材料力学 平面图形的几何性质 安徽理工大学精品课程要点.docx

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材料力学平面图形的几何性质安徽理工大学精品课程要点

本章重点

1、静矩与形心

2、惯性矩、极惯性矩和惯性积

3、平行移轴公式、转轴公式

关键概念

静矩、惯性矩、极惯性矩、惯性积、主惯性轴、形心主惯性轴

目录

§I-1静矩和形心

§I-2极惯性矩·惯性矩·惯性积§I-3平行移轴公式

§I-4惯性矩和惯性积的转轴公式.截面的

§I-1静矩和形心

一、基本概念

1.静矩（或一次矩）

x⋅dAy⋅dA——微面积对y轴的静矩——微面积对x轴的静矩Sy=⎰AxdA——整个平面图形对y轴的静矩

Sx=⎰AydA——整个平面图形对x轴的静矩

常用单位：

m3或mm3。

数值：

可为正、负或0。

2.形心坐标公式

x=xdA=Sy

AAy=ydA

ASx=A

3.静矩与形心坐标的关系

Sy=AxSx=Ay

推论：

截面对形心轴的静矩恒为0，反之，亦然。

二、讨论：

1.组合截面的静矩

根据静矩的定义：

整个平面图形对某轴的静矩应等于它的各组成部分对同一轴的静矩的代数和，即：

Sy=∑Aixii=1nSx=∑Ai

yii=1n

2.组合截面的形心坐标公式

组合截面静矩

Sy=∑Aixii=1nSx=∑Aiyii=1

nn组合截面面积

A=∑Aii=1

组合截面的形心坐标公式为：

例I—1：

计算由抛物线、y轴和z轴所围成的平面图形对y轴和z轴的静矩，并确定图形的形心坐标。

2z=h⎛⎝1-y⎫b2

⎪⎭22

y⎫4bh2

2⎪dy

b⎭=15

Sz=⎰ydA=

A⎰yh22⎫bh0⎝1-b2⎪⎭dy=4

b2

A=⎰dA=

A⎰h⎛1-y20⎝b形心坐标为:

⎧2⎪bh⎪ySz⎪C=A=2bh=⎪⎨3⎪4bh2⎪⎪zC=Sy==2h⎪A2bh5⎩3

例I—2：

确定图示图形形心C的位置。

解：

ySC=zA=10⨯120⨯5+70⨯10⨯45

1200+700=19.7mm

zC==目录

（即截面对一点的极惯性矩，等于截面对以该点为原点的任意两正交坐标轴的惯性矩之和。

）

3.惯性积

Ixy=⎰AxydA

（其值可为正、为负或为零）

结论：

截面对于包含对称轴在内

的一对正交轴的惯性积为0。

4.惯性半径

iy

y=I

Aix=Ix

A（单位：

长度的一次方）

例I—3：

试计算矩形截面对于其对称轴（即形心轴）x和y的惯性矩。

解：

取平行于x轴的狭长条

则dA=bdy

2h

2h-2

3Ix=⎰AydA=⎰

同理bhbydy=1223hbIy=

12思考题I—1：

平行四边形对形心轴x的惯性矩应怎样计算？

§I-3平行移轴公式

1.平行移轴公式推导左图是一面积为A的任意形状的平面，c为其形心，xcyc为形心坐标轴。

与该形心坐标轴分别平行的任意坐标轴为xy,形心c在oxy坐标系下的坐标为（a,b）任意微面元dA在两坐标系下的

坐标关系为：

x=

xC+by=yC+a

　=⎰ydA=⎰（yc+a）dAIx　AA22

=⎰ycdA+2a⎰ycdA+aAA22⎰AdA=Ixc+Sxc+aA

=Ixc+aA22

同理，有：

⎧⎪Iy=Iyc+bA⎨I=I+abA⎪xyxycc⎩2注：

式中的a、b代表坐标值，有时可能取负值。

例I—4：

求图示直径为d的半圆对其自身形心轴xc的惯性矩。

解：

（1）求形心坐标b（y）=2R2-y2dSx=⎰AydA=⎰20yb（y）dyd3=⎰20y⋅2R2-y2dy=d123y=Sxd2dcA=πd2=3π

（2）求对形心轴xc的惯性矩

πd44

Iπd

x=2=128

思考题I—2：

O为直角三角形ABD斜边上的中点，x、y轴为过点Ｏ且分别平行于两条直角边的两根轴，关于惯性积和惯性矩有四种答案（已知b>a）：

（A）Ixy＞０（B）Ixy<０

（C）Ixy=０（D）Ix=IyA（思考题I—2）x（思考题Ibx

思考题I—3：

x、y轴是过斜边中点的任意一对坐标轴（即图中α:

（1）惯性积Ixy＝＿＿

（2）惯性矩Ix＝＿＿、Iy＿＿＿。

目录

§I-4惯性矩和惯性积的转轴公式.截面的

主惯性轴和主惯性矩

1.转轴公式

新坐标系ox1y1旧坐标系oxyx1=xcosα+ysinαy1=ycosα-xsinα将上述关系代入平面图形对x1轴的惯性矩：

Ix1=

⎰y2A1dA

规定：

上式中的α的符号为：

逆时针为正，顺时针为负。

讨论：

将上述转轴公式中的前两式相加可得：

Ix1+Iy1=Ix+Iy

即，截面对于通过同一点的任意一对相互垂直的坐标轴的两惯性矩之和为一常数，并等于截面对该坐标原点的极惯性矩。

2.截面的主惯性轴和主惯性矩

从惯性积的转轴公式可推知，随着坐标轴旋转，惯性积将随着α角作周期性变化，且有正有负。

因此，必有一特定的角度α0，使截面对与该角对应的新坐标轴x0、y0的惯性积为零。

依此进行如下定义：

（1）主惯性轴:

截面对其惯性积等于0的一对坐标轴。

（2）主惯性矩:

截面对于主惯性轴的惯性矩。

（3）形心主惯性轴：

当一对主惯性轴的交点与截面的形心重合时。

（4）形心主惯性矩:

截面对于形心主惯性轴的惯性矩。

3.主惯性轴位置的确定

设坐标轴转动角度为α0，则由惯性积的转轴公式及主惯性轴的定义，得：

Ix-Iy

2

经整理，得sin2α0+Ixycos2α0=0

tan2α0=-2Ixy

Ix-Iy

4.主惯性矩的确定

由上面tan2α0的表达式求出cos2α0、sin2α0后，再代入惯性矩的转轴公式，化简后可得主惯性矩的计算公式如下：

例I—6：

计算截面的形心主惯性矩。

解：

作形心坐标轴xcyc

图所示。

（1）求形心坐标：

（a

Ⅰ,bⅠ）、（aⅡ,bⅡ）

、Iyc1,Ixc2、Iyc2

（3）由平行移轴公式求整个截面的Ixc、Iyc、Ixcyc如

4）由转轴公式得

tan2α0=

-2IxcycIxc-Iyc

=1.093

y2α0=227.6α0=113.8

Ixc0=Imax=

Ixc+Iyc

2

1+2

=321⨯10

4

mm

4

4

Iyc0=Imin=

Ixc+Iyc

2

1-2

I

xc

-Iyc

2

+4I

2xcyc

=57.4⨯10

mm

4

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