行列式的计算方法及其在线性方程组中的应用毕业论文.docx

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行列式的计算方法及其在线性方程组中的应用毕业论文

本科生毕业论文

题

目：

姓

名：

学

号：

系

别：

年

级：

专

业：

指导教师：

指导教师：

行列式的计算方法及其在线性方程组中的应用

200802023046

2008级

数学

职称:

副教授

职称：

讲师

2012年4月20日

安顺学院毕业论文任务书

数学与计算机科学系数学与应用数学专业2008年级学生姓名韦诚

毕业论文题目：

行列式的计算方法及其在线性方程组中的应用

任务下达日期：

2011年9月5日

毕业论文写作日期：

20H年9月5日至2012年4月20

学生签字:

指导老师签字:

《高等代数》是数学专业学生的一门必修基础课程。

行列式的计算是高等代数中的重点、难点，特别是n阶行列式的计算，学生在学习过程中，普遍存在很多困难，难于掌握。

讣算n阶行列式的方法很多，但具体到一个题，要针对其特征，选取适当的方法求解。

当看到一个貌似非常复朵的n阶行列式时，仔细观察,会发现其实它们的元素在行或列的排列方式上都有某些规律。

掌握住这些规律,选择合适的il•算方法，能使我们在极短的时间内达到事半功倍的效果！

本文首先介绍n阶行列式的定义、性质，再归纳总结行列式的各种汁算方法、技巧及其在线性方程组中的初步应用。

行列式是线性方程组理论的一个组成部分，是中学数学有关内容的提高和推广。

它不仅是解线性方程组的重要工具，而且在其它一些学科分支中也有广泛的应用。

关键词：

n阶行列式计算方法归纳线性方程组

ABSTRACT

Algebraisacoursesofmathematicsspecializedcoinpulsoryofthebasicmathematic-Thedeterminant'scalculationisthemostdifficultyinhigheralgebra,especially,thenorderdeterminant'scalculation,alwayisstudent'sdifficultyinthelearningprocess,so,itisdifficulttomasterforours•Therearealotofcalculationsofnorderdeterminantinmethod,butwhenwesayaproblemofthecalculationofnorderdeterminant,accordingtoitscharacteristics,selectingtheappropriatemethodtosolvingisaverygoodidea.Whenyouseeaseeminglysocomplexnorderdeterminant,weshouldobservethemcarefully,“ndwewillfindthattheirelementsarearrangedinrowsorcolumnshavesomeregularity.Graspingoftheselaws,findingaappropriatecalculationmethodcanhelpustoachieveamultipliereffectinaveryshorttime!

Thispapermainlyintroducesthedefinitionofnorderdeterminant,nature,andcalculationmethods,theskillsofcalculationofnorderdeterminantandapplicationinlinearequationgroup.Determinantisanimportanftheoryinlinearequationsanditisanindispensablepartoflinearequations,determinantisalsothemiddleschoolmathematics'contentraiseandproinotion.Itisnotonlythesolutionoflinearequationsoftheimportanttookbutalsoinsomeotherbranchhasawiderangeofapplications.

Keywords:

norderdeterminantcalculationmethodinducelinearequations

引言

1屛介行列式的定义2屛介行列式的性质3计算屛介行列式的具体方法与技巧

利用行列式定义直接计算利用行列式的性质计算化为三角形行列式

3.4

降阶法

逆推公式法

3.6

利用范德蒙德行列式

3.7

加边法（升阶法）

3.8

数学归纳法

10

11

拆开法

4行列式在线性方程组中的初步应用

11

4.1克拉默（Gramer）法则

12

4.2克拉默（Gramer）法则的应用

12

421用克拉默（Gramer）法则解线性方程组

13

422克拉默法则及其推论在几何上的应用

14

结论

16

参考文献

17

致谢

18

17

解方程是代数中一个基本问题，特别是在中学中所学的代数中，解方程占有重要的地位•因此这个问题是读者所熟悉的.比如说，如果我们知道了一段导线的电阻r它的两端的电位差y,那么通过这段导线的电流强度八就可以有关系式

ir=V

求出来•这就是所谓解一元一次方程的问题•在中学所学代数中，我们解过一元、二元、三元以至四元一次方程组.

线性方程组的理论在数学中是基本的也是®要的内容.

对于二元线性方程组

当4心22-如佝*0时，次方程组有惟一解，即

勺心22

”•…“_“山一如勺

Aj—*—

^*11^22-如切如“处-0皿21

我们称5如-mSl为二级行列式，用符号表示为

你如一竹Si=

«21如

于是上述解可以用二级行列式叙述为：

当二级行列式

时，该方程组有惟一解，即

9«12

5*

■■■

«21的

«21（»22

«11%

“21©2

对于三元线性方程组有相仿的结论•设有三元线性方程组

5內+如兀2+"/3=久

+"22X2+^23^3=®，«3內+432大2+"33X3=%

利'彳弋工弋1^22^^33+^12^23^^31+^13^21^^321^23^32^12^^21^^33^^13^^22^31丿7^5

«11®2®3

"21^22"23

"31“32“33

行列式，用符号表示为:

"h"22"33+“12°23"刃+«）3«21^32"^^11^23^32"如①心彳_'WWsi=

我们有：

当三级行列式

cl=

«11«12"|3

«21«22«23

“31^32“33

时，上述三元线性方程组有惟一解，解为

4厶

X严+，尤2=〒，

aa

其中

S«12

勺3

«H勺"|3

£=

■■■

«23

J,=

"21勺“23

，〃3=

5U"b、

妇"32

“33

«31%"33

如］“32S

在本论文中我们将把这个结果推广到畀元线性方程组

4内+4胪2+…+你忑=勺“2內+"22兀2+…+“2届=2

弘内+0小：

2+…+4汁為="/<

的情形•为此，我们首先要给出〃阶行列式的定义并讨论它的性质，这就是本论文的主要内容.

1n阶行列式的定义

“21“22-^211

"川弘"

等于所有取自不同行不同列的个元素的乘积仙几

（1）的代数和，这里jj2…h是12…，”的一个排列，每一项（5）都按下列规则带有符号：

当j|j2…

人是偶排列时，

（1）带正号，当是奇排列时，

（1）带有负号•这一定义可

以写成

二2（_严"5畑..％

恥…人

这里X表示对所有阶排列求和・

丿"2・・・人

定义表明，为了计算《阶行列式，首先作所有有可能山位于不同行不同列元素构成的乘积。

把构成这些乘积的元素按行指标排成自然顺序，然后山列指标所成的排列的奇偶性来决定这一项的符号•111定义立即看出，"阶行列式是山“！

项组成的.

2.阶行列式的性质

于数k乘这个行列式:

号的外边;

等于零;

式等于零;

性质（8）设行列式D的第i行的所有元素都可以表成两项的和:

D=

那么D等于两个行列式的和，其中D|的笫i行的元素是b^b小…际

D2的第i行的元素是5畑…心，而P与D?

的其他各行都和D的一样.

同样的性质对于列来说也成立.

性质（9）把行列式的某一行（列）的元素乘以同一个数后加到另一行（列）的对应元素上，行列式的值不变.

在深刻理解了《阶行列式的定义及性质后，我们自然会想到，给出一个貌似复朵的"阶行列式，怎样在有限的时间内准确地算出它的值呢？

这是本论文的中心论点.

刃阶行列式的计算方法很多，除非零元素较少时可利用定义计算外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题U的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法•下面介绍儿种常用的方法，并举例说明.

3计算畀阶复杂行列式的具体方法与技巧

计•算行列式

•…0

…2

•…0

•…0

D,中不为零的项用一般形式表示为

该项列标排列的逆序数r5—"一2…M）等于⑺-1）⑺-2）,故

2=（j）

3.2利用行列式的性质计算

呦=一4"丿，7=1,2,…，儿

则称为反对称行列式，证明：

奇数阶反对称行列式为零.

证明:

方法1：

所以D=0.

llfgj=一0“知5=,即5=0,/=12・・・,n，故行列式Dn可表示为

0

如

%

一如

0

如

♦♦•

2=

一如

♦♦・

_"23

・・・

0

•••

・♦•

♦•♦

一％

-如

一知

♦・♦

0

乂山行列式的性质A=

=/V

0

一如

一如

-细

%

0

一佝3

一吆

D"=

«13

・♦♦

023

•♦•

0

•••

♦・•

♦♦♦

一知

・•♦

«1«

“2"

%

0

0

如

«13

♦♦・

4”

一旳2

0

«23

♦♦・

吆

=（-ir

一“13

♦♦♦

一込3

・・・

0

•♦•

♦■・

♦♦♦

%

・♦•

一细

一吆

一细

♦♦・

0

=（j）g

当《为奇数时，得Dn=-Dn.因而得0=0.

3.3化为三角形行列式

若能把一个行列式经过适当变换化为上三角形或下三角形，其结果为行列式

主对角线上元素的乘积乘以（-1）的逆序数次方•因此化三角形是行列式计算中的

一个重要方法.

例3计算“阶行列式

a

h

b

…b

h

a

h

…b

D=

h

h

a

…b

••♦

b

•♦♦

b

・♦♦

b

♦•♦・•♦

…a

把第2,3,…，畀列都加到第1列上，行列式不变,

a+{n-{}b

h

h

■•

b

a+{n-[}h

a

h

••

h

D=

a+{n-[}h

h

a

■•

h

•••

a+（n-[）h

・♦♦

h

♦♦♦

h

♦•

♦•

♦•・

a

1

h

b

•••

b

1

a

b

•••

b

=[a+{n-[}b]

1

b

a

•••

b

1

••♦

b

•♦♦

b

•••

・•♦

a

1

h

h

••

b

0

a-b

0

••

0

=[a+（n-\}h]

0

0

a-b

••

-0

♦••

0

•♦•

0

・♦♦

0

•♦

••

♦•・•

-a-b

得

=[a+（n-i}h]（a-hy-^

对于形如的所谓三角行列式，可直接展开得到两项递推公式2=叽\+叽2,然后采用如下一些方法求解.

方法1如果"较小，则直接递推计算.

方法2用第二数学归纳法.即验证川=1时结论成立，设u

立，若证明„=k+［时结论也成立，则对任意自然数相应的结论成立.

方法3将DfaDyfiD"变形为D厂Pguqg'-PD」其中

山韦达定理知卩和q是一元二次方程x--av->0=0的两个根■确定卩和q后，令/（X）=D”一2心,则利用/（«）=00-1）递推求出/（«），再山2=pDgi+fM

方法4设2=宀代入q-aD-i-00』=0得-Q心-卩严=0.0此有/-血-0=0（称之为特征方程人求出其根州和也（假设X严X2），则2=«內"+爲'叨这里可通过取"=1和n=2来确定•

例4求〃阶行列式的值

01

101

101

解：

按第1行展开得2=-2亠即2+2・厂°・作特征方程F+l=0,解

当卄=1时，9=0,代入式⑴得ta-ih=0；当《=2时，D,=-l.代入式⑴得

-«_方=-1•联立求解得《=b=-,故少=_［严+（_/）”］•22

3.4降阶法

降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开.

例5计•算"阶行列式

解将Di按第I行展开

a

0

0

…0

0

a

0

…0

0

a

0

・••0

0

0

a

…0

0

0

a

…0

+（-1严

■

•

•

•

•

■

«

■

•

«

•

•

•

■

•

■

•

0

0

0

0

0

0

…a

1

0

0

…0

D”=a

=d”+（_l）T（一1）%心

/|JI-2=a—a

3.5逆推公式法

逆推公式法：

对《阶行列式D/I找出0与Dzr-I或6丄J£）心4-2之间的一

种关系一称为逆推公式（其中66小D-2等结构相同人再山递推公式求出

D,的方法称为递推公式法.

例6证明

-1

«3

=x"+4工"7+/-x"+…+,（/I>2）

证明：

将D”按第1列展开得

-1

0

…0

0

0

X

-1

...0

0

♦♦•

•♦♦

•♦♦

♦・♦・・・

••・

0

0

0

…X

-1

"—2

仏3

…a工

4|+X

D宀

+（j）"仏

0

-1

-1

山此得递推公式：

2=4严・％,利用此递推公式可得

D”=勺+刃入・]=勺++xD"）

・・■=4“+"”]牙+■・•+I+x"

3.6利用范德蒙行列式

例7计算行列式

+1

X；+X-,

解把第1行的一1倍加到第2行，把新的笫2行的一1倍加到第3行，以此类推直到把新的第«-1行的一1倍加到第《行，便得范徳蒙行列式

=n（Xf-勺）

3.7加边法（升阶法）

加边法（乂称升阶法）是在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不变的方法。

例8计•算"阶行列式

解:

（n+1阶）

-1

计•算“阶行列式

-1

D.=

-1

=%'+a^x+a^

假设畀*时，有

则当n=k+\把De按第一列展开，得

=xC?

+qxZ

Jt4.lJt?

=X+（tjX+*・•+

山此，对任意的正整数心有

以=y+qx"'+•••+"m2兀0+4—1X+Ct„

3.9拆开法

把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，使问题简化以利il•算.

例10计算行列式2=

…5

…5

«l

"2+4

…q.

0

“2+人

…5

•

•

4

•

4

•…•

+

+

•

♦

♦

4

■

«

・♦••

«

…£t„+

n«

0

0

…41+人

-6+兔

5

0

0

几7•…

解：

D”=

z、

t亠4

I-IA）

问题，把握行列戎的特点，灵活选用方法•学习中多练习，多总结，才能更好地掌握行列式的il•算方法.

4行列式在线性方程中的初步应用

在中学代数和解析儿何里，我们已经遇到两个未知量和三个未知量的线性方程组。

但是许多从理论和实际问题里导出的线性方程组常常含有相当多的未知量，并且未知量的个数与方程的个数也不一定相等。

因此我们将更深入的讨论含有任意个未知量任童个方程的线性方程组.

线性方程组组的一般形式是:

也內+勺2兀2+・・5&=勺

①內+«22兀2+・/加兀=/?

2

•%"+52吃+・・4忑=勺,

其中心七…代表未知量，勺（1=1,2,…,m;j=l,2,…,n）代表未知量的系数，54,…，叽代表常数项.

我们将在复数域C上讨论线性方程组。

这就是说，方程组中未知量的系数和常数项都认为是复数，并且以后谈到数时，也总指的是复数（若是把复数域换为其他的任一数域，讨论还是可以同样进行）

4.1克拉默（Cramer）法则

如果线性方程组

4内+如牙2+••如凡=勺“2內+"22X2+•山2/；=h.

（其中XpX,代表未知量，勺（i=l,2,…，in;j=l,2,…，八）代表未知量的系数，九S■…九代表常数项•）的系数行列式D武），那么，这个方程组有解,并且解是唯一的。

可以表示为

X\=DJD、X2=DjD「r“=D,JD其中D「是把D中的第1列换成常数项SSsS得到的"阶行列式.

这个定理有三个结论，方程组⑵有解，解是唯一的，解由公式⑶给肚

4.2克拉默（Cramer）法则的应用

克拉默法则只是使用于方程个数和未知量个数相等的特殊情形，当线性方程组的系数行列式不为零时，克拉默法则给出了该方程组的三个结论：

（1）有解

（解的存在性h

（2）有唯一解；（3）用行列式表示了方程组的不可取，但其理论上的作用必须重视.

山克拉默法则得到“方程个数与未知数个数相等的齐次线性方程组有非零解

时，其系数行列式等于零”的结论，其实它还是充分必要条件，以后将多次用到.

4.2.1用克拉默法则解非齐次线性方程组

例11求解线性方程组

2«—1

%,+«,%2+«1“+•…+d|心=a^

%,++«「兀3+•••+6X"=

3八■!

*+4內+叮心+・・・+%心=5

解：

方程组的系数行列式为《阶范徳蒙徳行列式的转置•山曾工幻可知

D=□（4一勺）式0«>/>>>!

故山克拉默法则法则知，方程组有惟一解•乂有

从而方程组的解为

斗=D“）/D=O,£=D⑵/D=1，兀3=D⑶/d=o,…，兀=d5>/d=o

例12下列方程组中吗卫"…，绻各不相同，求证下面方程组有惟一解，并把它的解求出来.

兀］+吃兀=1

a^x^+偽X,+…+y;=h

n-lM—2r«-1

解：

其系数行列式D为范徳蒙德行列式，且山⑷4汀・・<“互不相同知

D=na一勺）HO,山克拉默法则法则知原方程有惟一解，且其解为

戈严（―）…（f）（“D…（D伙=]2…加

（（4一勺）・・・（代一J（代4一兔）•••（“”一a,）

4.2.2用克拉默法则及其推论在几何上的应用

例13已知xOy平面上两点Ml3』]）和M2（X2』2），建立用行列式表示的过这两点的直线方程.

解：

设所求直线方程为ax+by+c=O.其中M（x.y）是所求直线上的任意一点•因为直线通过给定点Ml和“2,故有

av,+外］+C=0,ax2+c=0

与原直线方程联立，可以得到以h.C为未知数的齐次线性方程组

ax+by+c=0+by^+c=Q+/?

>>+<'=0

因为过Ml，“2点的直线存在，对任意动点M（x.y）该方程组对未知数b.C均有不全为零的解，即有非零解，故山克拉默法则的推论知其系数行列式的值为零.

且其行列式的式子⑴是关于X,y的一次方程，代表一条直线•乂分别取x=$=））和x=X2fy=>s时，⑴式成立，故它是过点Ml和“2的直线方程•

例14求空间的四个平面+w+〃产00=123.4）相交于一点的条件.

解：

四个平面相交于一点，即线性方程组

a^x+h^y+c^z=-d^+“2y+C^Z=-〃2

<

a^x+byy+CyZ=-dy

a^x+h^y+c^Z=-d^

有惟一解，设为（扯』。

忆。

）・将方程组改写为

*

«|X+勺，+C]Z+=0

+仇y+Gz+djU=0

a^x+“3y+CyZ+dyii=0

a^x+/?

4y+C4z+d^u=0

则这个4元齐次方程组有非零解（XodcpZ』）-山克拉默法则的推论：

齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式等于零•有此可得空间的四个平面交于一点的条件是：

这个齐次线性方程组的系数柜阵行列式的值等于零.

结论

用行列式的性质和按行（列）展开定理计算行列式是本论文的重点之一•掌握行列式的计算方法和技巧是本论文的难点•除了利用行列式的性质化为三角形式和按行（列）展开公式使行列式降阶这些常用的方法外，要根据行列式的特点采用特殊方法，如递推法、数学归纳法、加边法（升阶法）、拆开法，以及范德蒙徳行列式的结论，等等•都是我们学习过程中的点、难点•要熟练的掌握这些方法，就得经常亲