完整版图形变换知识点练习题汇总.docx

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完整版图形变换知识点练习题汇总

图形的平移旋转与对称变换

一、知识点总结

（一）平移

关键：

平移不改变图形的形状和大小，也不会改变图形的方向.

1、平移的规律：

经过平移，对应线段、对应角分别相等，？

对应点所连的线段平行且相等（或共线且相等）.

2、简单作图

平移的作图主要关注要点：

1•方向2•距离•整个平移的作图，就象把整个图案的每个特征点放在一套平

行的轨道上滑动一样，每个特征点滑过的距离是一样的.

（二八旋转

1、定义：

在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，？

这样的图形运动称为旋转.

关键：

旋转不改变图形的大小和形状，但改变图形的方向.

2、旋转的规律

经过旋转，图形上的每一点，都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连

线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等.

3、简单的旋转作图：

旋转作图关键有两点：

①旋转方向，②旋转角度.主要分四步：

边、转、截、连.旋

转就象把每个特征点与旋转中心用线连住的风筝，每个点转的角度是相同的，每个点与旋转中心的距离是不会改变的，即对应点与旋转中心距离相等.

（三）、轴对称

1、定义

把一个图形沿着某条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，该直线叫做对称轴。

2、性质

（1）关于某条直线对称的两个图形是全等形。

（2）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。

（3）两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上。

3、判定

如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。

4、轴对称图形

把一个图形沿着某条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形,

这条直线就是它的对称轴。

（四）、中心对称

1定义

把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中

心对称图形，这个点就是它的对称中心。

2、性质

（1）关于中心对称的两个图形是全等形。

（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。

（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。

3、判定

如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。

4、中心对称图形

把一个图形绕某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心

对称图形，这个店就是它的对称中心。

（五）、坐标系中对称点的特征

1、关于原点对称的点的特征

两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P'（-x，-y）

2、关于x轴对称的点的特征

两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x相等，y的符号相反，即点P（x，y）关于x轴的对称点为P'（x，

-y）

3、关于y轴对称的点的特征

两个点关于y轴对称时，它们的坐标中，y相等，x的符号相反，即点P（x，y）关于y轴的对称点为P'（-x，

y）

（六）、视图与投影

1、试图

①主视图

从正面看到的图

②左视图

从左面看到的图

③俯视图

从上面看到的图

注：

长对正

高平齐，宽相等•

2、虚实

在画图时，看的见部分的轮廓通常画成实线，看不见部分的轮廓线通常画成虚线

3、①物体在光线的照射下，会在地面或墙壁上留下它的影子，这就是投影现象•

2太阳光线可以看成平行光线，像这样的光线所形成的投影称为平行投影•

3在同一时刻，物体高度与影子长度成比例

4物体的三视图实际上就是该物体在某一平行光线（垂直于投影面的平行光线）下的平行投影•

5探照灯，手电筒，路灯，和台灯的光线可以看成是从一点出发的光线，像这样的光线所形成的投影称为中

心投影•

6皮影和手影都是在灯光照射下形成的影子•

7像眼睛的位置称为视点•

8由视点出发的线称为视线•

9两条视线的夹角称为视角

10看不到的地方称为盲区•

二、相关题型

例1、如下图所示，△ABE沿射线XY的方向平移一定距离后成为△CDF找出图中存在的平行且相等的三条线段和一组全等三角形•

F面我们来看一例题以熟悉掌握平移的基本性质

分析：

因为△CDF是由厶ABE平移得到的，所以要找图中平行且相等的线段，根据平移的基本性质，需找出平移前

后图形的对应点；要找出一组全等三角形，可根据平移的特征：

“平移不改变图形的形状和大小”得到

解：

如图，点AB、E的对应点分别为点CDF,因为经过平移，对应点所连的线段平行且相等，所以：

AC//

BD//EF,AC=BD=EF

平移不改变图表的形状和大小，所以：

△ABE^ACDF.

⑴指出它的旋转中心;

（2）经过20分，分针旋转了多少度？

分析：

经演示（钟表实物或教具）可以知道，分针是绕着表面盘的中心位置，即钟表的轴心旋转的，它旋转一周时

的度数是360°,一周需要60分，因此每分钟分针所转过的度数是6°，这样20分时，分针逆转的角度即可求出

解：

（1）它的旋转中心是钟表的轴心•

（2）分针匀速旋转一周需要60分，因此旋转20分，分针旋转的角度为36^X20=120°.

60

例3、如图，△ABC绕O点旋转后，顶点A的对应点为点D,试确定顶点B、C对应点的位置，以及旋转后的三角

形•

分析：

一般作图题，在分析如何求作时，都要先假设已经把所求作的图形作出来，然后再根据性质，确定如何操

作•

假设顶点B、C的对应点分别为点E、点F,则/BOEZCOFZAOD都是旋转角•△DEF就是厶ABC绕点O

旋转后的三角形•根据旋转的性质知道：

经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，即旋转角相等，对应点到旋转中心的距离相等，则/BOE/COFZAODOE=OBOf=OC这样即可求作出旋转后的图形•

［师］通过分析知道如何作出厶DEF现在大家拿出直尺和圆规，我们共同来把这一旋转后的图形作出来，要注意

把痕迹保留下来•

解:

（1）连接OAODOBOC

（2）如下图，分别以OBOC为一边作ZBOE/COF使得ZBOEZCOFZAOD

（3）分别在射线OEOF上截取OEOBOF=OC

⑷连接EFEDFD

△DEF就是△ABC绕O点旋转后的图形

例4.在五边形ABCD中，AB=AEBGDE=CD/ABC/AED180°

求证：

AD平分/CDE

分析：

要证：

AD平分/CDE则需证/ADC/ADE而/ADC是在四边形ABCD中,/ADE是在厶ADE中，且已知:

BQDE=CDAB=AE/ABC/AED180。

，这时想到，连结AC将四边形ABC另成两个三角形，把△ABC绕A点旋转

/BAE的度数到厶AEF的位置，这时可知DE、F为一直线，且△ADCW^ADF是全等的，因此命题即可证得.

结果：

如图，连结AC将厶ABC绕点A旋转/BAE的度数到厶AEF的位置，因为AB=AE所以AB与AE重合.

因为/ABC/AED=180°,且/AE匡/ABC所以/AEF+/AED180°.所以DE、F三点在一直线上，AC=AFBC=EF

在厶ADCW^ADF中

DF=DEhEF=DEhBC=CD

AF=ACAD=AD

所以,△ADC^ADFSSS因此，/ADC/ADF

即：

AD平分/CDE

例5、如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（0,1）,B（-1,1）,C（-1,3）。

（1）画出△ABC关于x轴对称的厶ABG，并写出点C的坐标；

（2）画出△ABC绕原点0顺时针方向旋转90°后得到的厶AaBaCa，并写出点G的坐标；，

（3）将厶AB2C2平移得到厶AsB^Cs，使点A2的对应点是As,点B2的对应点是R

，点C2的对应点是C3（4,-1）,在坐标系中画出厶A3RC3，并写出点AB3的坐标。

【答案】

（1）C1（-1,-3）

（2）C2（3,1）（3）A3（2,-2）,B3（2,-1）

例6、将三角形纸片ABC（AB>AC沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD,展平纸片（如图1）;

再次折叠该三角形的纸片，使得点A与点D重合，折痕为EF,再次展平后连接DEDF（如图2）,证明：

四边形

AEDF是菱形。

【答案】证明：

•••三角形纸片ABC（AB>AC沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD

•••/BAD=ZCAD

又•••点A与点D重合，折痕为EF,设EF和AD交点为M

•ADLEF,MD=MA

•••/AME=ZAMF=90°

在厶AEMFHAAFM中，/BAD=ZCAD/AME=ZAMF=90°

AM=AM

•••△AEM2AAFM

•••MEMF

又•••ADLEF,MD=MA

•四边形AEDF是菱形。

例7、在厶ABC中,AB=BC=2,/ABC=120,将厶ABC绕点B顺时针旋转角a（0

别交AC、BC于DF两点.

（1）如图①，观察并猜想，在旋转过程中，线段EA与FC有怎样的数量关系？

并证明你的结论;

（2）

如图②，当=30。

时，试判断四边形BCDA的形状，并说明理由；

（3）在

（2）的情况下，求ED的长.

【答案】

（1）EAFC;提示证明ABECiBF

（2）①菱形（证明略）

（3）过点E作EGLAB,则AG=BG=1

在RtAEG中，AE-A21—2J

cosAcos30°3

由

（2）知AD=AB=2•edADAE22,3

3

例8如图，将正方形ABCD中的厶ABD绕对称中心O旋转至△GEF的位置，EF交AB于MGF交BD于N.请猜想BM

与FN有怎样的数量关系？

并证明你的结论.

〔第丄9题團）

【答案】猜想：

BM=FN

证明：

在正方形ABCD中,BD为对角线，0为对称中心

•••BO=DO，/BDA玄DBA=45

•••△GEFABD绕0点旋转所得

•FO=DO,/F=ZBDA

•OB=OF/OBMNOFN

OBM

OFN

在△OMB^n^ONF中

OB

OF

BOM

FON

•△OBMPAOFN

•BM=FN

平移旋转与对称

一、填空题（每小题3分，共24分）

1.图形的平移、旋转、轴对称中，其相同的性质是.

2.经过平移，对应点所连的线段.

3.经过旋转，对应点到旋转中心的距离.

4.△ABC平移到△AB'C'，那么SaabcS\ab，c.

5.等边三角形绕着它的三边中线的交点旋转至少度，能够与本身重合.

6.甲图向上平移2个单位得到乙图，乙图向左平移2个单位得到丙图，丙图向下平移2个单位得到丁图，那么丁

图向平移个单位可以得到甲图.

7.边长为4cm的正方形ABCD绕它的顶点A旋转180°,顶点B所经过的路线长为cm.

8.9点30分，时钟的时针和分针的夹角是.

二、解答题（9、10小题每小题5分，11~21小题每小题6分，共76分）

9.请画一个圆，画出圆的直径AB分析直径AB两侧的两个半圆可以怎样相互得到？

10.作线段AB和CD且AB和CD互相垂直平分，交点为0,AB=2CD.分别取OAOBOC0D勺中点A'、B'、

C、D，连结CA、DA、CB、DB、AC、AD、BC、BD得到一个四角星图案.将此四角星沿水平方向向右平移2厘米，作出平移前后的图形.

11.在下面的正方形中，以右上角顶点为旋转中心，按逆时针旋转一定角度后使之与原图形成轴对称

12.过等边三角形的中心0向三边作垂线，将这个三角形分成三部分.这三部分之间可以看作是怎样移动相互得到的？

你知道它们之间有怎样的等量关系吗？

13.如图，有一池塘，要

测池塘两端AB的距离，可先在平地上取一个可以直接到达

和B的点C,连结AC并延长到D,使Ct=CA连结BC并延长到E,使CE=CB连结DE那么量出DE的长，就是A、

B的距离，为什么？

线段DE可以看作哪条线段平移或旋转得到.

14.画线段AB在线段AB外取一点0,作出线段AB绕点0旋转180。

后所得的线段AB.请指出AB和A

B'的关系，并说明你的理由.

15.如图，四边形ABCD是平行四边形.

（1）图中哪些线段可以通过平移而得到；

（2）图中哪些三角形可以通过旋转而得到

16.同学们用直尺和三角板画平行线，这种画平行线的方法利用了怎样的移动？

由此我们得出了什么结论?

17.如图，△ABG!

过平移得到△ECD请指出图形中的等量关系

18.请你指出厶BDA1过怎样的移动得到△CAE

19.

如图，你能说明△ABC通过怎样的移动可以得到厶BAD马?

行交流•

21.由一个半圆（包含半圆所对的直径）和一个长方形组成一个“蘑菇”图形，将此图形作为“基本图形”经过

两次平移后得到一组图案•这样的图案是否可作为公园中“凉亭”的标志呢？

请你设计一下这个标志

22、如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，Rt△ABC的顶点均在格点上，在建立平面

直角坐标系后，点A的坐标为（一6,1）,点B的坐标为（一3,1）,点C的坐标为（一3,3）.

⑴将Rt△ABC沿x轴正方向平移5个单位得到Rt△ABC，试在图上画出Rt△A1B1C的图形，并写出点A的坐

标.

⑵将原来的Rt△ABC绕点B顺时针旋转90°得到Rt△ABC2，试在图上画出Rt△ABC2的图形

第13题图

23、如图（十）将矩形纸片ABCD&EF折叠，使点A与点C重合，点D落在点G处，EF为折痕

（1）求证：

△FGC^AEBC

（2）若AB=8,AD=4，求四边形ECG（阴影部分）的面积.

图（十）

24、推理证明如图，在△ABC^D^ADE中，点E在BC边上，/BAC玄DAE/B=ZD,AB=AD.

（1）求证：

△ABC^AADE

（2）如果/AEC=75，将△ADE绕着点A旋转一个锐角后与△ABC重合，求这个旋转角的大小

单元测试参考答案

一、1.图形的形状、大小不变，只改变图形的位置

2.平行且相等3.相等4.等于5.1206.右27.4n8.105

二、9.绕圆心旋转180°或以直线AB为对称轴翻折10~11.略

12.旋转120°,它们是全等四边形，面积相等，对应线段、对应角相等

13.△ABC^ADCEAB=DE线段DE可看作AB绕点0旋转180。

得到

14.AB//A'B',且AB=A'B',△AOB^AA'OB

15.

（1）AB和DCAD和BC

（2）AAOB^ACOD△BO（和BADOA^ABC和△CDA△ABD^RACDB

16.平移，平行公理：

同位角相等两直线平行

17.AB=ECAC=EDBC=CDZA=ZE,ZB=ZECDZACBZDZA=ZACE

18.△BDA先绕点A逆时针旋转，使DA和AB在一条直线上，然后再以过A点垂直AB的直线为对称轴作它的对称图形.（或将△BDA绕点A顺时针旋转ZCAB再以AE为对称轴翻折）

19.先将△ABC沿直线AB向左平移，使点B与点A重合，然后再以过A点且垂直于AB的直线为对称轴翻折

20~21.略22、【答案】

A（-1,1）

23、【答案】

解：

（1）：

AB//CD•••/CFE=ZFEA

又ZCEF=ZFEA•ZCEF=ZCFE•EC=FC

在直角AFGC和直角△EBC中，EC=FCBC=AD=GC•△FGC^^EBC

AEDFAD

（2）由

（1）知，DF=GF=BE所以四边形ECGF勺面积=四边形AEFD勺面积==16

2

24、【答案】

（1）vZBAC=ZDAEAB=ADZB=ZD,

•△ABD^AADE.（3分）

（2）tAABC^AADE

•AC与AE是一组对应边，

•ZCAE的旋转角，（4分）

•/AE=ACZAEC=75,

•ZACE=/AEC=75,（5分）

视图与投影练习题

•选择题：

（每小题5分，共25分）

1•小明从正面观察下图所示的两个物体，看到的是

3.

小明在操场上练习双杠时，在练习的过程中他发现在地上双杠的两横杠的影子

4.

小亮在上午8时、9时30分、10时、12时四次到室外的阳光下观察向日葵的头茎随太阳转动的情况，无意之

那些矮一些的建筑物后面去了。

这是因为

二.填空题：

（每小题5分，共25分）

6.小明希望测量出电线杆AB的高度，于是在阳光明媚的一

天，他在电线杆旁的点D处立一标杆CD使标杆的影子DE

12.画出下面实物的三视图:

13•为了测量校园内一棵不可攀的树的高度，学校数学应用实践小组做了如下的探索：

实践：

根据《自然科学》中的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如右示意图的测量方案：

把镜子放在离

DE=2.7

树（AB）8.7米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D这是恰好在镜子里看到树梢顶点A,再用皮尺量得

米，观察者目高Ct=1.6米，请你计算树（AB的高度.（精确到0.1米）

14

.立体图形的三视图如下，请你画出它的立体图形:

15.已知，如图8,AB和DE是直立在地面上的两根立柱.AB=5m某一时刻AB在阳光下的投影BC=3m.

16

（1）请你在图8中画出此时DE在阳光下的投影;

6.4.5米；

7.三角形或一条线段；

&金字塔、四棱锥屋顶等；

9.空心圆柱；

12.略;

/CED/AEB/CDE/ABERt/

•••△CEDo^AEB

CDAB1.6AB

DEBE"2.78.7

•AB^5.2米

14.

略;

D

L

1

1.

15.

解:

（1）A

B..

Le

■nnBmmMnHwwnHn^nnvm

h.

*

*

1

电

1

F

■wmawn・・u・hev|

（连接AC过点D作DE/AC交直线BC于点F,线段EF即为DE的投影）

（2）vAC/DF,•••/ACB/DFE

•//ABC/DEf=90°A^AB（O^DEF

ABBC53

DEEF，DE6.

•••DE=10（m）.

中考题型

1、如图，Rt△ABC是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，连结CC交斜边于点E,CC的延长线交BB于

点F.

（1）证明：

△ACE^AFBE

（2）设/AB（=，/CAC=，试探索、满足什么关系时，△人。

£与厶FBE是全等三角形，并说明理

由.

【答案】

•AOAC,AB=AB，/CAB：

/CAB（1分）

•••/CAC=/BAB

•••/ACC=/ABB（3分）

又/AE（=ZFEB

•••△ACE^FBE（4分）

（2）解：

当2时，△ACE^AFBE（5分）

在厶ACC中，•••ACAC,

:

丄BCE=

（8分）

•••/ABC/BCE

•CE=BE

由

（1）知：

△ACE^AFBE

•△ACE^AFBE（9分）

2、如图1,Rt△ABC^Rt△EDF/ACB/F=90°,ZA=/E=30°.AEDF绕着边AB的中点D旋转，DE,DF

分别交线段.AC于点MK

（1）观察：

①如图2、图3,当/CDF0°或60°时，AMCMK填“〉”“<”或“=”）.

②如图4,当/CDI=30°时，AM+CKMK只填“>”或“<”）.

证明：

作点C关于FD的对称点

连接GKGMGD

贝UCD=GD,GK=CK,/GDK/CDK

A30°，•/CDA120°,

•••/EDf=60°,「./GDMZGDK60°,

/ADM/CDK=60°.

•••/ADM/GDM

•••DIMDM

•△ADIW^GDM•-GIMAM

•/GMGK>MK「・AMCK>MK

（3）/CDI=15°,mk3.

AM2

3、如图1,在平面直角坐标系中，O是坐标原点，DABCD勺顶点A的坐标为（-2,0），点D的坐标为（0,2「3）,

点B在x轴的正半轴上，点E为线段AD的中点，过点E的直线I与x轴交于点F,与射线DC交于点G

⑴求/DCB勺度数；

（2）当点F的坐标为（-4,0）时，求点G的坐标；

（3）连结0E以0E所在直线为对称轴，△OEF经轴对称变换后得到△OEF，记直线EF与射线DC的交点为

H

①如图2,当点G在点H的左侧时，求证：

△DE&ADHE

解：

⑴在Rt△AOD中,

•/tan/DAOD°2-3.3,

AO2

•••/DAB60°.

•••四边形ABCD^平行四边形

•••/DCBZDAB=60°

⑵•••四边形ABCDI平行四边形

•CD/AB

•••/DGEZAFE

又•••/DEG/AEFDE=AE

•••△DEG^AEF

•DGAF

•/AF=OF-OA=4-2=2

•DG=2

•••点G的坐标为（2,2.3）

（3）①TCD/AB

•••/DGE/OFE

•••△OEF经轴对称变换后得到△OEF

:

丄OFE/OFE

•/DGE/OFE

1

在Rt△AOD中，TE是AD的中点•O匡丄AD=AE

2

又t/EAO6O°

•/EOA6O°,/AEO6O°

又t/EOF=/EOA6O°

•/EOF=/OEA

•AD//OF

•/OFE=/DEH

•/DEH/DGE

又t/HDE/EDG

•••△DHNADEG

②点F的坐标是F（尿

1,0）,F2（

届5,0）.

对于此小题，我们提供如下详细解答,

对学生无此要求

过点E作EML直线CD于点M

•••CD//AB

y

•/EDMZDABi§0°

Miy