三角函数关系.docx
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三角函数关系
cos（α+β）=cosα·cosβ-sinα·sinβ
cos（α-β）=cosα·cosβ+sinα·sinβ
sin（α±β）=sinα·cosβ±cosα·sinβ
tan（α+β）=（tanα+tanβ）/（1-tanα·tanβ）
tan（α-β）=（tanα-tanβ）/（1+tanα·tanβ）
sin（2α）=2sinα·cosα=2/（tanα+cotα）
cos（2α）=（cosα）^2-（sinα）^2=2（cosα）^2-1=1-2（sinα）^2
tan（2α）=2tanα/（1-tan^2α）
它有六种基本函数（初等基本表示）：
（斜边为r，对边为y，邻边为x。
）
在平面直角坐标系xOy中，从点O引出一条射线OP，设旋转角为θ，设OP=r，P点的坐标为（x，y）有
正弦函数sinθ=y/r 正弦（sin）:
角α的对边比上斜边
余弦函数cosθ=x/r 余弦（cos）:
角α的邻边比上斜边
正切函数tanθ=y/x 正切（tan）:
角α的对边比上邻边
余切函数cotθ=x/y 余切（cot）:
角α的邻边比上对边
正割函数secθ=r/x 正割（sec）:
角α的斜边比上邻边
余割函数cscθ=r/y 余割（csc）:
角α的斜边比上对边
以及两个不常用，已趋于被淘汰的函数：
正矢函数versinθ=1-cosθ
余矢函数coversθ=1-sinθ
[编辑本段]
基本公式
同角三角函数关系式
·平方关系：
sin^2（α）+cos^2（α）=1
cos^2（a）=（1+cos2a）/2
tan^2（α）+1=sec^2（α）
sin^2（a）=（1-cos2a）/2
cot^2（α）+1=csc^2（α）
·积的关系：
sinα=tanα×cosα
cosα=cotα×sinα
tanα=sinα×secα
cotα=cosα×cscα
secα=tanα×cscα
cscα=secα×cotα
·倒数关系：
tanα·cotα＝1
sinα·cscα＝1
cosα·secα＝1
·商的关系：
sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα
cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα
直角三角形ABC中,
角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,
余弦等于角A的邻边比斜边
正切等于对边比邻边,
·对称性
180度-α的终边和α的终边关于y轴对称。
-α的终边和α的终边关于x轴对称。
180度+α的终边和α的终边关于原点对称。
180度-α的终边关于y=x对称。
·诱导公式
sin（-a）=-sin（a）
cos（-a）=cos（a）
sin（π/2-a）=cos（a）
cos（π/2-a）=sin（a）
sin（π/2+a）=cos（a）
cos（π/2+a）=-sin（a）
sin（π-a）=sin（a）
cos（π-a）=-cos（a）
sin（π+a）=-sin（a）
cos（π+a）=-cos（a）
tgA=tanA=sinA/cosA
·两角和与差的三角函数
sin（a+b）=sin（a）cos（b）+cos（a）sin（b）
cos（a+b）=cos（a）cos（b）-sin（a）sin（b）
sin（a-b）=sin（a）cos（b）-cos（a）sin（b）
cos（a-b）=cos（a）cos（b）+sin（a）sin（b）
tan（a+b）=（tan（a）+tan（b））/（1-tan（a）tan（b））
tan（a-b）=（tan（a）-tan（b））/（1+tan（a）tan（b））
·三角函数和差化积公式
sin（a）+sin（b）=2sin（（a+b）/2）cos（（a-b）/2）
sin（a）−sin（b）=2cos（（a+b）/2）sin（（a-b）/2）
cos（a）+cos（b）=2cos（（a+b）/2）cos（（a-b）/2）
cos（a）-cos（b）=-2sin（（a+b）/2）sin（（a-b）/2）
·积化和差公式
sin（a）sin（b）=-1/2*[cos（a+b）-cos（a-b）]
cos（a）cos（b）=1/2*[cos（a+b）+cos（a-b）]
sin（a）cos（b）=1/2*[sin（a+b）+sin（a-b）]
·二倍角公式
sin（2a）=2sin（a）cos（a）
cos（2a）=（cosa）^2-（sina）^2=2（cosa）^2-1=1-2（sina）^2
·半角公式
sin^2a/2）=（1-cos（a））/2cos^2（a/2）=（1+cos（a））/2
tan（a/2）=（1-cosa/sin（a）=sin（a）/（1+cos（a））
·万能公式
sin（a）=（2tan（a/2））/（1+tan^2（a/2））
cos（a）=（1-tan^2（a/2））/（1+tan^2（a/2））
tan（a）=（2tan（a/2））/（1-tan^2（a/2））
·其它公式
a*sin（a）+b*cos（a）=sqrt（a^2+b^2）sin（a+c）[其中，tan（c）=b/a]
a*sin（a）-b*cos（a）=sqrt（a^2+b^2）cos（a-c）[其中，tan（c）=a/b]
1+sin（a）=（sin（a/2）+cos（a/2））^21-sin（a）=（sin（a/2）-cos（a/2））^2其他非重点三角函数
csc（a）=1/sin（a）sec（a）=1/cos（a）
cos30=sin60
sin30=cos60
恒等变形公式
·两角和与差的三角函数：
cos（α+β）=cosα·cosβ-sinα·sinβ
cos（α-β）=cosα·cosβ+sinα·sinβ
sin（α±β）=sinα·cosβ±cosα·sinβ
tan（α+β）=（tanα+tanβ）/（1-tanα·tanβ）
tan（α-β）=（tanα-tanβ）/（1+tanα·tanβ）
·三角和的三角函数：
sin（α+β+γ）=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ
cos（α+β+γ）=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ
tan（α+β+γ）=（tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ）/（1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα）
·辅助角公式：
Asinα+Bcosα=√（A^2+B^2）sin（α+arctan（B/A）），其中
sint=B/√（A^2+B^2）
cost=A/√（A^2+B^2）
tant=B/A
Asinα-Bcosα=√（A^2+B^2）cos（α-t），tant=A/B
·倍角公式：
sin（2α）=2sinα·cosα=2/（tanα+cotα）
cos（2α）=（cosα）^2-（sinα）^2=2（cosα）^2-1=1-2（sinα）^2
tan（2α）=2tanα/（1-tan^2α）
·三倍角公式：
sin（3α）=3sinα-4sin^3α=4sinα·sin（60°+α）sin（60°-α）
cos（3α）=4cos^3α-3cosα=4cosα·cos（60°+α）cos（60°-α）
tan（3α）=（3tanα-tan^3α）/（1-3tan^2α）=tanαtan（π/3+α）tan（π/3-α）
·半角公式：
sin（α/2）=±√（（1-cosα）/2）
cos（α/2）=±√（（1+cosα）/2）
tan（α/2）=±√（（1-cosα）/（1+cosα））=sinα/（1+cosα）=（1-cosα）/sinα
·降幂公式
sin^2α=（1-cos（2α））/2=versin（2α）/2
cos^2α=（1+cos（2α））/2=covers（2α）/2
tan^2α=（1-cos（2α））/（1+cos（2α））
·万能公式：
sinα=2tan（α/2）/[1+tan^2;（α/2）]
cosα=[1-tan^2;（α/2）]/[1+tan^2;（α/2）]
tanα=2tan（α/2）/[1-tan^2;（α/2）]
·积化和差公式：
sinα·cosβ=（1/2）[sin（α+β）+sin（α-β）]
cosα·sinβ=（1/2）[sin（α+β）-sin（α-β）]
cosα·cosβ=（1/2）[cos（α+β）+cos（α-β）]
sinα·sinβ=-（1/2）[cos（α+β）-cos（α-β）]
·和差化积公式：
sinα+sinβ=2sin[（α+β）/2]cos[（α-β）/2]
sinα-sinβ=2cos[（α+β）/2]sin[（α-β）/2]
cosα+cosβ=2cos[（α+β）/2]cos[（α-β）/2]
cosα-cosβ=-2sin[（α+β）/2]sin[（α-β）/2]
·推导公式
tanα+cotα=2/sin2α
tanα-cotα=-2cot2α
1+cos2α=2cos^2α
1-cos2α=2sin^2α
1+sinα=[sin（α/2）+cos（α/2）]^2
·其他：
sinα+sin（α+2π/n）+sin（α+2π*2/n）+sin（α+2π*3/n）+……+sin[α+2π*（n-1）/n]=0
cosα+cos（α+2π/n）+cos（α+2π*2/n）+cos（α+2π*3/n）+……+cos[α+2π*（n-1）/n]=0
以及
sin^2（α）+sin^2（α-2π/3）+sin^2（α+2π/3）=3/2
tanAtanBtan（A+B）+tanA+tanB-tan（A+B）=0
cosx+cos2x+...+cosnx=[sin（n+1）x+sinnx-sinx]/2sinx
证明：
左边=2sinx（cosx+cos2x+...+cosnx）/2sinx
=[sin2x-0+sin3x-sinx+sin4x-sin2x+...+sinnx-sin（n-2）x+sin（n+1）x-sin（n-1）x]/2sinx（积化和差）
=[sin（n+1）x+sinnx-sinx]/2sinx=右边
等式得证
sinx+sin2x+...+sinnx=-[cos（n+1）x+cosnx-cosx-1]/2sinx
证明:
左边=-2sinx[sinx+sin2x+...+sinnx]/（-2sinx）
=[cos2x-cos0+cos3x-cosx+...+cosnx-cos（n-2）x+cos（n+1）x-cos（n-1）x]/（-2sinx）
=-[cos（n+1）x+cosnx-cosx-1]/2sinx=右边
等式得证
三倍角公式推导
sin3a
=sin（2a+a）
=sin2acosa+cos2asina
=2sina（1-sin^2a）+（1-2sin^2a）sina
=3sina-4sin^3a
cos3a
=cos（2a+a）
=cos2acosa-sin2asina
=（2cos^2a-1）cosa-2（1-cos^2a）cosa
=4cos^3a-3cosa
sin3a=3sina-4sin^3a
=4sina（3/4-sin^2a）
=4sina[（√3/2）^2-sin^2a]
=4sina（sin^260°-sin^2a）
=4sina（sin60°+sina）（sin60°-sina）
=4sina*2sin[（60+a）/2]cos[（60°-a）/2]*2sin[（60°-a）/2]cos[（60°+a）/2]
=4sinasin（60°+a）sin（60°-a）
cos3a=4cos^3a-3cosa
=4cosa（cos^2a-3/4）
=4cosa[cos^2a-（√3/2）^2]
=4cosa（cos^2a-cos^230°）
=4cosa（cosa+cos30°）（cosa-cos30°）
=4cosa*2cos[（a+30°）/2]cos[（a-30°）/2]*{-2sin[（a+30°）/2]sin[（a-30°）/2]}
=-4cosasin（a+30°）sin（a-30°）
=-4cosasin[90°-（60°-a）]sin[-90°+（60°+a）]
=-4cosacos（60°-a）[-cos（60°+a）]
=4cosacos（60°-a）cos（60°+a）
上述两式相比可得
tan3a=tanatan（60°-a）tan（60°+a）
诱导公式
公式一：
设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin（2kπ＋α）＝sinα
cos（2kπ＋α）＝cosα
tan（kπ＋α）＝tanα
cot（kπ＋α）＝cotα
公式二：
设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：
sin（π＋α）＝－sinα
cos（π＋α）＝－cosα
tan（π＋α）＝tanα
cot（π＋α）＝cotα
公式三：
任意角α与-α的三角函数值之间的关系：
sin（－α）＝－sinα
cos（－α）＝cosα
tan（－α）＝－tanα
cot（－α）＝－cotα
公式四：
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π－α）＝sinα
cos（π－α）＝－cosα
tan（π－α）＝－tanα
cot（π－α）＝－cotα
公式五：
利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（2π－α）＝－sinα
cos（2π－α）＝cosα
tan（2π－α）＝－tanα
cot（2π－α）＝－cotα
公式六：
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π/2＋α）＝cosα
cos（π/2＋α）＝－sinα
tan（π/2＋α）＝－cotα
cot（π/2＋α）＝－tanα
sin（π/2－α）＝cosα
cos（π/2－α）＝sinα
tan（π/2－α）＝cotα
cot（π/2－α）＝tanα
sin（3π/2＋α）＝－cosα
cos（3π/2＋α）＝sinα
tan（3π/2＋α）＝－cotα
cot（3π/2＋α）＝－tanα
sin（3π/2－α）＝－cosα
cos（3π/2－α）＝－sinα
tan（3π/2－α）＝cotα
cot（3π/2－α）＝tanα
（以上k∈Z）
补充：
6×9＝54种诱导公式的表格以及推导方法（定名法则和定号法则）
f（β）→
f（β）＝↘
β↓
sinβ
cosβ
tanβ
cotβ
secβ
cscβ
360k+α
sinα
cosα
tanα
cotα
secα
cscα
90°-α
cosα
sinα
cotα
tanα
cscα
secα
90°+α
cosα
-sinα
-cotα
-tanα
-cscα
secα
180°-α
sinα
-cosα
-tanα
-cotα
-secα
cscα
180°+α
-sinα
-cosα
tanα
cotα
-secα
-cscα
270°-α
-cosα
-sinα
cotα
tanα
-cscα
-secα
270°+α
-cosα
sinα
-cotα
-tanα
cscα
-secα
360°-α
-sinα
cosα
-tanα
-cotα
secα
-cscα
﹣α
-sinα
cosα
-tanα
-cotα
secα
-cscα
定名法则
90°的奇数倍+α的三角函数，其绝对值与α三角函数的绝对值互为余函数。
90°的偶数倍+α的三角函数与α的三角函数绝对值相同。
也就是“奇余偶同，奇变偶不变”
定号法则
将α看做锐角（注意是“看做”），按所得的角的象限，取三角函数的符号。
也就是“象限定号，符号看象限”.（或为“奇变偶不变，符号看象限”
2在Kπ/中如果K为奇数时函数名不变，若为偶数时函数名变为相反的函数名。
正负号看原函数中α所在象限的正负号。
关于正负号有可口诀；一全二正弦，三切四余弦，即第一象限全部为正，第二象限角正弦为正，第三为正切为正，第四象限余弦为正。
）
比如:
90°+α。
定名：
90°是90°的奇数倍，所以应取余函数；定号：
将α看做锐角，那么90°+α是第二象限角，第二象限角的正弦为正，余弦为负。
所以sin（90°+α）=cosα,cos（90°+α）＝-sinα这个非常神奇，屡试不爽~
还有一个口诀“纵变横不变，符号看象限”，例如：
sin（90°+α），90°的终边在纵轴上，所以函数名变为相反的函数名，即cos，将α看做锐角，那么90°+α是第二象限角，第二象限角的正弦为正，所以sin（90°+α）=cosα
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相关计算
幂级数
c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn（n=0..∞）
c0+c1（x-a）+c2（x-a）2+...+cn（x-a）n+...=∑cn（x-a）n（n=0..∞）
它们的各项都是正整数幂的幂函数,其中c0,c1,c2,...及a都是常数,这种级数称为幂级数.
泰勒展开式（幂级数展开法）:
f（x）=f（a）+f'（a）/1!
*（x-a）+f''（a）/2!
*（x-a）2+...f（n）（a）/n!
*（x-a）n+...
实用幂级数：
ex=1+x+x2/2!
+x3/3!
+...+xn/n!
+...
ln（1+x）=x-x2/3+x3/3-...（-1）k-1*xk/k+...（|x|<1）
sinx=x-x3/3!
+x5/5!
-...（-1）k-1*x2k-1/（2k-1）!
+...（-∞ cosx=1-x2/2!
+x4/4!
-...（-1）k*x2k/（2k）!
+...（-∞ arcsinx=x+1/2*x3/3+1*3/（2*4）*x5/5+...（|x|<1）
arccosx=π-（x+1/2*x3/3+1*3/（2*4）*x5/5+...）（|x|<1）
arctanx=x-x^3/3+x^5/5-...（x≤1）
sinhx=x+x3/3!
+x5/5!
+...（-1）k-1*x2k-1/（2k-1）!
+...（-∞ coshx=1+x2/2!
+x4/4!
+...（-1）k*x2k/（2k）!
+...（-∞ arcsinhx=x-1/2*x3/3+1*3/（2*4）*x5/5-...（|x|<1）
arctanhx=x+x^3/3+x^5/5+...（|x|<1）
在解初等三角函数时，只需记住公式便可轻松作答，在竞赛中，往往会用到与图像结合的方法求三角函数值、三角函数不等式、面积等等。
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傅立叶级数（三角级数）
f（x）=a0/2+∑（n=0..∞）（ancosnx+bnsinnx）
a0=1/π∫（π..-π）（f（x））dx
an=1/π∫（π..-π）（f（x）cosnx）dx
bn=1/π∫（π..-π）（f（x）sinnx）dx
三角函数的数值符号
正弦 第一，二象限为正， 第三，四象限为负
余弦 第一，四象限为正 第二，三象限为负
正切 第一，三象限为正 第二，四象限为负
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相关概念
三角形与三角函数
1、正弦定理：
在三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等，即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R．（其中R为外接圆的半径）
2、第一余弦定理：
三角形中任意一边等于其他两边以及对应角余弦的交叉乘积的和，即a=ccosB+bcosC
3、第二余弦定理：
三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方之和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍，即a²=b²+c²-2bccosA
4、正切定理（napier比拟）：
三角形中任意两边差和的比值等于对应角半角差和的正切比值，即（a-b）/（a+b）=tan[（A-B）/2]/tan[（A+B）/2]=tan[（A-B）/2]/cot（C/2）
5、三角形中的恒等式：
对于任意非直角三角形中,如三角形ABC,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
证明:
已知（A+B）=（π-C）
所以tan（A+B）=tan（π-C）
则（tanA+tanB）/（1-tanAtanB）=（tanπ-tanC）/（1+tanπtanC）
整理可得
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
类似地,我们同样也可以求证:
当α+β+γ=nπ（n∈Z）时，总有tanα+tanβ+tanγ=tanαtanβtanγ
三角函数图像
三角函数图像：
定义域和值域
sin（x）,cos（x）的定义域为R,值域为〔-1,1〕
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