高等数学下重要内容要点.docx
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高等数学下重要内容要点
高等数学（下）内容要点
第七章向量代数与空间解析几何
1．向量的运算：
模、方向余弦、加、减、积
已知向量a
axi
ayj
azk（ax,ay,az）,bbxi
byj
bzk
（bx,by,bz），则
a
2
ay
2
2
cos
ax
cos
ay
cos
az
ax
az
|a|
|a|
a
cos2
cos2
cos2
1，a
1
ax,ay,az
cos
cos
cos
|a|
数量积：
ababcosa,baPrjabbPrjbaaxbxaybyazbz
注意下面两个性质的应用：
（１）设a是任意向量，则aa
|a|2；
（２）ab
ba；
2
2
2
从而有a
2ab
b
ba
i
j
k
向量积：
ab
absin
a,bc0
ax
ay
az
bx
by
bz
其中c0是同时垂直于a,b的单位向量，且a,b,c0构成右手系。
ab在几何上表示以a,b为邻边的平行四边形的面积。
注意性质：
ab
（b）
a
（b
a）
a1
a2
a3
混和积：
a,b,c
a（b
c）
b1
b2
b3
c1
c2
c3
其中a,b,c的混合积的绝对值等于以
a,b,c为棱的平行六面体体积。
2．向量之间的平行、垂直、共面条件
两向量垂直的充要条件：
abab0.
两向量平行（共线）的充要条件：
1/39
a//b
b
a
ab0
a1
a2
a3.
b1
b2
b3
3．平面与直线
（1）平面及其方程
点法式方程：
（
）
（
）
（
zz0
）0
Axx0
Byy0
C
一般式方程：
Ax
By
CzD
0
截距式方程：
x
y
z
1
a
b
c
x
x1
y
y1
z
z1
三点式方程：
x2
x1
y2
y1
z2
z1
0
x3
x1
y3
y1
z3
z1
（2）直线方程
点向式方程：
x
x0
y
y0
z
z0
（对称式方程）
m
n
p
一般式方程：
A1xB1yC1zD1
0
A2xB2yC2zD2
0
两点式方程：
x
x0
y
y0
z
z0
（实际是对称式方程）
x1
x0
y1
y0
z1
z0
参数式方程：
x
x0
mt,yy0
nt,z
z0pt
直线的三种方程可以相互转换。
（3）点到平面的距离，点到直线的距离，异面直线间的距离
点M0（x0,y0,z0）到平面AxBy
Cz
D
Ax0By0
Cz0D
0的距离：
d
B2
C2
A2
点M1到直线x
x0
y
y0
z
z0的距离：
d
M0M1s
，
m
n
p
s
其中s为直线的方向向量，M0（x0,y0,z0）。
两异面直线x
x1
y
y1
z
z1
x
x2
yy2
zz2间的距离：
m1
n1
p1
m2
n2
p2
2/39
d
（s1
s2）M1M2
s1
s2
该公式可理解为
（1）直线上的两点M1,M2对应的向量M1M2在（s1
s2）投影的绝对
值。
或
（2）（s1
s2）M1M2
表示s,s,M
M
2
为棱边的平行六面体的体积，而体积又可表
1
2
1
示为s1s2d。
（4）平面与平面、平面与直线、直线与直线的关系（平行、垂直、相交）。
两平面法向量的夹角（常取锐角）称为两平面的夹角.
两直线的方向向量的夹角称为两直线的夹角（取锐角）．
直线和它在平面上的投影直线的夹角称为直线与平面的夹角（取锐角）
平面束
设有两张不平行的平面，交成一条直线L，过直线L的所有平面的集合称为由
直线L所确定的平面束。
设空间直线的一般式方程为
A1xB1y
C1zD1
0
L:
C2zD2
0
A2xB2y
则方程
（A1xB1yC1zD1）（A2xB2yC2zD2）0（10）
称为过直线L的平面束方程。
其中、为参数，且不全为零。
x
2y
z0
1.过点M（1,1,1）且与直线
2y
平行的直线方程为
2x
3z60
2.已知平面过点（1,
2,0）且与直线
x
6y
z
0
2x
y
3z
垂直，求此平面方程。
10
3.已知向量OAb,OB
a,
ODA
2
，如图
A
b
aba
b
（1）求证:
ODA的面积S
2a
2
.
a
O
B
（2）当a,b夹角为何值时,
ODA的面积为最大
?
D
解
（1）连接AB,则SAOB
1a
b
1a
AD
AD
ab
a
2
2
3/39
同时,
ab
abcos
aOD
OD
a
b
a
1ODAD
aba
b
所以S
2a
2
.
2
aba
b
2
（2）
S
2
1
2
abcos
absin
1b
sin2
2a
2a
4
所以当
4
时,面积为最大.
4.设a
3i
5j
2k，b
2i
j
9k，试求
的值，使得：
1）a
b与z轴垂直；
2）a
b与a垂直，并证明此时
ab取得最小值。
解
首先
a
b=（3
2,5
1,
2
9），
1）a
b与z轴垂直，就是
a
b与基本单位向量k垂直，即{ab}k
0，
从而
（3
2,5
1,
2
9）
（0,0,1）
2
9
0
所以，当
4.5时，a
b与z轴垂直；
2）a
b与a垂直，即（
a
b）a
0
从而有
3（3
2）
5（5
1）
2（
2
9）
38
7
0
所以，当
7时，a
b与a垂直。
38
2
记d
a
b
2）2
（5
1）2
（
2
9）2，
，则d=（3
求导
d
76
14
，得驻点
7，且d''
76
0
，
38
所以当
7时，
a
b取得最小值。
38
5.求两直线
x
2y
5
0与y
0
40
的公垂线方程。
2y
z
4
0
x
2z
解：
直线x
2y
5
0的对称式方程为x
9
y
2
z
0
2yz40
2
1
4
直线y
0
4
的对称式方程为x
8
y
0
z
2
x
2z
0
2
0
1
公垂线的方向向量为
2,1,
4
2,0,
1
1,
10,
2
设垂足分别为（
2t
9,t
2,
4t）,（2u
8,0,
u
2），则
2t
9
2u
8
t
2
4t
u
2,解得t
12,u
0
1
10
2
21
4/39
公垂线方程为x8yz2
1102
5/39
第八章多元函数的微分
一、多元函数的概念、极限、连续
二、偏导数、全微分定义
偏导数：
fx（x0,y0）
lim
f（x0
x,y0）
f（x0,y0），
x
0
x
fy（x0,y0）
lim
f（x0,y0
y）
f（x0,y0）
y
y0
全微分：
设zf（x,y），若z
Ax
By
（）,
x2
y2，则称zf（x,y）
在点（x0,y0）可微，并称dz
Ax
By
zxdx
zydy为z
f（x,y）在点（x0,y0）的
全微分。
注意一元函数与二元函数在可微、可导、连续等概念上的区别与联系一元函数在某点处
可导可微连续极限存在
二元函数在某点处有
连续极限存在
存在连续偏导数可微可偏导
方向导数存在
三、多元复合函数的求导法则
１．显函数
多元复合函数求导法是多元函数微分学中的一个中心内容。
在用法则时关键是弄清函数的复合结构，哪些是中间变量，哪些是自变量，为此我们把变量之间的关系用图示来表式，称为变量之间的关系图，或称为变量之间的树形图。
另外还
注意抽象复合函数f（xy,xy）等的偏导数的求法，其中主要是正确理解和使用符
号f1,f11,f21等。
6/39
求法：
事实上，在求显函数的偏导数时已经用了复合函数的求导法则，只是当时没有明显写出变量之间的关系。
如设z
eusinv,其中u
xy,vx
y,求z,
z
x
y
法1
原题即是求z
exysin（x
y）的偏导数
z,
z
x
y
法2
明确变量之间的关系为：
u
z
v
x
y
利用复合函数的求导法则
z
z
u
z
v，z
z
u
z
v即可求出偏导
x
u
x
v
xy
u
y
v
y
数。
法3利用全微分的形式不变性，先计算全微分，后得偏导数
dzeudusinveucosvdveusinv（ydxxdy）eucosv（dxdy）
（yeusinveucosv）dx（xeusinveucosv）dy.
所以得zyeusinveucosvyexysin（xy）exycos（xy）
x
２．隐函数的求导法则
我们知道表示函数的方法是多种多样的，如显式表示，隐式表示（又分为单个方程或方程组），参数方程（显式或隐式）表示等，相应就产生各式各样的求导法则或公式。
1）由二元方程F（x,y）
0所确定的一元隐函数yf（x）的导数dy的求法：
dx
（1）显化：
由F（x,y）
0解出y
f（x）（满足隐函数存在定理的条件），利用一
元函数的求导法则，求出
dy。
dx
由F（x,y）0解出x
f（y），利用反函数的求导法则，求出
dy
1
dx
dxdy
（2）视y为x的函数用复合函数的求导则
（3）用隐函数的求导公式dy
Fx
dx
Fy
（4）利用函数的微分
7/39
2）由三元方程F（x,y,z）0所确定的二元函数zf（x,y）或xg（y,z）等的偏导
数
z,x等的求法（与上面相应）
xy
⑴显化：
一般行不通
⑵
视z为x,y的函数，两边分别对x,y求导，则可得到
z,
z
x
y
⑶
隐函数的求导公式
z
Fx
z
Fy
x
Fz
Fz
y
⑷
利用微分
３．方程组
F（x,y,z）
0确定隐函数y
y（x）,z
z（x），求dy,dz
G（x,y,z）
0
dxdx
通过解下面的线性方程组得到
Fx
Fy
dy
Fz
dz
0
dx
dx
Gx
Gy
dy
Gz
dz
0
dx
dx
四、多元函数微分学的几何应用
1．空间曲线的切线与法平面
⑴设空间曲线的参数方程为
:
xx（t）,yy（t）,zz（t）,参数tt0与空间直角点（x0,y0,z0）相对应为切点
则切线向量为sx（t0）,y（t0）,z（t0）
切线方程为xx0yy0zz0
x（t0）y（t0）z（t0）
法平面方程为x（t0）（xx0）y（t0）（yy0）z（t0）（zz0）0
⑵设空间曲线的一般方程为
F（x,y,z）
0
切点为（x0,y0,z0）
:
G（x,y,z）
0
8/39
ijk
则切线向量为s
Fx
Fy
Fz
m,n,p，或为1,y（x0）,z（x0）（将曲线方
Gx
Gy
Gz
（x0,y0,z0）
程转化为参数方程）
切线方程为x
x0
y
n
y0
z
z0
m
p
法平面方程为
（
）
（
）
p
（
zz0
）
0
mxx0
nyy0
2．空间曲面的切平面与法线
⑴设曲面方程为
:
（,
）
0,
M0
（
x0
y0
z0
）为切点
Fx
yz
则切平面的法线向量为n
Fx（M0）,Fy（M0）,Fz（M0）A,B,C
切平面方程为
（
）
（
yy0
）
（
zz0
）
0
Axx0
B
C
法线方程为x
x0
y
B
y0
z
z0
A
C
⑵设曲面的参数方程为
:
xx（u,v）,y
y（u,v）,z
z（u,v）,切点（x0,y0,z0）对应的参数为（u0,v0）
i
j
k
则切平面的法向量为
n
xu
yu
zu
ABC
,
xv
yv
zv
切平面方程为
（
）
（
yy0
）
（
zz0
）0
Axx0
B
C
法线方程为x
x0
y
B
y0
zz0
A
C
五、方向导数与梯度
1．方向导数
定义：
函数f（x,y）在点（x0,y0）处沿l方向的函数的增量
f（x0x,y0
y）f（x0,y0）与这两点（x0,y0）,（x0x,y0
y）的距离
x2
y2之比，当距离
0的极限，记为
f,
l
即
f
limf（x0
x,0y）yf（0x,0y）
l
0
9/39
f表示f（x,y）在点（x0,y0）处沿方向l的变化率。
l
关于方向导数的存在性与计算有下面的定理
定理如果函数f（x,y）在点（x0,y0）可微分，则函数在该点沿任一方向l的方向导数
存在，且有
f
fx（x0
y0）cos
fy（x0,y0）cos
l
其中cos,cos
是方向l的方向余弦，即el（cos
cos）是与l同方向的单位向
量。
（同理有f
fx（x0,y
0,z0）cos
fy（x0,y0,z0）cos
fz（x0,y0,z0）cos）
l
2．梯度
定义：
gradf（x0,y0）
fx（x0,y0
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