二、填空题：
本题共4小题，每小题5分，共20分。
2a:
+/-2≤0,
13.若X,y满足约束条件^-y-l>O,则Z=^y的最大值为
j+1>
14.设α0为单位向量.且1«+⅛I≡L则
X2V2
15.己知F为双曲线C:
--⅛=l（α>O,⅛>O）的右焦点「4为C的右顶点，B为C上的点•且BF垂直于丈
a0
轴•若的斜率为3.则C的离心率为.
16.如图.在三棱锥PYBC的平面展开图中.AC=↑.AB=AD=E朋丄AC.AB丄月DZCJE=30%
则COSZFCB=
3.解答题：
共70分。
解答应写岀文字说明、证明过程或演算步IlL第17〜21超为必杏題.毋T1Λ題否生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（-）必考题：
共60分。
17.（12分〉
设｛/｝是公比不为1的等比数列.4为a-勺的等差中项・
（I）求陆｝的公比;
（2）若λ1=I.求数列卩气｝的前"项和・
18.
（12分）
如图.D为圆推的顶点，o是圆锥底面的匮心，Jr为底面直径.A£=AD.ZxMC是底面的内接正三角形.P为DO上一点，Po巫DO.
6
（1）证明：
M丄平面円C;
〈2）求二面角B-PC-E的余弦值.
19.（12分）
甲.乙、丙三位同学进行羽毛球比赛•约定赛制如下：
每场比赛的胜者与轮空者进行
累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空,
下一场比赛.负者下一场轮空.胃至有一人被淘汰'当一人被淘汰后，剰余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜.比赛结束.
经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空•设每场比赛双方获胜的概率都为
（1）求甲连胜四场的槪率；
（2）求需要进行第五场比赛的紙率;
（3）求丙最终获胜的概率.
20.（12分）
已知乩B分别为椭圆E：
4+/=1（Ql）的左、右顶点，G为E的上顶点.AGGB=S^P为直
线r=6上的动点•刊与E的另一交点为C・PB与E的另一交点为D∙
（1）求E的方程；
（2）证明：
直线CD过定点.
21・（12分）
已知函数/（x）=et+αr2-X・
（1）当"1时，讨论/（.V）的单调性；
（2）当20时，/（x）>∣x3+l,求d的取值范围
2
（二）选考题；共IO分・谓考生在第22、23題中任选一题作笞.如果多做，则按所做的第一题计分。
22.［选修4—4：
坐标系与参数方程］（10分）
Ar=CoSI
在直角坐标系XOF中∙曲线G的参数方程为"A为参数）•以坐标原点为极点∙X轴正半轴为
y=Sint
极轴建立极坐标系.曲线Q的极坐标方程为COS^-16pSin^+3=0.
（1）当人T时，G是什么曲线？
<2）当A=4时，求G与G的公共点的直角坐标.
23.［选修4—5：
不等式选讲］（10分）
己知函数/（x）=∣3x+l∣-2∣x-l∣.
（1）画岀y=∕（χ）的图像；
<2）求不等式/（χ）>∕（x÷D的解集•
绝密★启用前
2020年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试题参考答案
1.D
2.B
3・C
4.C
5.D
6.B
7.C
8.C
9.A
10.A
ILD
12∙B
二、填空题
13.1
14.√3
15.2
16.-丄
4
一、选拦題
三、解答题
17•解：
（1）设阿｝的公比为9,由题设得2a1=Cr2+σp即2ax=axq^aλq2
所以g'+g-2=0,解得g=l（舍去），q=-2
故U,｝的公比为一2・
（2）设&I为初碍｝的前n项和•由
（1）及题设可得，α,=（-2Γ1所以
Sn=l+2χ（-2）+∙∙∙+"χ（-2）~1•
-28*=-2+2X（-2）2+…+（〃一I）X（-2）n^1+刃×（-2）∖
可得35；=1+（-2）+（-2）'+…+（-2）（-2）”
-n×（-2）∖
（3卄1）（-2）"
9
PA=PB=PC=
又PA^PCZ=Ae^故刃丄Pe
所以Fd丄平面PBC
（2）以。
为坐标原点•西的方向为丁轴正方向∙I旋I为
单位长，建立如图所示的空间亘角坐标系O-RW・
所以乔（¥，斗0）,a瘵
OJJ
所以二面角B-PC-E的余弦值为出
5
19.解：
＜1）中连胜四场的概率心•
16
（2）根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛.
比赛四场结束，共有三种情况：
甲连胜四场的概率为丄：
16
乙连胜四场的概率为2;
Io
丙上场后连胜三场的概率为
O
所以需要进行第五场比赛的概率为1-丄-丄W・
161684
（3）丙最终获胜•有两神情况：
比赛四场结束且丙最终获胜的概率为?
.
O
比赛五场结束且丙最终我胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况：
胜胜
负胜•胜负空胜.负空胜胜，概率分别为丄，1.
16OO
因此丙杲终获胜的概率为7+77+7+7=TT•
o16Ko10
20.解：
（1）由题设得/（y∙O）.B〈G0）,G（0,1）.
则JG=（^l）∙GB=（a.一1）•由走•面=8得λ2-1=8,即α=3.
2
所以E的方程为令十宀.
（2）设C（助・yi）,D3・旳），P（6・/）.
若£工0,设直线CD的方程为x=”E・由题意可知-35<3.
由于直线刊的方程为尸彳3∙3>,所以yl=*3+3）.
直线PB的方程为.v=f（x-3）,所以s=t（x2-3）
可得3χ（λ⅛-3）=y23+3）.
由于手+衣=1,故#=_g+3「_3）,可得27y1y2=-（x1+3）（x2+3）,
即（27+m2）yxy2+m（n+3Xvl÷y2）+（∕ι+3）=0.®
代入①式得（27+加2χ√-9）-2w∕（π+3）wπ÷（w+3）2（w3+9）二0・
■.3
解得zr=-3（含去），∏=~
若件0,则直线CD的方程为尸0,过点（£・0）.
3
综上，直线CD过定点（亍0）・
21.解：
（1）当α=104,∕Cv）=eκ÷√-x,则f9（x）=ey+2x-l.
0）单调递减.在
故当Xe（Y）,0）时，Γ（x）<0;⅛x∈（0.+00）时,Γ（x）X）∙所IV（X）在（
（0,+oo）单调递増•
（2）fix）≥→3+l等价于（→3-αv2+x+l）e^x≤1.乙厶
设函数=（**-卅+.v+l）e^x（x≥O）・贝IJ
gr（.r）=-（-X5-OV$+X+I--X2+IaX-l）e^x
22
=-—.v（x2一（2α+3）x+4λ+2]er
2
（i）若如1勺，即则当皿（0,2）时，g,（x）>O.所以g（x〉在（0,2）单调递增，而g（0）=1,故当XE（0,2）时，g<.v）>1»不合题意.
（ii）若0<2α÷-l<2,即一丄VOV丄，则当χG（0,2λ÷1）U（2,+oo）H寸,g,（x）<0i当*（2M1,2）时■g↑x）>0.
2—
所以玖“）在（0,2M1）,（2,+8）单调递减，在（2α÷l,2）单调递增•由于g（0）=l,所以g（x）≤l当且仅当
7-e2
g
（2）=（7-^-2<∖•即必——・
4
7-e21
所以当时.^42
（i】i）若2λ÷1≥2,即α≥∣,则5（x）≤（→3+Λ+l）e-∖
由于0W匸学丄）•故由（Ii）可得（钗+x+l）e1<1.
422
故当W时，^X）≤1.
7_@2
综上∙d的取值范围是［―^-.÷∞）・
4
X=COMA
22・解：
（1）当RI时.GH•'消去参数f得√+∕=1.故曲线G是圆心为坐标原点.半径为1的J=Slnty
圆.
t
cos*^t
■4'消去参数f得G的直角坐标方程为√^÷√^=1.
SIn人
G的直角坐标方程为4x-16y+3=0.
Tx+5∕7=h
4x-16v+3=0
-x-3,x≤-j,
23.解:
（I）由题设知/Xx）=<5λ:
-l,-gx÷3.x>1.
，-/（0的图像如图所示.
（2）函数V=f（χ）的图像向左平移1个单位长度后得到函^y=/（χ+D的图像.
∕1
I
VK
IL
/
\
/
\
7
V=/⑴的图像与J=f（xJ1）的图像的交点坐标为・
66
由图像可知当且仅当χ<-7时，=的图像在y=∕（χ+i）的图像上方,
6
7
故不等式j∖x）>jχx+l）的解集为（-叫-勺・
6
全国I淮理科数学试题寥考答案第5页（共5页）
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