七年级上数学寒假作业一元一次方程应用题专题讲解.docx
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七年级上数学寒假作业一元一次方程应用题专题讲解
2019年七年级上数学寒假作业_一元一次方程应用题专题讲解
。
许多实际问题都归结为解一种方程或方程组，所以列出方程或方程组解应用题是数学联系实际，解决实际问题的一个重要方面；同时通过列方程解应用题，可以培养我们分析问题，解决问题的能力。
因此我们要努力学好这部分知识。
一、列方程解应用题的一般步骤（解题思路）
（1）审—审题：
认真审题，弄清题意，找出能够表示本题含义的相等关系（找出等量关系）．
（2）设—设出未知数：
根据提问，巧设未知数．
（3）列—列出方程：
设出未知数后，表示出有关
的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系列出方程．
（4）解—解方程：
解所列的方程，求出未知数的值．
（5）答—检验，写答案：
检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答案．（注意带上单位）
二、各类题型解法分析
一元一次方程应用题归类汇集：
行程问题，工程问题，和差倍分问题（生产、做工等各类问题），等积变形问题，调配问题，分配问题，配套问题，增长率问题，数字问题，方案设计与成本分析，古典数学，浓度问题等。
（一）和、差、倍、分问题——读题分析法
这类问题主要应搞清各量之间的关系，注意关键词语。
仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：
“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套……”，利用这些关键字列出文字等式，并且据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程.
1.倍数关
系：
通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率……”来体现。
2.多少关系：
通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现。
增长量＝原有量×增长率现在量＝原有量＋增长量
例1．某单位今年为灾区捐款2万5千元，比去年的2倍还多1000元，去年该单位为灾区捐款多少元？
解：
设去年该单位为灾区捐款x元，则
2x+1000=25000
2x=24000
x=12000
答：
去年该单位为灾区捐款12000元.
例2．旅行社的一辆汽车在第一次旅程
中用去油箱里汽油的25%，第二次旅程中用去剩余汽油的40%，这样油箱中剩的汽油比两次所用的汽油少1公斤，求油箱里原有汽油多少公斤？
解：
设油箱里原有汽油x公斤,则
x-[25%x+40%×（1-25%）x]+1=25%x+40%×（1-25%）x
即10%x=1
x=10
答：
油箱里原有汽油10公斤.
（二）等积变形问题
等积变形是以形状改变而体积不变为前提。
常用等量关系为：
原料体积=成品体积。
常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变．
①圆柱体的体积公式V=底面积×高＝S·h＝
②长方体的体积V＝长×宽×高＝abc
例3．现有直径为0.8米的圆柱形钢坯30米，可足够锻造直径为0.4米，长为3米的圆柱形机轴多少根？
解：
设可足够锻造直径为0.4米，长为3米的圆柱形机轴x根,则
3.14×
×3x=3.14×
×30
0.12x=4.8
x=40
答：
可足够锻造直径为0.4米，长为3米的圆柱形机轴40根。
（三）数字问题
1.要搞清楚数的表示方法：
一个三位数，一般可设百位数字为a，十位数字是b，个位数字为c（其中a、b、c均为整数，且1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9），则这个三位数表示为：
100a+10b+c．
2.数字问题中一些表示：
两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大1；偶数用2n表示，连续的偶数用2n+2或2n-2表示；奇数用2n+1或2n—1表示。
例4．有一个三位数，个位数字为百位数字的2倍，十位数字比百位数字大1，若将此数个位与百位顺序对调（个位变百位）所得的新数比原数的2倍少49，求原数。
解：
设原数百位数为x,则十位数为10（x+1），个位数为2x，于是
100×2x+10×（x+1）+x+49=2×[100x+10（x+1）+2x]
即211x+59=224x+
20
13x=39
x=3
故原数为：
100×2+10×4+2×3=246
答：
原数为246.
例5．一个三位数，三个数位上的数字之和是17，百位上的数比十位上的数大7，个位上的数是十位上的数的3倍，求这个三位数.
[分析]由已知条件给出了百位和个位上的数的关系，若设十位上的数为x，则百位上的数为x+7，个位上的数是3x，等量关系为三个数位上的数字和为17。
解：
设这个三位数十位上的数为x，则百位上的数为x+7，个位上的数是3x，则
x+x+7+3x=17
解得x=2
x+7=9，3x=6
答：
这个三位数是926。
（四）商品利润问题（市场经济问题或利润赢亏问题）
（1）销售问题中常出现的量有：
进价（或成本）、售价、标价（或定价）、利润等。
（2）利润问题常用等量关系：
商品利润＝商品售价－商品进价＝商品标价×折扣率－商品进价
（3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量
商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量
（4）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80%出售．即商品售价=商品标价×折扣率．
例6：
一家商店将某种服装按进价提高40%后标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的进价是多少？
[分析]探究题目中隐含的条件是关键，可直接设出成本为x元,
进价
折扣率
标价
优惠价
利润
x元
8折
（1+40%）X元
80%（1+40%）X
15元
等量关系：
（利润=折扣后价格—进价）折扣后价格－进价=15
解：
设这种服装每件的进价为x元，则
80%x（1+40%）—x=15，
解得x=125
答：
这种服装每件的进价是125元。
例6*：
某商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保持利润率不低于5%，则至多打几折？
解：
设至多打x折，则根据题意有
×100%=5%
解得x=0.7=70%
答：
至多打7折出售．
（五）行程问题——画图分析法
利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系（可把未知数看做已知量），填入有关的代数式是获得方程的基础.
1.行程问题中的三个基本量及其关系：
路程＝速度×时间时间＝路程÷速度速度＝路程÷时间
2.行程问题基本类型
（1）相遇问题：
快行距＋慢行距＝原距
（2）追及问题：
快行距－慢行距＝原距
（3）航行问题：
顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度
逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度
水流速度=（顺水速度-逆水速度）÷2（4）环路问题甲乙同时同地背向而行：
甲路程—乙路程=环路一周的距离
甲乙同时同地同向而行：
快者的路程—慢者的路程=环路一周的距离
抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系．即顺水逆水问题常用等量关系：
顺水路程=逆水路程．
常见的还有：
相背而行；行船问题；环形跑道问题。
例7：
甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出，每小时行140公里。
（1）慢车先开出1小时，快车再开。
两车相向而行。
问快车开出多少小时后两车相遇?
（2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600公里？
（3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600公里？
（4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？
（5）慢车开出1小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？
（此题关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义，弄清行驶过程。
）
解析：
（1）分析：
相遇问题，画图表示为：
等量关系是：
慢车走的路程+快车走的路程=480公里。
解：
设快车开出x小时后两车相遇，由题意得，140x+90（x+1）=480 解这个方程，230x=390
答：
快车开出
小时两车相遇
（2）分析：
相背而行，画图表示为：
等量关系是：
两车所走的路程和+480公里=600公里。
解：
设x小时后两车相距600公里，
由题意得，（140+90）x+480=600解这个方程，230x=120∴x=
答：
小时后两车相距600公里。
（3）分析：
等量关系为：
快车所走路程－慢车所走路程+480公里=600公里。
解：
设x小时后两车相距600公里，由题意得，（140－90）x+480=600 50x=120 ∴x=2.4
答：
2.4小时后两车相距600公里。
（4）分析：
追及问题，画图表示为：
等量关系为：
快车的路程=慢车走的路程+480公里。
解：
设x小时后快车追上慢车。
由题意得，140x=90x+480 解这个方程，50x=480 ∴x=9.6
答：
9.6小时后快车追上慢车。
（5）分析：
追及问题，等量关系为：
快车的路程=慢车走的路程+480公里。
解：
设快车开出x小时后追上慢车。
由题意得，140x=90（x+1）+480 50x=570 ∴x=11.4
答：
快车开出11.4小时后追上慢车。
例8：
一轮船在甲、乙两码头之间航行，顺水航行需要4小时，逆水航行需要5小时，水流的速度为2千米/时，求甲、乙两码头之间的距离。
解：
设甲、乙两码头之间的距离为x千米，则
x=80
答：
甲、乙两码头之间的距离为80千米.
（六）工程问题
1．工程问题中的三个量及其关系为：
工作总量＝工作效率×工作时间
2．经常在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位1。
即完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1．
工程问题常用等量关系：
先做的+后做的=完成量．
例9：
将一批工业最新动态信息输入管理储存网络，甲独做需6小时，乙独做需4小时，甲先做30分钟，然后甲、乙一起做，则甲、乙一起做还需多少小时才能完成工作？
解：
设甲、乙一起做还需x小时才能完成工作．
根据题意，得
×
+（
+
）x=1
解这个方程，得x=
=2小时12分
答：
甲、乙一起做还需2小时12分才能完成工作．
例10：
一个蓄水池有甲、乙两个进水管和一个丙排水管，单独开甲管6小时可注满水池；单独开乙管8小时可注满水池，单独开丙管9小时可将满池水
排空，若先将甲、乙管同时开放2小时，然后打开丙管，问打开丙管后几小时可注满水池？
[分析]等量关系为：
甲注水量+乙注水量-丙排水量=1。
解：
设打开丙管后x小时可注满水池，
则
由题意得，
答：
打开丙管后
小时可注满水池。
例11：
一项工程甲单独做需要10天，乙需要12天，丙单独做需要15天，甲、丙先做3天后，甲因事离去，乙参与工作，问还需几天完成？
解：
设还需x天，则
答：
还需
天完成。
（七）储蓄问题
1．顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本息和，存入银行的时间叫做期数，利息与本金的比叫做利率.
2．储蓄问题中的量及其关系为：
利息＝本金×利率×期数本息和＝本金+利息
利息税=利息×税率（20%）
例12：
某同学把250元钱存入银行，整存整取，存期为半年。
半年后共得本息和252.7元，求银行半年期的年利率是多少？
（不计利息税）
[分析]等量关系：
本息和=本金×（1+利率）
解：
设半年期的实际利率为X，依题意得方程250（1+X）=252.7，解得X=0.0108
所以年利率为0.0108×2=0.0216
答：
银行的年利率是21.6%
（八）配套问题：
这类问题的关键是找对配套的两类物体的数量关系。
例13：
某车间有28名工人生产螺栓和螺母，每人每小时平均能生产螺栓12个或螺母18个，应如何分配生产螺栓和螺母的工人，才能使螺栓和螺母正好配套（一个螺栓配两个螺母）？
解：
设生产螺栓的人有x名，则生产螺母的有28-x名工人，于是
2×12x=18×（28-x）
即42x=504
x=12
28-x=16
答：
应分配12名工人生产螺栓，16名工人生产螺母。
例14：
机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？
解：
设分配x
名工人加工大齿轮，则加工小齿轮的有85-x名工人，于是
16x÷2=10×（85-x）÷3
34x=850
x=25
85-x=60
答：
应分配25名工人加工大齿轮，60名工人加工小齿轮。
（九）劳力调配问题
这类问题要搞清人数的变化，常见题型有：
（1）既有调入又有调出；
（2）只有调入没有调出，调入部分变化，其余不变；
（3）只有调出没有调入，调出部分变化，其余不变。
例15．某厂一车间有64人，二车间有56人。
现因工作需要，要求第一车间人数是第二车间人数的一半。
问需从第一车间调多少人到第二车间？
解：
设需从第一车间调x人到第二车间,则
2×（64-x）=56+x
即3x=72
则x=24
答：
需从第一车间调24人到第二车间.
例16．学校分配学生住宿，如果每室住8人，还少12个床位，如果每室住9人，则空出两个房间。
求房间的个数和学生的人数。
解：
设房间数为x个，则有学生8x+12人，于是
8x+12=9（x-2）
解得x=30
则8x+12=252
答：
房间数为30个，学生252人。
（十）比例分配问题
比例分配问题的一般思路为：
设其中一份为x，利用已知的比，写出相应的代数式。
常用等量关系：
各部分之和=总量。
例17：
甲、乙、丙三个人每天生产机器零件数为甲、乙之比为4：
3；乙、丙之比为6：
5，又知甲与丙的和比乙的2倍多12件，求每个人每天生产多少件？
解：
设甲每天生产x件，则乙每天生产
x件，丙每天生产
x件，于是
x+
x-12=2×
x
解得x=96
则
x=72,
x=60
答：
甲每天生产96件，则乙每天生产72件，丙每天生产60件.
（十一）年龄问题
例19：
兄弟二人今年分别为15岁和9岁，多少年后兄的年龄是弟的年龄的2倍？
解：
设x年后，兄的年龄是弟的年龄的2倍，
则x年后兄的年龄是15+x，弟的年龄是9+x．
由题意，得2×（9+x）=15+x
18+2x=15+x
2x-x=15-18
∴x=-3
答：
3年前兄的年龄是弟的年龄的2倍．
（点拨：
-3年的意义，并不是没有意义，而是指以今年为起点前的3年，是与3年后具有相反意义的量）
例20：
三位同学甲乙丙，甲比乙大1岁，乙比丙大2岁，三人的年龄之和是41，求乙同学的年龄。
解：
设乙同学的年龄为x岁，则甲的年龄为（x+1）岁，丙同学的年龄为（
x-2）岁，于是
x+（x+1）+（x-2）=41
即3x=42
x=14
答：
乙同学的年龄为14岁，甲同学的年龄为15岁，丙同学的年龄为12岁.
（十二）比赛积分问题
例21：
某企业对应聘人员进行英语考试，试题由50道选择题组成，评分标准规定：
每道题的答案选对得3分，不选得0分，选错倒扣1分。
已知某人有5道题未作，得了103分，则这个人选错了8道题。
解：
设这个人选对了x道题目，则选错了45-x道题，于是
3x-（45-x）=103
4x=148
解得x=37
则45-x=8
答：
这个人选错了8道题.
例22：
某学校七年级8个班进行足球友谊赛，采用胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分的记分制。
某班与其他7个队各赛1
场后，以不败的战绩积17分，那么该班共胜了几场比赛？
解：
设该班共胜了x场比赛，则
3x+（7-x）=17
解得x=5
答：
该班共胜了5场比赛.
（13）方案选择问题
例23：
某家电商场计划用9万元从生产厂家购进50台电视机．已知该厂家生产3种不同型号的电视机，出厂价分别为A种每台1500元，B种每台2100元，C种每台2500元．
（1）若家电商场同时购进两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案．
（2）若商场销售一台A种电视机可获利150元，销售一台B种电视机可获利200元，销售一台C种电视机可获利250元，在同时购进两种不同型号的电视机方案中，为了使销售时获利最多，你选择哪种方案？
解：
按购A，B两种，B，C两种，A，C两种电视机这三种方案分别计算，
设购A种电视机x台，则B种电视机y台．
（1）①当选购A，B两种电视机时，B种电视机购（50-x）台，可得方程
1500x+2100（50-x）=90000
即5x+7（50-x）=300
2x=50
x=25
50-x=25
②当选购A，C两种电视机时，C种电视机购（50-x）台，
可得方程1500x+2500（50-x）=90000
3x+5（50-x）=1800
x=35
50-x=15
③当购B，C两种电视机时，C种电视机为（50-y）台．
可得方程2100y+2500（50-y）=90000
21y+25（50-y）=900，4y=350，不合题意
由此可选择两种方案：
一是购A，B两种电视机25台；二是购A种电视机35台，C种电视机15台．
（2）若选择
（1）中的方案①，可获利
150×25+250×15=8750（元）
若选择
（1）中的方案②，可获利
150×35+250×15=9000（元）
9000>8750
故为了获利最多，选择第二种方案．
（14）古典数学问题
例24：
100个和尚100个馍，大和尚每人吃两个，小和尚两人吃一个，问有多少大和尚？
多少小和尚？
解：
设有大和尚x人，小和尚100-x人，则
2x+
=100
解得x=
≈33
答：
约有大和尚33人，小和尚67人。
例25：
有若干只鸡和兔子，他们共有88个头，244只脚，鸡和兔各有多少只？
解：
设有鸡x只，兔88-x只，则
2x+4（88-x）=244
x=54
则88-x=34
答：
有鸡54只，兔34只.
（15）增长率问题
例26：
民航规定：
乘坐飞机普通舱旅客一人最多可免费携带20千克行李，超过部分每千克按飞机票价的1
.5％购买行李票。
一名旅客带了35千克行李乘机，机票连同行李费共付了1323元，求该旅客的机票票价。
解：
设该旅客的机票票价为x元，则
x+15¡Á1.5%x=1323
1.015x=1323
x=1303
答：
该旅客的机票票价为1303元.
（16）浓度问题
常用等量关系式：
.
例27：
有含盐20%的盐水5千克，要配制成含盐8%的盐水，需加水7.5千克。
某化工厂现有浓度为15%的稀硫酸175千克，要把它配成浓度为25%的硫酸，需要加入浓度为50％的硫酸多少千克？
解：
（1）设需加水
x千克，则
解得x=7.5
（2）设需要加入浓度为50％的硫酸y千克,则
解得y=70
故需要加入浓度为50％的硫酸70千克。
例28
：
有甲、乙两种铜和银的合金，甲种合金含银25%，乙种合金含银37.5%，现在要熔制含银30%的合金100千克，两种合金应各取多少？
解：
设取甲种合金x千克，则需取乙种合金100-x千克，于是
解得x=60
则100-x=40
答：
应取甲种合金60千克，则需取乙种合金40千克.
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