实变函数与泛函分析基础第三版第五章复习指导docx.docx
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主要内容
本章的中心内容是建立一种新的积分——勒贝格积分理论.它也是实变函数数论研究的中心内容.
一、关于勒贝格积分的建立.
本章首先引入测度有限点集上有界函数的积分，这是全章的基础，建立有界函数的积分时应注意两点：
一是黎曼积分意义下的积分区间，现已被一般点集所代替；二是分划的小区间长度，现已被点集的测度所代替.
一般集合上i般函数的积分是通过两步完成的.第一步是建立非负函数的积分.它是通过非负函数表示为有界函数列的极限、把无穷测度集合表示为测度有限集列的极限来完成的.第二步是建立一般函数的积分，它是将其分解两个非负函数（正部与负部）的差的办法来完成的.
二、勒贝格积分的性质.勒贝格积分的性质主要反映在以下儿个方面：
（1）勒贝格积分是一种绝对收敛积分，即兀兀）在E上可积当且仅当|/（兀）|在
E上可积（/（x）在E上可测）.这是它与黎曼积分重要区别之一.
（2）勒贝格积分的绝对连续性.设/（力在E上可积，则对任意£>0,存在
》〉0,使当euE且加£<5时，恒有
（3）勒贝格积分的唯一性.即£|/（x）|ck=0的充要条件是/（x）=0a.e.TE・由此可知，若f（x）与巩兀）几乎相等，则它们的可积性与积分值均相同.
（4）可积函数可用连续函数积分逼近•设/（兀）是可积函数，对任意£>0,存在［°,切上的连续函数從无），使
此外尚有许多与黎曼积分类似的性质，如线性性、单调性、介值性等，望同学们自己总结、比较.
三、关于积分极限定理.积分极限定理是本章的重要内容，这是由于积分号下取极限和逐项积分，无论在理论上还是应用上都有着十分重要的意义.其中列维渐升函数列积分定理（定理5.4.1）,勒贝格控制收敛定理（定理5.4.2）,和法都定理（定理5.4.3）在现代数学中都有广泛的应用.
同学们不难发现，与黎曼积分相比较，勒贝格积分与极限换序的条件大大减弱，这也是勒贝格积分优越于黎曼积分的重要之处.
|H|、关于勒贝格积分同黎曼积分之间的关系.我们知道，若［°,切上的有界
函数/（兀）黎曼可积，则必勒贝格可积口二者积分值相等.
值得注意的是，上述结论对于广义黎曼积分并不成立.实际上，广义黎曼可积函数成为勒贝格可积的充要条件是该函数广义黎曼绝对可积.
关于勒贝格积分的计算，一般是应用积分的定义借助于积分的性质将其转化为黎曼积分.
五、勒贝格重积分换序的富比尼定理指出，只要/（x,y）在R〃xRq上可积即可将重积分化为累次积分.特别是对非负可测函数来说，可无条件换序，这是勒贝格积分较黎曼积分的又一优越之处.
复习题
（一）
一、判断题
1、设/（x）是可测集E^Rn上的非负简单函数，则f/（x）cLr-定存在。
（J）
JE
2、设/（兀）是可测集EuR”上的非负简单函数，则/（兀）在E上勒贝格可积。
（X）
3、设于（兀）是可测集EuR"上的非负简单函数，且OSf/（x）dx<+oo,则于（切在E上勒贝格可积。
（V）
4、设/（兀）是可测集EyR”上的非负可测函数，则f/（x）ck一定存在。
（J）
JE
5、设/（x）是可测集EqR”上的非负可测函数，则/（x）在E上勒贝格可积。
（X）
6、设.f（x）是可测集EyR”上的非负简单函数，且0Wfj（x）dxv+a）,则于（Q在E上
JE
勒贝格可积。
（V）
7、设/（x）是可测集EyR”上的可测函数，则\jMdx一定存在。
（X）
8、设/（尢）是可测集EgR”上的可测函数，M/+（%）gL（E）,/-（x）gL（E）至少有一个成立，则^f（x）dx一定存在。
（丿）
10、设/（兀）是可测集EyR”上的可测函数,
若广⑴g厶（E）且广（兀）gL（E）,则/（x）
9、设/（兀）是可测集EQR“上的可测函数，且f+（x）eL（E）ff'（x）eL（E）至少有一个成立，则/（兀）在E上勒贝格可积。
（X）
在E上勒贝格可积。
（J）
11、设/（x）是可测集E^R”上的可测函数,
（V）
SgS）g（x）eL（E）,则
12、设f（x）是可测集EgR”上的可测函数,若
/（x）gL（E）o（J）
13、若E为零测集，/，（兀）为E上的任何实函数，则/（x）eL（E）«（V）
14、若f（x）gL（E）,则/n£［|/|=+oo］=0o（V）
15、若/（x）gL（E）,贝ij|/（x）|eL（£）o（V）
16、g|/（x）|eL（E）,则/（x）eL（E）o（V）
17、若/（x）eL（E）,耳为E的可测子集，则/（x）e£（El）o（V）
18、/（兀）在E上勒贝格积分值存在o/（x）eL（E）o19、若/（x）gL（E）,且/（x）>0,f/（x）dx=0,则/（x）=0于E。
（V）
JE
20、若于（兀）在［讪上R可积,则若/（x）在［a,b］上厶可积，且
（厶）匸討3山=£）匸/（兀皿。
（丁）
21、若/（x）€L（£）,g（x）e£（£）»且/（x）=g（x）Q.e于E,则ff（x）dx=fg（x）dx。
JEJE
（J）
22^若/（x）eL（£）,£/（x）dx=0,则f（x）=Qa.e.于E。
«）
23^若f（x）d¥=£g（x）（k,则/（x）=^（x）a.e.于E。
24、若£/（x）d¥与存在，且f（x）25、若f/（x）dr存在，E“是E的可测子集，且limmEn=0,则limff（x）dx=0）
JEh—>ooJEn
26、勒贝格积分也是黎曼广义积分的推广。
（X）
2.
1、
设D（x）=
0,X为［0中的无理点
1,兀为［0冲的有理点
计算题
解：
因为有理数集为零测集，所以，£>（%）=0于［0,1］,于是
⑴心。
严0。
）
Y^XP
J,其中P为[0,1]中的三分康托集，求ff（x）dx
x3,xe[0,l]\P皿八，
解：
因为mP=0,所以，f（x）=x3a.e.于[0,1],于是
三、证明题
1、设/（尢）是可测集E上的可测函数，且\f（x）\由题设及不等式性，有£|/（x）|dr<£g（x）dr<+oo0所以，|/（x）|eL（E）,从而/（x）gL（F）o2、/2（x）gL（E）,^2（x）gL（E）o则.f（兀）g（x）wUE）,且
|f£/（x）g（x）dx|<|[f£/2（x）dx+丄g2（x）dY]。
\E[f2⑴+g2⑴]山=L/2（x）d%+J£
证明：
因为|/（x）g⑴|s*[/2（x）+g2⑴],而由/2（x）eL（E）,g2（QwL（E）得,
g2（x）dx<+oo,
即|[/2（x）+^2（x）]eL（E）0所W,/（x）^（x）gL（E）0
=£/（x）dro
3、设/（x）eL（E）,E”是E的可测子集，且mE<+oo,若hmmEn=mE,则limff（x）dx
“tooJEn
证明：
因为E”是E的可测子集，且mE<+oo,所以，m（E-EJ=mE-mEnf从而由hmmEn=mE得，\mm（E-En）=mE一hn\mEn=0。
又/（x）gL（E）,由积分的绝
H—>8>0C/：
—><»
对连续性，lim[ff（x）dx-f/（x）dv]=limf/（x）cLv=Oo
“TooJEJEn/i->ooJE-En
4、设/（x）gL（E）,若对任意有界可测函数（p（x）都有£/（xMx）dx=0,则/（x）=0a.e.
1,XGE\x\f（x）>0|
证明：
由题设，UX（p（x）=J0,xeE\x\f（x）=0,显然©（无）为E上的有界可测函数，
-l,xe£|x|/（x）<0]
从而ff（x）\^x=Jf（x）（p（x）dx=0。
所以，/（x）=0a.e.^fE,即f（x）=0a.e.于E。
5、设f（x）gL（E）,en=E[\f\>n],证明
（1）limmen=0:
（2）limn-men=0o
“toon->co
证明：
由n-men（1）limmen=0o
（2）由
（1）,注意到JenJE*”T8
/（x）eL（E）,由积分的绝对连续性得，limf/（x）cLv=O,从而注意到
n->coJen
0所以,limn-men=0。
6.证明：
如果/（兀）是E上的非负函数，\EJ\x）dx=O,则f（x）=0.a.e于E
=|j£k;/（x）/:
=!
证：
若不然，/（x）^0不妨令/（x）>0.于是集E[x;/（x）>0]
>-J必存在某一％使
n
mE[x\f（x）>—]=cr>0%
令e=E[x\/（x）>—]于是
%
fEfMdx=\ef（x）dx+jE_ef（x）dx
*•*JE-ef（x）dx=\ef（x）dx+\
E-ef（x）dx
:
.iEf（x）dx>—>0,这与题设矛盾，所以
%
f（x）=O.a.e于E
7•设{fn（x）}£±的一非负可测函数列，则
£（Efn⑴炒=ELfn（X）dx•n=ln=l
证明相应于每个止整数斤，令g“（对二£/；（X），贝lJ{gz,（X）}是非负可测递增列，且
1=1
Zfn（兀）=limg”（兀）•据定理5・3・1,
”=17J—>00
limg“（Q/x=limg“（xg
En->ccJE
所以
8
£.（XA⑴加=U陛Sn（x）dx=lim£gn（x）dxn=l*
怏£tfn=lim££fn（x）dx=.九（x）dx・证毕.
1=1i=l7T=1
8.设EuRq为可测集，｛//%）｝为E上的一列非负可测函数，在E上有
fn（x）"TOO
lim[fn（x）dx=\f（x）dx.
/i—>ocJEJE
证明：
显然/*（兀）在E上非负可测且/,（%）
£;fn（x）dx<£fn+l（x）dx<£f（x）dx'因而烛£fn（x）dx<£/（x）Jx.
现证相反的不等式.任取E上的一个非负简单函数仇兀）使得xwE时
0<（p（x）Ovcvl,令En=E[fn>c（p\,则毋可测,E“uE,EncEn+i,
ClE“=E,且Jfn（x）dx>ffn（x）dx>c\（p（x）dxn=l"匕"n
limfftt（x）dx>c（lim[（p{x）dx）=c[（p（x）dx.illc的任意性可得
?
->ooJEn->（x）JEnJE
limffn^x>f（pZx•再由0（x）的任意性即得limffn（x）dx>ff（x）dx.isJEJE/?
—>ooJEJE
AlimIfn（x）dx=|（p{x）dx.h->ooJEJE
QO
补充证明UE”=E・
n=l
oo
是显然的.Vx（）gE,则0<^（x0）
/t=l
•••c^（x0）
VVneZ4,£（x0）
n->oo
・・・3/i0'使得扎、（x0）>仰（兀0）'即得x0G£„oczu.n=l
000
由兀（）的任意性得£（=U£t••:
U£t=£•?
l=l?
:
=I
证明：
由条件知{九（兀）}为E上非负可测函数递增列,所以hmfn（x）dx有定义,
JEn->oo
又ffn（x）dxooJE
道，limffn（x）dx（1）
HTooJEJEJE"TOO
令c满足Ovcvl，0（兀）是Rn上的非负可测简单函数，且（p（x）＜/（x）,
co
lEEn={xeE\fn（x）>c（p（x）}贝iJ{En}是递增集列,且limEn=”一>8?
l=l
故limffn{x）dx>cf（p（x）dx
n—>coJEJE
£fn（x）dx>£fn（x）唸（x）dx=£ftl（x）dx>£c（p（x）dx=cj（p（x）dx,limeI（p（x）dx=c\（p{x）dx,
“TooJEflJE
令贝Wl,limffn（x）dx>f（p（x）dx•>coJEJE
rh非负可测函数积分定义
limffn（x）dx>ff（x）dx.⑵
“tooJEJE
综合
（1）与
（2）得limff（x）dx.
>00JE
解令九（x）="仮，Sintxg（0,1）,h=1,2,…则丨fn（x）l<1且对任何xe[0,1]1+1V
都有limfn（x）=0o显然fn（x）可测，由Lebesgue控制收敛定理，"TOO
limj；i呎，shfxdx=nm£fnMdx=fjimZ,⑴心=[od兀=o。
“too1iMAn—>oo
证：
令九仃）=（i+_L）-"r”，nwN,则对VrG（0,+oo）,有nlim/n（r）=lim（1+—）~whmt,l=e~l.
z?
—>oomoon->oc
注意到，当re（OJ）时,
有I（V/i>2）；当虫［1,+8）时，有（Vzt>2）.令
（1+T）2
1"）弘）力訂:
■⑴妇匸弘）力+厂弘）力<+4
即F（f）在（0,+co）上厶可积，所以由Lebesgue控制收敛定理知
证毕。
=>mE[\f\>n]<—n
=>limmE\\fl>n]=0
舁一>8
（2）对任意的£〉0,因为feL（E）,存在5>0,使当AuE,mA<8时，有
由此，limn-mE[\fl>n]=0.
一、判断题
1、设｛.九（X）｝是可测集EqRh上的可测函数列，/（兀）是可测集E上的可测函数，如果
limfn（x）=f（x）a.e.于E,贝0limffn（x）dx=f/（x）dro（X）
>00HTooJE】E
2、设｛九（力｝是可测集EyR”上的可测函数列，/（%）是可测集E上的可测函数，如果
£（x）=>/（x）（"E），则limf/„（x）dx=fy（x）d¥o（X）
n—><»JEJE
3一设｛fnM｝是可测集EuR”上的可测函数列，/（%）是可测集E上的可测函数，如果
mE<+ooHfn（%）=>/（x）（xeE）或hmfn（x）=f（x）a.e.于E,则/a—>oc
limffn（x）dx=f/（x）dr
〃一>8JEJE
O（X）4.
设｛九（兀）｝是可测集E^Rn上的非负可测函数列，如果fn（x）,则
limffn（x）dx=flimfn（x）dx。
（J）
/t-^ooJEJE>oo
5、
设｛九（兀）｝是可测集E匸R"上的非负可测函数列，如果fn（x）,则
limffn（x）dr=flimfn（x）clv。
（X）n->ooJfJEn—>00
6、
设｛AM｝是可测集EuR"上的非负可测函数列，则
lim£fn（x）dx<£limfn（x）dxo（X）
7、
设｛fnM｝是可测集EyR“上的非负可测函数列，则
£Umfn⑴血§lim£fn（x）ivo（V
设｛齐（％）｝是可测集E匸Rn上的非负可测函数列，则
”=1"=1
9、
设｛fnM｝是可测集EgR”上的非正可测函数列，则
800
/|=1/1=1
10、设｛•九（兀）｝是可测集E^Rn上的可测函数列，则
L应九（兀）皿=丈1/3血。
（x）n=ln=l
11、设/（x）在可测集EUR”上的勒贝格积分存在，且E=\jEn,则n=l
f（x）dxo（x）
co
12、设.f（x）在可测集E匸R"上的勒贝格积分存在，且E=UE”,{£„}为两两不交的可
71=1
测集，则
£/（%）dx=tLfMdxo（V）
n=l
13、设f（x,y）在[a,b]x[c,d]上可测，则
■Lm/Wy）dxdy=仁]叽f（x,y）dy=仁帆严,），）dx。
（X）
14、设/（x,y）在S,b]x[c,d]上非负可测,则Lbircd/（X,y）Ckdy=fibiMr丿（兀*）dy=J丿（兀刃血。
（丁）
J|a,b|x|c,d|J\a.h\J|e,d|J|c,d|J[ayh]
15、设/（x,y）在[a,b]x[c,〃]上勒贝格可积,则
仁心討Z）血⑪二仁血仁小恥匸仁吋川心皿。
（J）
2.
计算题
limffn（x）dr=flimfn（x）dx=fOdx=0
“TOO
n—>ooJEJEn—»coJE
2、设fn（x）=；-（xeE=（0,+oo））,求limfftl（x）（Lro
Y_“T8JE
（l+-）nxn
解：
当n>2时,
0"（兀）=r
x_（i+±ywnl对
01n
limfn（x）=limr
n—y一
而（R）J（「F（x）dx=亠血+丄dx<+oo,
+8
所以,
X2
J£F（x）cLt=J'F（x）dx<+ooo由勒贝格控制收敛定理得
Lfn⑴血=Lhmfn（x）dx=fe_vdr=厂e~xdx=1。
JEJE”一>8JE
lim
A?
->00
r+8
=Jo
3、设人（X）二皿兀+"）严cosx（xwE=（0,+oo））,求limffn（x）dro
/In—>8JE
解：
易见limfn（x）=lim+e~xcosx=0,且
n—>ocn—>oc斤
\fn（x）\=ln（r+/?
）e-vcosx<（x+l）^x,而（x+1）^xgL（£）on
rti勒贝格控制收敛定理
lim[fn（x）d¥=fhmfn（x）dx=f0dx=0o
w—>ooJEJEn->ooJE
\_
9
4、设fn（x）=—sin3nx（xgE=[0,1]）,求limff（x）dxo
1+hx"Je
丄
2
解：
易见limfn（x）=lim一sin3nx=Ot且
1
nx2
1+h2%2
sin3nx
而丄x_iGL（£）o
2
28!
+/?
/■%
由勒贝格控制收敛定理
OcLr=0o
limLf„（兀）血=「limfn=f
71—>00JtJ匕HT8丿C
三、证明题
•九no的
1、设mE<+oo,{ftl（x）}为E上儿乎处处有限的可测函数列，证明：
在E上,
充要条件是lim[
Al—>00JE
证明：
因为对任意b>0,有E[xyn（x）\>a]=E[x
1+|・九（力|_1+b
所以
“充分性”：
若曲占船⑴则鵲厂°’从而
“必要性”：
若九no,则I严H戶0,又mE<+oo,no<<1,由有界
1+伉（兀）|1+|九（刖
2、设｛/；（%）｝为E上非负可测函数列,且fn（x）>fn+[（x）（«>1）,若lim/；（%）=/（x）,n—»oo
且存在£（）,使得LA>⑴心v+00，贝"hmJfn（x）cLv=£f（x）dx。
证明：
令代（朗=仏（0-九（Q5以（）），由题设，易见代（兀）单调递增，且
limFn（兀）=4（x）-/（%）»\Fn（x）|=|4（x）-fn（x）\<2九（x）。
又f4（x）cLy<+oo,即几（x）wL（E）,由勒贝格控制收敛定理
JE>
L4⑴血-怛《U⑴心=»血f”（讣=£4⑴血-£f（皿，
即lim£fn（x）cLv=£/（x）cU。
£SIw^=E£law|+8。
H=1K=1
coco
由勒贝格积分的几乎处处有限性，工I九（兀）|<+8么匕于E,即工九（兀）在E上几乎处处
/1=1/:
=1
绝对收敛。
制收敛定理，其和函数SO）在E上勒贝格可积，且
JE［乞£⑴皿=Je亞££⑴皿巳吧jE［乞A⑴皿"n=lk=\k=\
=巴亍L/心）心=丈L尤（兀）血°
2=1/:
=!
co
4、利用上题的结论证明：
记［0,1］中的全体有理数排成的序列为{/;},则工
n=l
［0,1］±几乎处处收敛。
证明：
因为
所以,
乎处处收敛。
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