华东理工大学本科生线性代数册.docx
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华东理工大学本科生线性代数册
华东理工大学
线性代数
作业簿（第一册）
学院专业班级
学号姓名课教师
1.1矩阵的概念
1.填空：
⑴矩阵A=_aj-9i-j23二.
⑵设
0]-3
0,D=
100010
B=0100,C=23
0010_.04
其中对角阵为三角阵有解：
对角阵为D;三角阵有A，C，D.
1.2矩阵的运算
1.已知两矩阵A=F2yI,b=|2UU"相等，求x,y,z,u的值.
]z-8一]12x」
解：
由矩阵相等即对应元素相等，可得
x=2u
2y=u
z=1
-8=2x
进而得x--4,y--1,z=1,u--2.
2.已知2：
012--_32111=。
，求矩阵%.
解：
依题意，由
■4
3
1
'_3
3.如果矩阵Amn与Bts满足AB二BA，则m,n,t,s应满足的条件为（）■
（A）n=t；（B）m=s；（C）m=n=t=s；（D）n=t=m=s.
解：
C.
4.填空：
4317
（1）1—23”=；
'57oh1」
（2）1,2,3】2=；
山
1
（3）21-1,2】=.
：
3j
解：
原式
222
=aiiXi822X2033X3（ai2a2i）X1X2（印3a3i）X1X3（823832）X2X3
一—
—一
—
解：
记A=
22
厂
，则A2=
2
2
<31
<3
1
-22一
1
一2
2一
-
-
2008
2007
一
——
一—
2
2
22
22
迈
1
亚1
-2
2一
1
-22一
i
一22一
-
1
翌
1\669
T）
2
2
1
=-A.
IL2
2
6.某公司为了技术革新，计划对职工实行分批脱产轮训，已知该公司现有2000人正在脱产轮训，而不脱产职工有8000人，若每年从不脱产职工中抽调30%的人脱产轮训，同时又有60%脱产轮训职工结业回到生产岗位，设职工总数不变，令
0.6
o.X「
试用A与X通过矩阵运算表示一年后和两年后的职工状况，并据
此计算届时不脱产职工与脱产职工各有多少人•
解：
一年后职工状况为：
AXJ680。
]
[3200一
不脱产职工6800人，轮训职工3200人.
两年后职工状况为:
aF800La2x=[66801
[3200一[3320一不脱产职工6680人，轮训职工3320人.
010
7.已知矩阵A=001，试求与A可交换的所有矩阵.
卫00一
解：
由可交换矩阵的定义，知道所求矩阵必为3阶方阵，不妨设
'a
其为B=d
于是有
AB二
■0
0
卫
01「a
1
0丄g
c]-df=jgi」P
fl
i
0
def
001
=
0de
.ghi一
•°00一
i
0gh一
b
1
c
a
BA=
d
由AB=BA，即得
由相应元素相等,
则得
fl
i
■0
0
卫
bl
=g=h=0,a=e=i,b=f,
ab
于是B=0a
00
cl
b（a,b,c均为任意常数）即为与A可交换的
a
所有矩阵.
8.设f（x）=x3-3x■3x■2，以f（A）表示矩阵多项式，即
32
f（A）二A-3A3A2I
0〕
-1，试求f（A）.
1
解：
"0-10T
f（A）=A3—3A2+3A+2I=（A—I）3+31=00-1+31=31
L000一
⑵A2-B2.
解:
（1）ATBT_BTAt=2_43
|（1-2-1
■0°LJ5—5〕=]-155|
b0J1-3010」〔30-10一
10.设A是对称矩阵，B是反对称矩阵，则（）是反对称矩阵.
（A）AB-BA;（B）ABBA;（C）（AB）2;（D）BAB.
解：
B.
12.设A是反对称矩阵，B是对称矩阵，试证：
AB是反对称矩
阵的充分必要条件为AB二BA.
证：
必要性由（AB）-=-AB及（AB）…=BA”〉B（-A）=-BA即得AB=BA.
充分性由（AB）-=BA-=B（-A）二-BA二-AB，知AB是反对称阵，最后一个等号是利用了条件AB=BA.
T
13.设矩阵A二I-2二一，其中I为n阶单位阵，〉为n维列向量,a匕
试证A为对称矩阵，且A2=1.
证：
TT
2
（、皿）=|_2A
axtaxt
taa1ttaa1t
a_=（i-2——y-2（——）=i
axtakx
（：
-：
）：
-
-442~=I.
:
二（?
■:
）
故A是对称矩阵，且
2
A乂-2二）（|-2二）"
1.3逆矩阵1.设n阶矩阵A、B、C满足ABC=1，贝U必有（）
（A）ACB=I；（B）CAB二I；
（C）BAC=I；（D）CBA=I.
解：
B
「nn
证：
由A?
=41，即可得An穴）2=（4乜2=21,n为偶数
iAn」A=（4l）2A=2n」A,n为奇数
及A（—A）=I，亦即A，=—A.
44
3.已知n阶矩阵A满足A2•2A-3I=O，求：
A~1,（A-2I）J,
（A4I）」.
解：
依题意，有A（A2I）3I，即A（A2I）I，故
3
11
A4（A2l）；（A21）'A，
33
再由已知凑出（A•4I）（A-21）=-51，即得
a1
（A4I）（A-21）.
5
4.设A、B、AB-I为同阶可逆阵，试证：
（1）A-B-可逆；
1--j-1
（2）A-B」-A1也可逆，且有A-B，-AJ二ABA-A.
证：
⑴A-B」二ABB」-B」=（AB-I）B」二A-B」可逆.
（2）解法一：
A®'—A」二A—B二'一A—B」JA—B」A」
1__1
=A-B」I-IBfABA-B」
=（ABA_A）」
1
二A_B」」_A」可逆，且A_B」二—A」：
=ABA_A.
解法二：
由
（1）得A-B」'二B（AB-I），，因此
〔（A—B」）」—A」“ABA—A）=「B（AB—I）」—A~〕（ABA—A）
11
二B（AB-I）（AB-I）A-AA（BA-I）=BA-BAI=1
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