2
1恰能通过最高点时：
mg=mv临，临界速度V临=gR；R
可认为距此点hR（或距圆的最低点）h5R处落下的物体
22
☆此时最低点需要的速度为V低临=5gR☆最低点拉力大于最高点拉力ΔF=6mg
2最高点状态:
mg+T1=m高L（临界条件T1=0,临界速度V临=gR,V≥V临才能通过）
最低点状态:
T2-mg=mL低高到低过程机械能守恒:
12mv低221mv高2mg2L
T2-T1=6mg（g可看为等效加速度）
②半圆：
过程mgR=12mv2最低点T-mg=mvR绳上拉力T=3mg；过低点的速度为V低
=2gR
小球在与悬点等高处静止释放运动到最低点，最低点时的向心加速度a=2g③与竖直方向成角下摆时,过低点的速度为V低=2gR（1cos）,此时绳子拉力
T=mg（3-2cos）
（3）有支承的小球：
在竖直平面作圆周运动过最高点情况：
1
mgN0
临界条件：
杆和环对小球有支持力的作用U2
由mgNmU知）
当V=0时，N=m（g可理解为小球恰好转过或恰好转不过最高点）
②当0vgR时，支持力N向上且随v增大而减小，且
3当vgR时，N0
4当vgR时，N向下（即拉力）随v增大而增大，方向指向圆心。
当小球运动到最高点时，速度vgR时，受到杆的作用力N（支持）
但Nmg，（力的大小用有向线段长短表示）
当小球运动到最高点时，速度vgR时，杆对小球无作用力N0
当小球运动到最高点时，速度v>gR时，小球受到杆的拉力N作用
恰好过最高点时，此时从高到低过程mg2R=12mv2低点：
T-mg=mv2/RT=5mg；恰好过最高点时，此时最低点速
度：
V低=2gR
注意：
物理圆与几何圆的最高点、最低点的区别
（以上规律适用于物理圆,但最高点,最低点,g都应看成等效的情况）
在向心力公式Fn=mv2/R中，Fn是物体所受合外力所能提供的向心力，mv/R是物体作圆周运动所需要的向心力。
当提供的向心力等于所需要的向心力时，物体将作圆周运动；若提供的向心力消失或小于所需要的向心力时，物体将做逐渐远离圆心的运动，即离心运动。
其中提供的向心力消失时，物体将沿切线飞去，离圆心越来越远；提供的向心力小于所需要的向心力时，物体不会沿切线飞去，但沿切线和圆周之间的某条曲线运动，逐渐远离圆心。
模型七：
万有引力
1思路和方法：
①卫星或天体的运动看成匀速圆周运动
②F心=F万（类似原子模型）
2
v
2理解近地卫星：
来历、意义万有引力≈重力=向心力、r最小时为地球半径、最大的运行速度=v第一宇宙=7.9km/s（最小的发射速度）；T最小=84.8min=1.4h
3
同步卫星几个一定：
三颗可实现全球通讯（南北极仍有盲区）轨道为赤道平面T=24h=86400s离地高h=3.56ｘ104km（为地球半径的
5.6倍）
V同步=3.08km/s﹤V第一宇宙=7.9km/s=15o/h（地理上时区）
a=0.23m/s2
4运行速度与发射速度、变轨速度的区别
5卫星的能量:
r增v减小（EK减小＜Ep增加）,所以E总增加;需克服引力做功越多,地面上需要的发射速度越大⑦卫星在轨道上正常运行时处于完全失重状态,与重力有关的实验不能进行
6应该熟记常识：
地球公转周期1年,自转周期1天=24小时=86400s,地球表面半径6.4ｘ103km表面重力加速度g=9.8m/s2月球公转周期30天
模型八：
汽车启动
具体变化过程可用如下示意图表示．关键是发动机的功率是否达到额定功率，
恒定功率启动
速度V↑F=P定v
a=Ffa=
m
当a=0即F=f时，v达到最大vm
保持vm匀速
↓
→→→变加速直线运动→→→→→→→∣→→→→匀速直线运动→→⋯⋯
当a=0时，v达到最大vm，此后匀速
∣→→匀加速直线运动→→→→∣→→→变加速（a↓）运动→→→→→∣→
（1）若额定功率下起动→,则一定是变加速运动,因为牵引力随速度的增大而减小．求解时不能用匀变速运动的规律来解。
（2）特别注意匀加速起动时,牵引力恒定．当功率随速度增至预定功率时的速度（匀加速结束时的速度），并不是车行的最大速度．此后，车仍要在额定功率下做加速度减小的加速运动（这阶段类同于额定功率起动）直至a=0时速度达到最大。
模型九：
碰撞
碰撞特点①动量守恒②碰后的动能不可能比碰前大③对追及碰撞,碰后后面物体的速度不可能大于前面物体的速度。
◆弹性碰撞：
弹性碰撞应同时满足：
①一动一静且二球质量相等时的弹性正碰：
速度交换
②大碰小一起向前；质量相等，速度交换；小碰大，向后返。
3原来以动量（P）运动的物体，若其获得等大反向的动量时，是导致物体静止或反向运动的临界条件。
◆“一动一静”弹性碰撞规律：
即m2v2=0
解得：
v1'=m1m2v1（主动球速度下限）m1m2
12
2m2v22=0代入
（1）、
（2）式
v2'=2m1v1（被碰球速度上m1m2
限）
◆完全非弹性碰撞应满足：
'2
◆一动一静的完全非弹性碰撞
特点：
碰后有共同速度，或两者的距离最大
m1v1m2v2（m1m2）v
111
E损2m1v12m2v22（m1m2）v
m1v1m2v2
v
m1m2
1m1m2（v1v2）
m1v10（m1m2）vvm1v1
m1m2
12
1
'2
m1v1
0
（m1m2）v
E损
2
2
1
2
1
2
'2m1m2v1
m2
12
m2
E损
m1v1
（m1m2）v
m1v1
2E
损2
212
2（m1m2）
（m1m2）
211
m1m2
讨论：
①E损可用于克服相对运动时的摩擦力做功转化为内能
2（mM）f2g（mM）
②也可转化为弹性势能；③转化为电势能、电能发热等等；（通过电场力或安培力做功）
由上可讨论主动球、被碰球的速度取值范围
m1v02m1v1
v被
m1m2m1m2
“碰撞过程”中四个有用推论
推论一：
弹性碰撞前、后，双方的相对速度大小相等，即：
u2－u1=υ1－υ2
推论二：
当质量相等的两物体发生弹性正碰时，速度互换。
推论三：
完全非弹性碰撞碰后的速度相等
推论四：
碰撞过程受（动量守恒）（能量不会增加）和（运动的合理性）三个条件的制约。
其它的碰撞模型：
模型十：
子弹打木块：
子弹击穿木块时，两者速度不相等；子弹未击穿木块时，两者速度相等。
临界情况是：
当子弹从木块一端到达另一端，相对木块运动的位移等于木块长度时，两者速度相等。
实际上子弹打木块就是一动一静的完全非弹性碰撞
设质量为m的子弹以初速度v0射向静止在光滑水平面上的质量为M的木块，子弹钻入木块深度为d。
mv0Mmv从能量的角度看，该过程系统损失的动能全部转化为系统的内能。
设平均阻力大小为f，设子弹、木块的位移大小分别为s1、s2，如图所示，显然有s1-s2=d
对子弹用动能定理：
1212⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯s1mv0mv⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
22
对木块用动能定理：
fs21Mv2
2
①、②相减得：
fd12mv0212Mmv22MMmmv02
③式意义：
fd恰好等于系统动能的损失，可见fdQ
模型十一：
滑块
在动量问题中我们常常遇到这样一类问题，如滑块与滑块相互作用，滑块与长木板相互作用，滑块与挡板相互作用，子弹射入滑块等，或在此基础上加上弹簧或斜面等，这些问题中都涉及到滑块，故称之为“滑块模型”，此模型和子弹打木块基本相似。
1、运动情景
1对m：
匀减速直线运动
2对M：
匀加速直线运动
3
Sm
对整体：
m相对M运动，
最终相对静止
2、动量关系
①对m：
mgtmvmv0
②对M：
mgtMv
③对整体：
mv0（Mm）v
SM
3、能量关系
①对m：
动能减小
1212
-mgsmmvmv0
22
②对M：
动能增大
12
mgsMMv
M2
③对整体：
动能减小
4、临界条件
1212
QEKmv0（Mm）vmgl
速度相等（l最大，L最小，m恰好不滑下）
模型十二：
人船模型
一个原来处于静止状态的系统，在系统内发生相对运动的过程中，设人的质量m、速度v、位移s，船的质量M、速度V、位移S，在此方向遵从①动量守恒方程：
mv=MV；ms=MS；
②位移关系方程：
人船相对位移d=s+Ss=MdM/m=Lm/LM
mM
模型十三：
传送带
传送带以v顺时针匀速运动，物块从传送带左端无初速释放。
从两个视角剖析：
力与运动情况的分析、能量转化情况的分析．
◆水平传送带：
v
v
2gL
2
v
vL2ggv
v或2L或2Lg或g或v
2Lg
22
vvv
vg2g2g
vtL
vtL不超过（2L2R）
mgl1mv2
mgvtL
mgvtL
v2gL
v2gL
v2gL
◆功能关系：
WF=△EK+△EP+Q。
a）传送带做的功：
WF=F·S带功率P=F×v带
b）产生的内能：
Q=f·S相对
F由传送带受力平衡求得）
EK，摩擦生热Q有如下关系：
c）如物体无初速放在水平传送带上，则物体获得的动能
◆传送带形式：
1.水平、倾斜和组合三种：
倾斜传送带模型要分析mgsinθ与f的大小与方向
2.按转向分顺时针、逆时针转两种；
3.
按运动状态分匀速、变速两种。
模型十四：
弹簧振子和单摆
◆弹簧振子和简谐运动
1弹簧振子做简谐运动时，回复力F=-kx，“回复力”为振子运动方向上的合力。
加速度为akx
m
2简谐运动具有对称性，即以平衡位置（a=0）为圆心，两侧对称点回复力、加速度、位移都是对称的。
3弹簧可以贮存能量，弹力做功和弹性势能的关系为：
W=－△EP其中W为弹簧弹力做功。
4在平衡位置速度、动量、动能最大；在最大位移处回复力、加速度、势能最大。
5振动周期T=2m（T与振子质量有关、与振幅无关）
K
通过同一点有相同的位移、速率、回复力、加速度、动能、势能；
半个周期，对称点速度大小相等、方向相反。
半个周期内回复力的总功为零，总冲量为2mvt
一个周期，物体运动到原来位置，一切参量恢复。
一个周期内回复力的总功为零，总冲量为零。
◆单摆
T2l（5）（T与振子质量、振幅无关）
g
影响重力加速度有：
①纬度，离地面高度；②在不同星球上不同，与万有引力圆周运动规律；③系统的状态（超、失重情况）；④所处的物理环境有关，有电磁场时的情况；⑤静止于平衡位置时等于摆线张力与球质量的比值。
模型十五：
振动和波
传播的是振动形式和能量,介质中各质点只在平衡位置附近振动并不随波迁移。
①各质点都作受迫振动，
2起振方向与振源的起振方向相同，
3离源近的点先振动，
4没波传播方向上两点的起振时间差=波在这段距离内传播的时间
5波源振几个周期波就向外传几个波长。
6波从一种介质传播到另一种介质，频率不改变,波速v=s/t=/T=f
振动图象
波动图象
②横轴表示的物理量不同。
②直接读的物理量不同。
O
x
T
t
O
y
λ
x
研究对象
一个质点
介质上的各个质点
研究内容
位移随时间的变化
某一时刻各个质点的空间分布
物理意义
一个质点某时偏离平衡位置情况。
各质点某时偏离平衡位置情况。
图象变化
图线延长
图线平移
完整曲线
一个周期
一个波长
波的传播方向质点的振动方向（同侧法）
知波速和波形画经过Δt后的波形（特殊点画法和去整留零法）
（1）波长、波速、频率的关系：
vfT=VTx=vt（适用于一切波）
（2）I如果S1,S2同相
①若满足：
L2L1n（n0，1，2，⋯），则P点的振动加强。
②若满足：
L2L1（2n1）（n0，1，2，⋯），则P点的振动减弱
2
II如果S1,S2反相，P点振动的加强与减弱情况与I所述正好相反。
（3）一个周期质点走的路程为4A半个周期质点走的路程为2A一个周期波传播的距离为半个周期波传播的距离为/2
波的几种特有现象：
叠加、干涉、衍射、多普勒效应，知现象及产生条件
模型十六：
带电粒子在复合场中的运动
1、电场中的类平抛运动
⑵偏转（类平抛）平行E方向：
U偏
qBv0qEq
0d
结论：
①不论粒子m、q如何，在同一电场中由静止加速后进入，飞出时侧移和偏转角相同。
②出场速度的反向延长线跟入射速度相交于O点，粒子好象从中心点射出一样。
tgtgtg2tg（分别为出场速度和水平面的vovovot2vo
夹角、进场到出场的偏转角）
几何关系：
速度的偏向角=偏转圆弧所对应的圆心角（回旋角）=2倍的弦切角
相对的弦切角相等，相邻弦切角互补由轨迹画及几何关系式列出：
关于半径的几何关系式去求。
3、求粒子的运动时间：
偏向角（圆心角、回旋角）=2倍的弦切角，即=2
圆心角（回旋角）
t0×T
2（或360）
4、圆周运动有关的对称规律：
特别注意在文字中隐含着的临界条件a、从同一边界射入的粒子，又从同一边界射出时，速度与边界的夹角相等。
b、在圆形磁场区域内，沿径向射入的粒子，一定沿径向射出。
3、复合场中的特殊物理模型
1．粒子速度选择器如图所示，粒子经加速电场后得到一定的速度v0，进入正交的电场和磁场，受到的
电场力与洛伦兹力方向相反，若使粒子沿直线从右边孔中出去，则有qv0B＝qE,v0=E/B，
若v=v0=E/B，粒子做直线运动，与粒子电量、电性、质量无关
若v若v>E/B，洛伦兹力大，粒子向磁场力方向偏，电场力做负功，动能减少．
2.磁流体发电机
如图所示，由燃烧室O燃烧电离成的正、负离子以高速。
喷入偏转磁场B中．在洛伦兹力作用下，正、负离子分别向上、下极板偏转、积累，从而在板间形成一个向下的电场．两板间形成一定的电势差．当qvB=qU/d时电势差稳定U＝dvB，这就相当于一个可以对外供电的电源．
3.电磁流量计．电磁流量计原理可解释为：
如图所示，一圆形导管直径为d，用非磁性材料制成，其中有可以导电的液体向左流动．导电液体中的自由电荷（正负离子）在洛伦兹力作用下纵向偏转，a,b间出现电势差．当自由电荷所受电场力和洛伦兹力平衡时，a、b间的电势差就保持稳定．
由Bqv=Eq=Uq/d，可得v=U/Bd.流量Q=Sv=πUd/4B
4.质谱仪：
如图所示：
组成：
离子源O，加速场U，速度选择器（E,B），偏转场B2，胶片．
原理：
加速场中qU=?
mv2选择器中:
Bqv=EqvE
B1
2偏转场中:
d＝2r，qvB2＝mv2/r比荷:
q2E
mB1B2d
质量mB1B2dq2E作用：
主要用于测量粒子的质量、比荷、研究同位素．
5.回旋加速器如图所示：
组成：
两个D形盒，大型电磁铁，高频振荡交变电压，两缝间可形成电压U作用：
电场用来对粒子（质子、氛核,a粒子等）加速，磁场用来使粒子回旋从而能反复加速．高能粒子是研究微观物理的重要手段．
要求：
粒子在磁场中做圆周运动的周期等于交变电源的变化周期．关于回旋加速器的几个问题：
（1）回旋加速器中的D形盒，它的作用是静电屏蔽，使带电粒子在圆周运动过程中只处在磁场中而不受电场的干扰，以保证粒子做匀速圆周运动‘
（2）回旋加速器中所加交变电压的频率f,与带电粒子做匀速圆周运动的频率
相等:
f1qB
222
12q2B2R2
EKmv
2m
K2
来计算，
在粒子电量，、质量m和磁感应强度B一定的情况下，回旋加速器的半径R越大，粒子的能量就越大．
模型十七：
电磁场中的单杠运动
在电磁场中，“导体棒”主要是以“棒生电”或“电动棒”的内容出现，从组合情况看有棒与电阻、棒与电容、棒与电感、棒与弹簧等；从导体棒所在的导轨有“平面导轨”、“斜
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