同济大学高等数学第十章重积分.docx

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同济大学高等数学第十章重积分

第十章重积分

一元函数积分学中，我们曾经用和式的极限来泄义一元函数f（x）在区间［a•习上的左积分,并已经建立了左积分理论，本章将把这一方法推广到多元函数的情形，便得到重积分的槪念.本章主要讲述多重积分的概念、性质、计算方法以及应用.

第1节二重积分的概念与性质

二垂积分的概念

下而我们通过汁算曲顶柱体的体积和平而薄片的质量，引出二重积分的龙义.

1.1.1.曲顶柱体的体积

曲顶柱体是指这样的立体，它的底是xOy平而上的一个有界闭区域D,其侧而是以£＞的边界为准线的母线平行于z轴的柱而，其顶部是在区域D上的连续函数Z=/（■『），且/（A\y）＞0所表示的曲而（图10—1）・

现在讨论如何求曲顶柱体的体积.

分析这个问题，我们看到它与求曲边梯形的而积问题是类似的•可以用与左积分类似的方法（即分割、近似代替、求和、取极限的方法）来解决（图10—2）・

⑴分割闭区域D为〃个小闭区域

Acfx,Act,,-・・,Acrjr同时也用丿q表示第i个小闭区域的面积，用〃（」q）表示区域』q的直径（一个闭区域的直径是指闭区域上任意两点间距离的最大值），相应地此曲顶柱体被分为"个小曲顶柱体.

（2）在每个小闭区域上任取一点

（©,久），©"J，…，（©，〃“）

对第i个小曲顶柱体的体积，用高为/（《，弘）而底为」q的平顶柱体的体积来近似代替.

⑶这"个平顶柱体的体积之和

£./■（§，",址0

f-1

就是曲顶柱体体积的近似值.

⑷用久表示“个小闭区域』q的直径的最大值，即=当/ITO（可理解为』q

收缩为一点）时，上述和式的极限，就是曲顶柱体的体积：

J

°r-l

1.1.2平面薄片的质量

设薄片在xOy平而占有平而闭区域D,它在点（贮刃处的而密度是p=p（x,y）.设p（x9y）＞0且在D上连续，求薄片的质量（见图10-3）.

先分割闭区域D为〃个小闭区域

Acrx,△q,・・・,Aan

在每个小闭区域上任取一点'

近似地，以点（《,％）处的面密度代替小闭区域日巧上各点处的面密度，则得到第/•块小薄片的质量的近似值为P（S5,于是整个薄片质量的近似值是

r-I

用2二圜〃（」q）表示“个小闭区域」q的直径的最大值，当D无限细分，即当人T0时，上述和式的极限就是薄片的质量M,即

M=吧乞*弋5・

以上两个具体问题的实际意义虽然不同:

但所求量都归结为同一形式的和的极限.抽象出来就得到下述二重积分的左义.

定义1设£＞是xOy平而上的有界闭区域，二元函数z=f（x,y）在D上有界.将£＞分为"个小区域

△q,Act,,-・・,

同时用"•表示该小区域的而积，记“的直径为〃（"），并令A=m^/（Ja）.

在Sq上任取一点（£,%.）,（：

=1,2,•••』），作乘积

于G，"Jg

并作和式

若2T0时，S”的极限存在（它不依赖缶£）的分法及点（詁）的取法），则称这个极限值为函数z=f（x,y）在£＞上的二重积分，记作,即

D

JJ/（x,y）d＜7=lim2L/（^.,^）A（TJ,（10-1-1）

D1

其中Q叫做积分区域，f（x9y）叫做被积函数，力叫做面积元素，f（xfy）da叫做被积表达式，X与.、，叫做积分变量，乞叫做积分和.

J-1

在直角坐标系中，我们常用平行于x轴和y轴的直线（y二常数和兀二常数）把区域D分割成小矩形，它的边长是△丫和△$,从而Aa=Av-Ay,因此在直角坐标系中的而积元素可写成do=tlx-dy＞二重积分也可记作

j]7（x,_y）d.vdy=lim£f（&,"Jg.

DI

有了二重积分的泄义，前面的体积和质量都可以用二重积分来表示•曲顶柱体的体积"是函数Z=f（x9y）在区域D上的二重积分

V=jj/（A.V）dcr:

D

加片的质量M是而密度p=p（X,y）在区域D上的二重积分

M=^p（x9y）da・

D

因为总可以把被积函数z=/（小y）看作空间的一曲而，所以当f（x9y）为正时，二重积分的几何意义就是曲顶柱体的体积；当f（x,y）为负时，柱体就^xOy平而下方，二重积分就是曲顶柱体体积的负值.如果/（A-.y）在某部分区域上是正的，而在北余的部分区域上是负的，那么f（x,y）在£＞上的二重积分就等于这些部分区域上柱体体积的代数和.

如果f（x,y）/t区域D上的二重积分存在（即和式的极限（10-1-1）存在），则称/（A-,y）在D上可积•什么样的函数是可积的呢与一元函数左积分的情形一样，我们只叙述有关结论，而不作证明.

如果f（x9y）是闭区域D上连续，或分块连续的函数，则f（xty）在D上可积.

我们总假）iLz=f（x,y）在闭区域£＞上连续，所以f（x,y）^D上的二重积分都是存在的，以后就不再一一加以说明.

1.1.3二重积分的性质

设二元函数/（x,y）^（x,y）在闭区域D上连续，于是这些函数的二重积分存在•利用二重积分的左义，可以证明它的若干基本性质•下而列举这些性质.

性质1常数因子可提到积分号外而•设k是常数，则

（Jkf（x.y）da=£口f（x.y）da.

*DD

性质2函数的代数和的积分等于各函数的积分的代数和，即

\\[f（^刃士£（俎y）]d（T=JJ/（.V,y）da±JJg（x,刃de

DD1；

性质3设闭区域D被有限条曲线分为有限个部分闭区域，则D上的二重积分等于各部分闭区域上的二重积分的和.

例如D分为区域2和2（见图10-4）,则

[J/（如y）dcr=Jj/（A\y）dcr+JJ/Uy）dcr・（10-1-2）

性质3表示二重积分对积分区域具有可加性.

性质4设在闭区域D上/（x,y）=l><7为£>的而积，则

ffld（7=f[da=a.

DD

从几何意义上来看这是很明显的•因为髙为1的平顶柱体的体积在数值上就等于柱体的底而积.

性质5设在闭区域D上有/（.y）Sg（.y）,则

fff（^y）da

DD

由于一|/（儿旳卜/（.刃勻/（.刃|

又有

J“（x,y）dcr

D

这就是说，函数二重积分的绝对值必小于或等于该函数绝对值的二重积分.性质6设M.m分别为f（x9y）在闭区域D上的最大值和最小值，"为D的而积，则有

（

ma<[[f（x,y）d（J

上述不等式是二重积分估值的不等式•因为加Sf（x9y）

[[/ndcr<[jf（x.y）d（J<[[^Vfder,

DDD

ma=11wder

<[[A/dcr=jVfcr.

DDD

性质7设函数f（x9y）在闭区域£>上连续，<7是D的而积，则在D上至少存在一点G"）

使得

（“（儿刃=〃）P・

这一性质称为二重积分的中值定理.

证显然cthO.

因f（xfy）在有界闭区域D上连续，根据有界闭区域上连续函数取到最大值、最小值龙理,在D上必存在一点（召,儿）使/（x,.yJ等于最大值M,又存在一点（兀,比）使f（x2,y2）等于最小值加，则对于D上所有点（x,y）,有

皿=/（£，儿）S/（禺y）

由性质2和性质5,可得

〃训dcrS[[f（x9y）da

D°D*D

再由性质4得

ma

D

m<^；jj/（x9y）dcr

根据闭区域上连续函数的介值立理知，D上必存在一点使得

*”/（x,y）d（7=/（§,77）‘

Jf/（A\y）da=/（^,“）cr,DwD.D

证毕.

二重积分中值定理的几何意义可叙述如下：

当S:

z=/（x,y）为空间一连续曲而时，对以S为顶的曲顶柱体，必左存在一个以D为底，以D内某点©/?

）的函数值./■©“）为高的平顶柱体，它的体积"）9就等于这个曲顶柱体的体积.

习题10-1

1.根据二重积分性质，比较nin（x+y）d（J与JJ[ln（x+y）]~d<7的大小，其中

D。

⑴D表示以（0,D、（1,0）、（1,D为顶点的三角形：

（2）D表示矩形区域{（x,y）131<5,0

2.根据二重积分的几何意义，确左下列积分的值：

⑴”（a-jF+y^dtr,D={（x,y）\x2+y2

D、

⑵-x2-y2dcr,D={（x>y）lx24-y2

D

3.设/（x,y）为连续函数，求咽JJ.f（X,y）dcr,fnrD

D={（x,y）\（x-x0）2+（y-y0）2

4•根据二重积分性质，估计下列积分的值：

=D={（x,y）IO

D

（2）1=jjsin2xsin2yda,D={（x,y）\O

D

（3）/=H（宀4尸+9）da,D={（x,y）lx2+y2<4}.

D

5•设D=[0,l]x[0,1],证明函数

ft（x,y）为D内有理点（即均为有理数）,

—jo,（兀刃为£）内非有理点

第2节二重积分的计算

只有少数二重积分（被积函数和积分区域特别简单）可用左义计算外，一般情况下要用立义讣算二重积分相当困难.下面我们从二重积分的几何意义出发，来介绍计算二重积分的方法，该方法将二重积分的计算问题化为两次左积分的计算问题.

直角坐标系下的计算

在几何上，当被积函数.f（x,y）>0时，二重积分［J/（x,y）dcr的值等于以D为底，以曲面D

z=/（x,y）为顶的曲顶柱体的体积•下面我们用“切片法〃来求曲顶柱体的体积V・

设积分区域£>由两条平行直线x=a,x=b及两条连续曲线y=®（x）,y=5（x）（见图10—5）所围成，其中a

D={（X,y）I"SxSb,（x）

用平行于yOz坐标面的平而x=x.（a

［0（兀）,0（兀）］为底，以z=f（x0,y）为曲边的曲边梯形（见图10-6）,所以这截而的而积为

a（x°）=广'％o』）dy•

丿炉1（*0）

图10—6

由此，我们可以看到这个截而而积是心的函数•一般地，过区间［“刃上任一点且平行于yOz坐标而的平面，与曲顶柱体相交所得截而的面积为

■

其中y是积分变量，x在积分时保持不变•因此在区间［“』］上，A（x）是x的函数，应用计

算平行截而面积为已知的立体体积的方法，得曲顶柱体的体枳为

=J：

A（x止訂『：

：

；“,y）dy严

[&（■；：

%•,y）dy.

D

上式右端是一个先对y,后对x积分的二次积分或累次积分•这里应当注意的是：

做第一次积分时，因为是在求x处的截面积A（x）,所以x是"』之间任何一个固左的值，y是积分变量：

做第二次积分时，是沿着夫轴累加这些薄片的体积A（x）^x,所以x是积分变量.

在上而的讨论中，开始假泄了f（x,y）nO,而事实上，没有这个条件，上而的公式仍然正确.这里把此结论叙述如下：

若z=f（x,y）在闭区域£）上连续，D\a

（10-2-1）

ff/Uy）dxdy=[：

呵：

：

f（x,y）dy.

类似地，若z=/（x,y）在闭区域D上连续，积分区域D由两条平行直线y=a9y=b及两条连续曲线x=

则有

图10-7

以后我们称图10・5所示的积分区域为X型区域，X型区域D的特点是：

穿过D内部且平行于y轴的直线与D的边界的交点不多于两个.称图10-7所示的积分区域为丫型区域，丫型区域D的特点是：

穿过D内部且平行于x轴的直线与D的边界的交点不多于两个.

从上述计算公式可以看出将二重积分化为两次泄积分，关键是确左积分限，而确泄积分限又依赖于区域D的几何形状.因此，首先必须正确地画出D的图形，将D表示为X型区域或丫型区域•如果D不能直接表示成X型区域或丫型区域，则应将D划分成若干个无公共内点的小区域，并使每个小区域能表示成X型区域或丫型区域，再利用二重积分对区域具有可加性相加，区域D上的二重积分就是这些小区域上的二重积分之和（图10-8）・

例1计算二重积分ffxvdcr，其中D为直线y=x与抛物线y=x2所包帀的闭区域.

D

解画岀区域£>的图形，求出y=a与y=F两条曲线的交点，它们是（0.0）及（1,1）.区域£）（图10-9）可表示为：

因此由公式（1021）得

本题也可以化为先对X,（10-2-2）得

后对y的积分，这时区域D可表为：

0

JjA3do-=Jc*ydyJ

积分后与上面结果相同.

例2计算二重积分『讪+疋―bdb，其中£>是由直线y=x,x=-l和所围成的闭

区域.

解画出积分区域D,易知£>：

-l

八皿）dy,

若利用公式（1022）,就有

jJyJi+F-bd

D也可得同样的结果.

例3计算二重积分“刍仏,其中D是直线y=2,y=x和双曲线厂，=1所用之闭区域.dy

解求得三线的三个交点分别是住2）（1,1）及⑵2）.如果先对y积分，那么当时,y的下限是双曲线），=丄，而当1

域D分为®和D2两部分（图10-11）.

D,:

丄Sx<1,丄

12x-

D2：

1

于是

如果先对X积分，那么D:

l

”令Sf叫$dx叮#idy

由此可见，对于这种区域Q,如果先对y积分，就需要把区域£>分成几个区域来计算•这比先对x积分繁琐多了•所以，把重积分化为累次积分时，需要根据区域D和被积函数的特点，选择适当的次序进行积分.

例4设/（x,y）连续，求证

证上式左端可表为

其中D\a

于是改变积分次序，可得

由此可得所要证明的等式.

例5计算二重积分其中D是直线y=x与抛物线y=x2所用成的区域.

解把区域D表示为x型区域，即D={（x,y）IOH,x乜yg}.于是

d.v

$竽说仙[:

竽⑪叮（竽

=[（1-x）siiud.¥

=（-cosx+xcosx-sin兀）|：

=1-sin1^0.1585

注：

如果化为y型区域即先对x积分，则有

由于沁的原函数不能由初等函数表示，往下计算就困难了，这也说明计算二重积分时，除了要注意积分区域Q的特点（区分是x型区域，还是y型区域）夕卜，还应注意被积函数的特点，并适当选择积分次序.

Y二重积分的换元法

与左积分一样，二重枳分也可用换元法求英值，但比左积分复杂得多•我们知道，对泄积分£/（x）dx-作变量替换X=0⑴时，要把/（X）变成/（0（f）），dr变成冰/）山,积分限"上也要变成对应/的值.同样，对二重积分[[/（x,y）dcr作变量替换

X=X（H「），

y=y（w,v）,

时，既要把j（X，>，）变成/（x（“*），）'（"*））,还要把xOy而上的积分区域Q变成"6,而上的区

域％.,并把D中的面积元素d<7变成2,.中的而积元素d

2.2.1极坐标系的情形

下而我们讨论利用极坐标变换，得出在极坐标系下二重积分的计算方法•把极点放在直角坐标系的原点，极轴与x轴重合，那么点P的极坐标p（几°）与该点的直角坐标有如下互换公式：

x=/・cos&,y=rsinft0

r=Jr2+v\0=arctan:

-x

x

我们知道，有些曲线方程在极坐标系下比较简单，因此，有些二重积分

JJ/（.r,y）d（7

D

用极坐标代换后，计算起来比较方便，这里假设Z=/（■〉，）在区域£>上连续.

在直角坐标系中，我们是以平行于x轴和y轴的两族直线分割区域D为一系列小矩形，从而得到而积元素da=

在极坐标系中，与此类似，我们用常数"的一族同心圆，以及"0=常数”的一族过极点的射线，将区域£>分成"个小区域=如图10-13所示.

图10-13

小区域面积

呵弓也+乞J的-说0

=2帆+£乂込&厂

记岡）'+（△?

）〔（门=1，2,…，町，

则有

阿=「34®+。

（慟），

故有

da=/・drd&.

则

JJ/（x,y）d（7=JJf（rcos6.rsin&”d/d0・

这就是直角坐标二重诂和变换到极坐梢二重积分的公式•在作极坐标变换时，只要将被积函数中的■〉，分别换成rcosftrsin^,并把直角坐标的而积元素da=drdy换成极坐标的面积元素/•drd&即可•但必须指出的是：

区域D必须用极坐标系表示.

在极坐标系下的二重积分，同样也可以化为二次积分计算•下而分三种情况讨论：

（1）极点O在区域£>外部，如图10-14所示.

设区域Q在两条射线=B之间，两射线和区域边界的交点分别为将区域D的边界分为两部分，其方程分别为r=八但）』=/但）且均为［口冏上的连续函数•此时

D={（几0）Irx（&）

于是

nf（rcos^rsin&”cbd&=（rcos^rsin3）rdr

D

⑵极点O在区域D内部，如图10-15所示若区域Z）的边界曲线方程为<•=”&），这时积分区域D为

且"0）在［0,2町上连续.

D={（r.^）IO

图10-15

于是

［（/（rcos^rsin&）灿d&=''/（rcos^rsin0）rdr.

D

⑶极点O在区域D的边界上，此时，积分区域D如图10-16所示.

图10-16D={（r^）la<^<^0

jj/（rcos&rsin^Jrdrd^=J；［f（rcos0.rsin0）r（\r・

在讣算二重积和时，是否采用极坐标变换，应根据积分区域D与被积函数的形式来决定.

）或/（三）等形式时'

其中D={（x,y）\x2+y2

D={（r^）l0

则有

arcsincC+J1-/—1j

例7计算二重积分［「巧衍<7,英中£>是单位圆在第I象限的部分.

D

解釆用极坐标系.

于是有

Jjxy2dcT=[2d^jrcos^r2sin20/-d/-

D

fcosOsin浊城:

Ab耳

例8计算二重积分JjTdg其中D是二圆x2+r=1和x：

+）F=4之间的环形闭区域.

D

解区域D：

0<^<2^,l

2.2.2.直角坐标系的情形

我们先来考虑而积元素的变化情况.

设函数组x=x（u9v）,y=y（^v）为单值函数，在几.上具有一阶连续偏导数，且其雅可比行列式

厶辿2",

d（UAf）

则由反函数存在左理，一定存在着D上的单值连续反函数

u=u（x,y）9v=v（x,y）.

这时2“•与D之间建立了一一对应关系，“Oi，而上平行于坐标轴的直线在映射之下成为xOy而上的曲线”（.），）=心，v（x,y）=%.我们用“Ou而上平行于坐标轴的直线

"=冷，v=v.（/=1,2,=1,2,---,m）

将区域0“.分割成若干个小矩形，则映射将“Ov而上的直线网变成xOy而上的曲线网（图

10-19）・

（a）（h）

图10-19

在S•中任取一个典型的小区域ADin.（而积记为丿/）及英在D中对应的小区域AD（面积记为如图10-20所示.

图10-20

设△£>的四条边界线的交点为代（心,儿），R（x0+Ax-py0+A>\）,P3（a0+Ar2,y0+Av2）和P,（x0+Ar3,y0+4v3）.当Aw,Av很小时，Ax（i=1,2,3）也很小,AD的面积可用RP；与片町构成的平行四边形而积近似•即

）

片号X片引・

P£=（“ji+（3jj

=[x（“o+4f,%）_x（S%）]i+[yj彩[x；（g%）M〕i+[代（心川』△“]j.

同理

片马$[x；（“o，"o）3]i+b；.（“o，Vo）3]j•

从而得

•|JwJv|=

因此二重积分作变量替换x=x（u9v）9y=y（ufv）后，而积元素&7与d

由此得如下结论：

定理1若/（x,y）在xOy平而上的闭区域D上连续，变换八x=x{uyv）>y=y（//,v）,将uOv平而上的闭区域D“”变成兀Oy平而上的Q,且满足：

（1）x（//,i，）,y（“,巧在几上具有一阶连续偏导数，

（2）

在几上雅可比式

（3）变换T：

%TD是一对一的，则有

[J/Uy）d.«iy=jj/[班心，）」仏训丿gd讥

D%

v-x

例9计算二重积分f[e—dAdv,中D是由x轴，y轴和直线x+y=2所围成的闭区域.解^u=y-x9v=y+x,贝ij

在此变换下，xOy而上闭区域D变为“6,而上的对应区域"（图10-21）.

雅可比式为

则得

’U.

『c丙dAdy=”应-1dz/dv

D"

=e-e-1.

例10设£>为xOy平面内由以下四条抛物线所围成的区域：

x2=ay,x2=by,y2=px,y'=gx,其中0

解由£>的构造特点，引入两族抛物线>'==ux,x2=vy,则由"从〃变到q,v从a变到Z?

时，这两族抛物线交织成区域D9（图20—22）・

图10-22

雅可比行列式为

V2

2v

Jr

_~2

X

—F

T

2x_

牙.

y

y2

—二1d（u,v）5（w,v）

1

3

则所求而积

S=JJdvd\'=jj|d//dv=|（/?

一“）（g—0）・

习题10-2

1•画岀积分区域，把化为二次积分：

D

⑴D=｛（.y）lx0｝；

（2）D