动
状态，因受高空稀薄空气阻力的影响，空间站在绕地球运动的同时缓慢向地球靠近，2001
年3月，当空间站下降到距离地球22km高度时，再由俄地面控制中心控制其坠毁.“和平号”
空间站已于2001年3月23日顺利坠入南太平洋预定海域.在空间站自由运动的过程中
Ａ.角速度逐渐减小Ｂ.线速度逐渐减小
Ｃ.加速度逐渐增大Ｄ.周期逐渐减小
解析：
根据
可得：
卫星绕地球的线速度：
；卫星绕地球的周期：
卫星绕地球的角速度：
卫星的加速度：
所以，当半径逐渐减小时，角速度增大，线速度增大，周期减小，加速度增大。
答案：
CD
第七章机械能守恒定律
第一二三节功功率
功的定义：
力和力的方向上的位移的乘积。
做功的两要素：
物体受力且在力的方向上的位移。
单位：
焦耳（J）。
计算功的方法种：
WFlcos其中为力F的方向同位移L方向所成的角功是标量，
只有大小，没有方向，但有正功和负功之分.
物体做正功负功问题（将α理解为F与V所成的角，更为简单）
（1）当α=90
0时，W=0.这表示力F的方向跟位移的方向垂直时，力F不做功，
如小球在水平桌面上滚动，桌面对球的支持力不做功。
0
（2）当α<90
时，cosα>0,W>0.这表示力F对物体做正功。
如人用力推车前进时，人的推力F对车做正功。
（3）当时，cosα<0,W<0.这表示力F对物体做负功。
如人用力阻碍车前进时，人的推力F对车做负功。
一个力对物体做负功，经常说成物体克服这个力做功（取绝对值）。
例如，竖直
向上抛出的球，在向上运动的过程中，重力对球做了-6J的功，可以说成球克服
重力做了6J的功。
说了“克服”，就不能再说做了负功。
功率：
功率的定义式：
P=W/t，所求出的功率是时间t内的平均功率。
不管是恒力做功，还是
变力做功，都适用
功率的计算式：
P=Fv。
（或=F
两者间的夹角.
单位：
瓦特（W）
Pv
平）P和v分别表示t时刻的功率和速度，α为
功率的物理意义：
描述力对物体做功快慢；是标量，有正负，求功率时一定要分清是求哪个
力的功率，还要分清是求平均功率还是瞬时功率.
额定功率指机器正常工作时的最大输出功率，也就是机器
升级会员 