全等三角形精讲精练Word文档格式.docx

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那么另一个叫做它的.

如果一个定理的经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做定理，其中一个叫做另一个的.

【学法指要】

例1．如图，已知AB∥CD，AD∥BC，F在DC的延长线上，AM=CF，FM交DA的延长线上于E.交BC于N,求证:

AE=CN.

思路分析:

欲证AE=CN.看它们在哪两个三角形中,

设法证这两个三角形全等即可.结合图形可发现

△AME≌△FCN可证.

题设告知AM=CF,AD∥BC,AB∥CD.由两平行条件,

可找两对角相等.

∵AD∥BC（已知）

∴∠1=∠E（两直线平行,内错角相等）

∠3=∠D（两直线平行,同位角相等）

∵∠1=∠2（对顶角相等）

∴∠2=∠E（等量代换）

∵AB∥CD（已知）

∴∠4=∠D（两直线平行,同位角相等）

∴∠3=∠4（等量代换）.

至此,两三角形全等条件完全具备.

在△AME与△CNF中

∠3=∠4（已证）

∠2=∠E（已证）

CF=AM（已知）

∴△AME≌△CNF（A.A.S）

∴AE=CN（全等三角形的对应边相等）

例2.△ABC中，∠ACB=90°

，AC=BC，过C的一条直线CE⊥AE于E，BD⊥CE的延长线于D，求证：

AE=BD+DE.

思路分析：

从本例的结论知是求线段和的问题，

由此入手，很难找到突破口.此时可迅速调整思维角

度,可仔细观察图形,正确的图形是证题的“向导”,由

此可发现△ACE与△CBD好像（猜测）全等.那么

AE=CD=CE+DE.又BD=CE.那么,此时已水落石出.

证明:

∵∠ACB=90°

（已知）

∴∠2+∠3=∠ACB=90°

∵AE⊥CE，BD⊥CE（已知）

∴∠1+∠2=90°

（直角三角形两锐角互余）

∴∠1=∠3（等角的余角相等）

∴∠AEC=∠CDB=90°

（垂直定义）

在△ACE与△CBD中

AC=BC（已知）

∠1=∠3（已证）

∠AEC=∠CDB（已证）

∴△ACE≌△CBD（AAS）

∴BD=CE，AE=CD（全等三角形的对应边相等）

∵AE=CE=CE+DE

∴AE=BD+DE（等量代换）

例3．如图，AD是△ABC的中线，DE，DF分别平分∠ADB和∠ADC，连接EF，求证：

EF<

BE+CF.

由结论EF<

BE+CF很容易与定理

“三角形两边之和大于第三边”联系在一块，观察图

形，BE，CF，EF条件分散，不在一个三角形中，

必须设法（平移，旋转，翻转等）把三者集中

在一个三角形中，是打开本例思路的关键.由角

的平分线这一线索,可将△BDE沿角平分线翻转

180°

即B点落在AD的点B'

上（如图）（也就是在

DA上截取DB＇=BD）,连结EB＇,B＇F,此时△BDE与△B＇DE完全重合,所以△BDE≌△B＇DE（两个三角形能够完全重合就是全等三角形,所以BE=B＇E（全等三角形的对应边相等）.

∵AD为△ABC的中线（已知）

∴BD=CD（中线性质）

∵BD=B＇D（已证）∴CD=B＇D（等量代换）

∴在△CDF与△B＇DF中

CD=B＇D（已证）

∠CDF=∠B＇DF（已知）

DF=DF（公用边）

∴△CDF≌△B＇DF（SAS）

∴B＇F=CF（全等三角形的对应边相等）

在△EFB＇中,EF<

B＇E+B＇F（三角形的两边之和大于第三边）.

∴EF<

BE+CF（等量代换）.

对本例,也可采取平移法把CF平移与BE在一个三角形中（如图）,作BF＇∥AC交FD的延长线于F＇,连结BF＇.由AD为△ABC中线知:

BD=DC.

∵BF＇∥AC（由作图知）

∴∠C=∠F＇BD（二直线平行,内错角相等）

在△F＇BD与△FCD中

∠C=∠F＇BD（已证）

BD=DC（已证）

∠F＇DB=∠FDC（对顶角相等）

∴△F＇BD≌△FCD（ASA）

∴F＇B=FC（全等三角形对应边相等）

此时,连结EF＇,便构造出△BEF＇,则

BE+BF＇>

EF＇（三角形的两边之和大于第三边）.即EF＇<

BE+FC（等量代换）

对照结论,只要再证EF＇=EF便达目的.

由△F＇BD≌△FCD（已证）

∴DF＇=DF（全等三角形对应边相等）

∵∠EDA=∠ADB,∠FDA=∠ADC（已知）

∴∠EDA+∠FDA=（∠ADB+∠ADC）

∵∠ABD+∠ADC=180°

（平角定义）

∴∠EDA+∠FDA=90°

∵∠EDF=∠EDA+∠FDA

∴∠EDF=90°

∵∠EDF＇+∠EDF=180°

∴∠EDF＇=90°

在△EDF和△EDF＇中

ED=ED（公用边）

∠EDF=∠EDF＇（已证）

DF=DF＇（已证）

∴△EDF≌△EDF＇（SAS）

∴EF=EF＇（全等三角形对应边相等）

BE+CF（等量代换）

由例1,例2我们可以发现,要证结论成立,必须知道需要什么条件,即要找什么?

此时便可由题设,再结合准确的图形便可找到需要条件,使思路打通.再一步步写出找到的条件和依据（即依据的定义,定理,已知,已证等）,就可写出完整的证明过程,请同学们在具体的实践过程中慢慢就熟悉证明的方法了.当条件分散或者直接找不到题设与结论的关系时,此时便可添设辅助线.但添设辅助线不能盲目,要有“的”放“矢”.一要有利于架设结论与题设的关系;

二要有利于充分利用已知条件;

三要把分散条件集中一块,有利于沟通关系.把握这几个原则.添设辅助线便可心中有数.架起“桥梁”铺平道路.思路自然顺畅.从例3就向同学们指示了这一规律.望同学们要养成这种添设辅助线的好习惯!

在证明几何问题的道路上会越走越宽,越走越好.

【思维体操】

例已知:

如图,AB=AC,DB=DC,F是AD的延长线上的一点,

求证:

BF=CF.

揭示思路:

本例要证BF=CF,要看BF与CF在哪两个

三角形中,即将问题转化为证明全等三角形问题,结合图

形可发现BF与CF在△ABF与△ACF或△BDF与△CDF中,只要证△ABF≌△ACF或△BDF≌△CDF,由两条思路吸引同学们去探索.结合题设,发现这两组三角形都不具备全等条件,使问题搁浅.但结合题设与图形可发现△ABD与△ACD却具备全等条件AB=AC（已知）,BD=DC（已知）,AD=AD（公用边）,给证题提供了有利因素.由它们全等可得∠BAF=∠CAF,这时证△ABF≌△ACF（SAS）便没有阻力.同时由∠ADB=∠ADC可证∠BDF=∠CDF（等角的补角相等）,那么△BDF≌△CDF（SAS）也很顺利了,两种思路,残途同归.

扩散一:

已知:

如图,AB=AC,DB=DC,F是AD延长线上一点,

且B,F,C在一条直线上,求证:

F是BC的中点.

欲证F是BC的中点,即证BF=CF,与原例所

证结论相同,仿原例思路能行通吗?

当然是可以的.请同学

们写出证明过程.待学完等腰三角形,还有更简捷的证法,

那时你们再探索吧!

扩散二:

如图,AB=AC,DB=DC,F是AD上的一点,求证:

揭示思路:

F点由AD的延长线上移动至AD上,要证的结论

不变,那么证题的思路沿“老路”走还能走通吗？

两种“老路”

亦然可行.请同学们写出证明过程.

扩散三:

如图,AB=AC,DB=DC,F是DA延长线上的一点,

F点由AD的延长线上移动至AD的反向延长线上,

要证的结论亦然不变.那么证题思路仍重蹈旧辙,是否是轻车熟

路呢?

仍然是一路春风.请同学们完成证明过程.

扩散四:

AB=AC,DB=DC,F是直线AD上一动点（即点F在直线AD上运动）,点F在AD上不停的运动.你发现什么规律?

请说出,并进行证明.

（1）

（2）（3）（4）

（5）（6）

因为动点F在直线AD上运动.可出现图

（1）～（6）六种情况（其中图（3）可看作图（4）的特例）.当点F与点D或点A重合时,FB=FC.显然成立,当点F运动至图（3）～图（6）的位置时,FB=FC,证明可仿原例证明,请同学们写出证明过程.由此可知,点F在AD上不停动,始终保持FB=FC这一规律,证明略.

扩散五:

如图,AB=AC,DB=DC,F是AD延长线上一点,求证:

点F到AB,AC的距离相等.

欲证点F到AB,AC的距离相等,即证FM=FN.由此萌生在角的平分线上一点到这个角的两边距离相等的念头,那么便转化为证明∠BAF=∠CAF即可.证明两角相等,通常转化证明两三角形全等.而△ABD≌△ACD条件具备（AB=AC,BD=DC,AD=AD）,则证∠BAF=∠CAF垂手可得了.证明如下:

在△ABD与△ACD中

AB=AC（已知）

BD=DC（已知）

AD=AD（公用边）

∴△ABD≌△ACD（SSS）

∴∠BAF=∠CAF（全等三角形的对应角相等）

∵FM⊥AB,FN⊥AC（已知）

∴FM=FN（在角的平分线上的点到这个角的

两边的距离相等）.

扩散六:

如图,AB=AC,DB=DC,F是AD上的一点,

F点在AD的延长线上移至AD上,结论仍然成立.可仿扩散五便可一路顺风达到目的.证法留给同学们完成.

扩散七:

如图,AB=AC,DB=DC,F是DA延长线上的

一点,求证:

当点F在DA的延长线上（如图）,结论亦然

成立.思路亦然如旧,请同学们自行完成.

扩散八:

如图,AB=AC,DB=DC,点F在直线AD上运

动,那么点F到AB,AC的距离有何关系?

请提出你的猜想,

并进行证明.

本例可仿照扩散四进行探索.请同学们照此

完成吧.

由原例扩散,把本单元用一线穿珠的办法连为一体,使所学知识系统化,条理化.使所学知识掌握的更牢固,应用的更灵活.在学习时,一定要掌握这种学习方法,它是提高数学素养非常行之有效的好方法.本例在扩散中,由静到动,栩栩如生.提出猜想,对培养同学们的探索能力恰到好处.不管图形多变化,其规律不变,万变不离其宗.只要抓住万变中的不变,即可一不变应万变,学一例,会一片,诸类旁通,左右逢源.通过以上的学习,对证线段相等,两角相等.两直线平等或垂直等,通常可转化为证明三角形全等,思路便可找到,望同学们在今后学习中不断演练,将会更上一层楼.

二、智能显示

【心中有数】

三角形是最常见的几何图形之一，在工农业生产和日常生活中都有广泛的应用.三角形又是多边形的一种,而且是最简单的多边形,在几何里,常常把多边形分割成若干个三角形,利用三角形的性质去研究多边形,实际上对于一些曲线形,也可以利用一系列的三角形逼近它,从而利用三角形的性质去研究它们.另外,全等三角形是证明线段相等或角相等的重要工具,“全等三角形”是本章的重要内容,掌握了判定三角形全等的方法,就为后面的学习做了准备.因此,本章内容是几何中最重要的基础知识.本单元又是本章之首,又是推理入门阶段.一定要学好本单元内容.

【动脑动手】

1.如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于D,DF⊥AB,DE⊥AC,求证:

DE=DF.

2.求证:

三角形一边上的中线小于其它两边和的一半.

3.如图,在△ABC中,AD为∠A的平分线,E为BC的中点,

过E作EF∥AD交AB于G,交CA的延长线于F,求证:

BG=CF.

1.（如原题图）.

∵AD⊥BC（已知）

∴△ABD和△ACD为Rt△.

∵AB=AC（已知）

AD=AD（公用边）

∴Rt△ABD≌Rt△ACD（H.L）

∴∠1=∠2（全等三角形对应角相等）

∵DF⊥AB,DE⊥AC（已知）

∴∠AFD=∠AED

在△ADF和△ADE中

∠1=∠2（已证）

∠AFD=∠AED（已证）

AD=AD（公共边）

∴△ADF≌△ADE（AAS）

∴DE=DF（全等三角形对应边相等）

2.延长AD至E,使DE=AD,连结BE.

则AD=AE.

在△ACD和△EBD中

AD=DE（由作图知）

∠1=∠2（对顶角相等）

BD=DC（已知）

∴△ACD≌△EBD（SAS）

∴BE=AC（全等三角形对应边相等）

在△ABE中,AE<

AB+BE（三角形的两边之和大于第三边）

∴AE<

AB+AC（等量代换）

∴AE<

（AB+AC）

∴AD<

3.（参照原题图）

过B,C分别作BP⊥EF,CQ⊥FE.垂足分别为P,Q,则BP∥CQ.（垂直于同一条直线的两条直线平行）

∴∠PBE=∠QCE（两直线平行内错角相等）

在△BPE和△CQE中

∠PBE=∠QCE（已证）

∠BPE=∠CQE=90°

（已知）

BE=CE（已知）

∴△BPE≌△CQE（AAS）

∴BP=CQ（全等三角形的对应边相等）

∵EF∥DA（已知）

∴∠BGE=∠BAD（二直线平行同位角相等）

∵AD平分∠BAC（已知）

∴∠BAD=∠CAD（角平分线定义）

∴∠CAD=∠F（二直线平行,同位角相等）

∴∠BGE=∠F（等量代换）

在△BPG和△CQF中

∠BGP=∠F（已证）

∠BPG=∠CQF=90°

BP=CQ（已证）

∴△BPG≌△CQF（AAS）

∴BG=CF（全等三角形的对应角相等）

【创新园地】

1.如图,已知,在△ABC中,∠1=∠2,AB+BP=AC.求证:

∠B=2∠C.

2.如图,已知,在△ABC中,∠A=2∠B,CD是∠C的平分线.

BC=AC+AD.

3.如图,已知:

在△ABC中,AB>

AC,AD是∠A的平分线,求证:

BD>

DC.

揭示思路

1.证明:

在AC上截取AB＇=AB,连结PB＇

在△ABP和△AB＇P中

AB=AB＇（由作图知）

∠1=∠2（已知）

AP=AP（公用边）

∴△ABP≌△AB＇P（SAS）

∴∠B=∠AB＇P（全等三角形对应角相等,对应边相等）

∵AC=AB+BP（已知）

AC=AB＇+CB＇（如图）

AB=AB＇（由作图知）

∴PB＇=B＇C=PB

∴∠C=∠B＇PC

∵∠AB＇P=∠C+∠B＇PC=2∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和）

∴∠B=2∠C

又证:

延长AB至C＇,且使AC＇=AC.连结PC＇.

在△ACP和△AC＇P中

AC=AC＇（由作图知）

AP=AP（公用边）

∴△ACP≌△AC＇P（SAS）

∴∠C=∠C＇（全等三角形的对应角相等）

AC＇=AB+BC＇（如图）

∵AC=AC＇（由作图知）

∴BP=∠BC＇

∴∠C＇=∠BPC＇

∵∠ABP=∠C＇+∠BPC＇=2∠C＇（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和）

∴∠ABP=2∠C.

即∠B=2∠C

2、3两个小题证法与此同时相仿，每小题同样可找到两种类似证法，留给同学们研究.