14第12章模态分析及反应谱分析李永双.docx
《14第12章模态分析及反应谱分析李永双.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《14第12章模态分析及反应谱分析李永双.docx（36页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
14第12章模态分析及反应谱分析李永双
第12章模态分析及反应谱分析
经典物理学告诉我们，我们所在的物理世界是一个动态的世界，静止只是相对的，荷载作用过程及结构的响应本质是一个动态的过程。
结构分析和设计所需要解决的威胁结构安全的主要因素——地震作用和风作用，也是典型的动力作用，因此对于结构进行一定水平动力分析就是十分必要的。
目前结构分析和设计领域的理论发展水平，也为我们提供了若干的结构拟动力分析和精确动力分析方法，本章和下一章的主要任务就是基于这些理论方法，阐述其在SAP2000中的实现和使用细节。
在结构动力分析中，结构动力响应的求解是基于结构中质量系统的动力平衡方程来完成的，基于经典物理定律，方程（12.1）给出了一个多自由度集中质量系统的动力平衡方程，它是一个关于时间的函数：
（12.1）
其中，FI（t）是作用在节点质量上的惯性力向量；FD（t）是粘滞阻尼力向量或者能量耗散力向量；FS（t）是结构承担的内力向量；F（t）是外部施加的荷载向量。
方程（12.1）是从经典物理学概念出发，对于结构系统，我们更为熟悉的是下面的二阶线性微分方程组：
（12.2）
其中M是质量矩阵，C是一个粘滞阻尼矩阵，而K是结构单元系统的静力刚度矩阵，时间相关的向量
、
和
分别是节点绝对位移、速度和加速度。
对于地震作用，基于方程（12.2）中外部荷载F（t）等于零，可以写成：
（12.3）
其中
是自由场地面位移
的三个分量。
结构动力分析的主要任务就是求解方程（12.2），基于目前数值分析理论水平，它的求解并不是很复杂。
对于结构分析最主要的一个方面地震作用分析，则可以将任务具体到对于动力平衡方程（12.3）的求解。
有些不同的经典方法可以用于求解方程（12.3），而且这些方法基本上都可以使用SAP2000程序完成，本章将对其逐一进行阐述。
12.1模态分析
模态分析也被称为振型叠加法动力分析，是线性结构系统地震分析中的最常用而且最有效的方法。
它最主要的优势在于在计算一组正交向量之后，可以将大型整体平衡方程组缩减为相对数量较少的解耦的二阶微分方程，明显减少了用于数值求解这些方程的计算时间。
使用SAP2000程序对于结构进行的模态分析将为我们提供结构基本性能参数，帮助我们对结构响应进行定性的判断，并提供相关结构概念设计需求。
模态分析为结构相关静力分析提供相关结构性能，包括结构静力地震作用分析和静力风荷载作用分析；模态分析还是其它动力分析的基础，包括反应谱分析和时程分析。
12.1.1模态分析的基本理论
1.由动力方程转换为微分方程
针对于地震作用的结构系统动力平衡方程（12.3），可以按下列方式重写成一组Nd二阶微分方程：
（12.4）
其中fj是J空间向量，该向量不随时间发生变化，gj（t）是第j个与时间相关的函数，一般情况下，在结构分析过程中考虑的动力荷载，包括地震作用、风荷载等都可以使用这两个量的乘积去表达。
动力自由度的数量等于系统中集中节点质量的数量。
如果需要，我们可以对方程（12.4）进行静力凝聚以消除无质量位移，它可以减少所要求解的动力平衡方程的数量，提高计算效率。
例如比较典型的，在建筑结构分析过程中，我们经常会指定水平的刚性楼板，每个刚性楼板只有表现在三个方向的一个集中质量，对于自由度的减少是非常明显的，因此这种方法经常在建筑结构分析程序中应用。
然而，静力凝聚明显增加了凝聚后刚度矩阵的密度和带宽。
并且对于比较复杂的空间结构系统的动力求解，静力凝聚方法可能并不会很有效。
基于以上两点，并考虑SAP2000所针对的结构体系类型大部分并非建筑结构，因此，目前SAP2000不使用静力凝聚。
2.模态方程的生成
求解方程（12.4）的基本数学方法是分离变量法。
为了完成变量分离，可以假设解的表达形式为：
（12.5a）
其中是一个Nd×N矩阵，该矩阵包含N个非时间函数的空间向量，而Y（t）是一个包含N个时间函数的向量。
从方程（12.5a）可以导出：
（12.5b）
（12.5c）
在求解之前，要求空间函数满足下列质量和刚度正交性条件：
TM=I，TK=Ω2，其中I为一个对角单位矩阵，Ω2是一个对角项为
的对角矩阵。
把方程（12.5a）至（12.5c）代入方程（12.4），然后前乘T，产生以下N个矩阵方程：
（12.6）
其中pj=Tf并定义为荷载函数j的模态参与系数。
d为阻尼矩阵，一般情况下并不一定是对角矩阵。
为了解耦模态方程，将模态阻尼的对角项定义为
，形成假设在振型之间无耦合的典型阻尼。
其中ξn定义为第n振型中的阻尼与该振型的临界阻尼之比。
于是方程（12.6）变为：
（12.7）
上面方程（12.7）是一个非耦合的典型线性结构系统的模态方程，而对于三维地震运动，模态方程可以写为：
（12.8）
其中三维模态参与系数或在此工况中的地震激励系数，由
定义，其中j是x、y或z，而n是振型数。
3.模态方程一般求解方法
上面（12.7）式给出了非耦合的典型线性结构系统的模态方程，对于这一典型模态方程有许多不同方法可以进行求解，比如我们比较熟悉的快速Fourier变换法或Duhamel积分数值计算等等。
不过SAP2000使用了分段多项式方法进行模态方程的求解，这一方法是在较小时间增量内使用多项式近似出来的荷载精确解，是计算机程序对此方程进行数值求解的最经济和最精确的方法。
分段多项式方法的另外一个优点是它没有稳定性问题，也不会引入数值阻尼。
因为多数地震地面加速度在0.005s间隔内被定义为线性的，所以对于所有频率的该类型荷载而言，此方法是准确的。
SAP2000程序使用了一种非常简单但又很强大的递归关系，使得多项式模拟精确解的方法计算效率有了很大的提高。
由于此精确分段多项式技术方法速度快，因此它也可以用来以很少的计算时间建立精确地震反应谱。
应用这一递归关系的分段多项式求解技术对于任意荷载、瞬时荷载、动力荷载的初始条件都是十分有效的，因此也可以把这种求解法用于任意周期荷载。
另外对于模态方程的求解，还需要指出模态截取的问题，在SAP2000模态分析工况定义时，需要我们确定模态分析过程中最大模态数目。
由于地震运动只激励结构的较低频率，所以，基本荷载数据不包含超过50Hz的信息。
因此，忽略较高频率和系统振型通常不会引入误差。
这也是我们在工程分析和设计中一直在使用的方法。
12.1.2SAP2000模态分析中质量源定义
从前面的论述中可以看到，结构动力分析是基于集中节点质量的动力响应和基本平衡方程的，因此精确描述结构系统质量分布就成为结构动力分析的基础。
结构质量首先包含构件单元自身质量在节点的集中，但不仅限于此，比如我们比较熟悉的填充墙，由于并非主要抗侧力构件，一般在计算模型中并不会输入，但是在结构动力分析中填充墙质量却是绝对不能够忽略的。
这时我们就需要将这部分质量以另一种方式进行考虑，这样此类问题就可以使用质量源的定义来完成。
质量源是SAP2000中一个非常重要的概念，它定义了结构动力分析所需要考虑的结构质量的计算方式。
它把程序中结构的质量和自重这两个概念加以清晰的区分并建立相互间可以进行多重定义的联系。
在中国规范中，结构动力分析以及结构地震作用计算基于建筑的重力荷载代表值。
重力荷载代表值实际上给出的是一个质量计算方式，定义了求解地震作用时结构质量的计算方法，它同样可以并且需要通过质量源的定义实现。
因此在使用中国规范进行结构分析和设计时需要特别注意质量源的概念。
1.SAP2000中的质量和重量
在SAP2000中结构构件自身的质量和重量计算分别基于材料定义中密度和重度两个参数。
默认情况下，SAP2000自动计算所有构件的重量，如图12-1的定义静载工况名对话框所示。
在定义静载工况名对话框中DEAD类型荷载为结构恒荷载，自重乘数将一定比例的结构自重作为DEAD工况的荷载施加在结构上。
当自重乘数定义为1.0（默认值）时，SAP2000将全部自重转换为DEAD工况的荷载。
当自重乘数定义为0时，结构将不计算结构自重产生的恒荷载。
将自重乘数定义为小于1的正数，表示将自重的一部分添加到DEAD工况的荷载中。
图12-1静荷载工况定义对话框
SAP2000中的质量可以由几个方面组成。
它包括了结构构件的质量这一基本的参量（它是基于结构构件材料的密度信息，并且与结构构件自重相对应），还包括荷载通过重力加速度关系转化的质量，以及通过点、线或面指定的附加质量信息。
前面所谈到的填充墙质量就可以通过由其自重产生施加在结构上荷载转化为质量，其中使用的重力加速度值是程序默认的9.81m/s2，这一参量是不能被修改的。
附加质量与结构自身质量不同，它仅增加结构质量，不产生自重而增加重力荷载，因此对结构的静力分析不会产生影响。
由于结构动力分析的需求，在SAP2000中，可以根据不同方式定义不同的质量信息。
2.质量源的定义
在结构动力分析之前，必须要先定义质量源参数。
SAP2000给出了质量源的三种定义方式。
定义质量源时，需要点击定义>质量源命令，弹出定义质量源对话框（图12-2）。
图12-2质量源定义对话框
■来自对象和附加质量
这是默认的质量源选项。
采用这种方法时，所有外加的荷载不会转换为结构质量。
此时，结构的质量由结构的构件体积乘以构件材料的密度（材料属性数据对话框中的密度一项）产生。
利用这一选项，不能直接满足中国规范要求的重力荷载代表值要求。
■来自荷载
此方法定义的质量来源于荷载，可以在此处定义抗震规范的重力荷载代表值组合方式，然后将其按比例转化为质量信息。
按抗震规范第5.1.3条的规定，自重、附加恒荷载的系数为1.0，活荷载的系数是0.5。
结构的质量等于组合后求得的荷载除以重力加速度g。
注意，此方法的概念是将荷载转化为质量。
所以它的准确度是基于参与荷载的准确度，如果施加的荷载有误，则通过这种方法求得的结构质量也是错误的。
■来自对象,附加质量以及荷载
此方法计算的质量是按第一、二种方法求得的质量之和。
在实际工程中采用此方法时，为了构建中国规范要求的重力荷载代表值，在定义荷载的质量乘数一栏中一般只需要定义可变荷载的质量乘数，质量乘数值为抗震规范表5.1.3中的组合系数，而不应包括恒荷载。
如果用户使用此方法时在定义荷载的质量乘数一栏指定了恒荷载，结构自身的质量将被计算两遍而出现错误。
12.1.3特征向量法和Ritz向量法
前面我们所讨论的模态分析方法是非耦合线性结构或已经解耦的线性结构模态分析的基本方法，因此对于耦合线性结构，必须先要对结构采用适当的方法进行解耦。
使用适当的方法对结构模态方程进行解耦也是动力分析重要的一个部分，在早期地震工程学中，动力分析的Rayleigh-Ritz方法广泛地用于计算近似解。
随着高速计算机的发展，精确特征向量取代了Ritz向量并成为地震分析基础。
现在SAP2000版本中除了提供精确的特征向量法分析外，还提供了与荷载相关的Ritz向量（LDR）分析法，LDR向量能用于线性和非线性结构的动力分析,与精确特征向量法相比，新的修正Ritz方法用更少的计算工作量可产生更精确的结果。
除此以外，Ritz向量法自动包含了静态凝聚数字技术、Guyuan消减和对于较高振型截取的静态修正等优点。
下面我们将从经典模态方程出发，简单阐述一下两种模态分析方法的基本理论。
1.特征向量法
为了解耦（12.3）式的动力平衡方程，需要计算方程特征向量与特征值。
特征向量分析方法确定系统的无阻尼自由振动的振型形状和频率。
它是对一般特征值问题的求解，典型的无阻尼自由振动的平衡方程由下式给出：
（12.9）
其中，K为刚度矩阵；M为对角质量矩阵；λ=ω2，是特征值的对角矩阵，ω为圆频率，是相应的特征向量（即振型形状）。
特征向量分析方法中使用的刚度矩阵与静力分析的刚度矩阵是一致的。
可以使用行列式搜索法、逆迭代法、子空间迭代法等方法进行（12.9）平衡方程的特征向量分析。
目前SAP2000程序使用了相对更加稳定的子空间迭代法进行特征向量分析。
程序所使用的子空间块迭代算法可以参见中国建筑工业出版社出版的Wilson的著作《结构静力与动力分析》，由于本书篇幅所限，在此不再过多描述。
2.Ritz向量法
改进的Ritz向量法（简称LDR方法），即与荷载相关的Ritz向量法的物理基础是认可结构动态响应是空间荷载分布的函数。
弹性结构的无阻尼动态平衡方程可写成以下形式：
（12.10）
对于结构动力分析所经常考虑的地震作用或风荷载工况，与我们前面所谈到的相同，方程（12.10）中作用在结构上的与时间相关的荷载R（t）可写作：
（12.11）
方程中独立的荷载模式F不是时间的函数。
在地震作用分析时，这些荷载模式是结构方向的质量分布函数；在风荷载工况中，顺风平均风压是这些向量之一。
使用相关数值技术，时间函数G（t）总能展开为正弦和余弦函数的Fourier级数。
因此，如果忽略阻尼，则要求解的典型动态平衡方程为以下形式：
（12.12）
因此，典型荷载频率
的精确动态响应为以下形式：
（12.13）
由于方程（12.13）中荷载频率是未知的，因此不能对该方程进行直接求解。
但是基于相关推导，可以得到下列相关递归方程：
（12.14）
SAP2000和ETABS都使用了LDR方法的。
LDR方法考虑了动力荷载的空间分布，因此可以得到更精确的结果。
在分析过程中，第一个向量块是来自于结构上荷载模式的静态响应，这就是我们在Ritz向量法定义时需要指定初始向量的原因，也就是说当我们定义了初始向量后，第一个向量块的静态响应就来源于该初始荷载向量。
另外，对于只有在质量自由度状态下才施加荷载的工况，LDR向量总是精确特征向量的线性组合。
对于初始向量的选择，一般可以使用动力荷载的空间分布向量作为一个初始荷载向量。
程序允许在三个自由方向的加速度、静力荷载工况和内嵌非线性变形荷载中选择初始向量，可以指定任意数量的初始向量。
其中内嵌非线性变形荷载只有在结构分析所进行的振型非线性时程分析是基于模态分析工况的情况下才是需要的，这时在荷载类型中添加连接荷载，在荷载名中选择All选项。
对于反应谱分析必须在初始向量中添加质量自由度方向的加速度荷载。
对于时程分析，在每个荷载工况或任意时程工况使用的加速度荷载中，一个初始向量是必须的。
3.特征向量法和Ritz向量法的对比
SAP2000提供了特征向量法和Ritz向量法两种模态解耦的基本方法，原因是对于大型结构系统，求解自由振动振型和频率的特征值问题可能需要大量的计算工作，这时单纯的特征向量分析就可能变得比较困难，并且在自由振动振型的计算中，完全忽视荷载的空间分布。
由于计算的许多振型对荷载是正交的并且不参与动态响应，因此耗费大量精力所得到结构振动振型并不一定能够提高计算的精度，甚至有些时候没有任何帮助，这是特征向量法分析所存在的主要问题。
但是相比而言的Ritz向量法，由于所有求得的特征向量都是与荷载相关的，因此避免了不参与动态响应的对于结构精度没有帮助的振型的计算，将有限的计算时间全部用于对于结果精度有增进的振型计算中。
换句话说，在考虑相同的计算振型数目的前提下，使用LDR方法将得到更精确的结果，也可以得到规范所要求的更高的结构质量参与系数。
除此以外，如果在无质量自由度状态下施加动力荷载，那么在振型叠加分析中即使使用精确的振型，也不会收敛到精确解，并且在施加荷载处附近的位移和应力会有明显误差。
因此，如果把精确特征向量用于这样的问题，就没有必要应用本应需要的“静态校正法”。
有可能用最少的计算工作量来计算一组刚度和质量正交的Ritz向量。
对荷载的任何空间分布而言，这都会收敛到精确解。
我们都知道对于特征向量法分析，因为必须指定振型数目的截断位置，因此会带来高阶振型的截断误差，这对于对高阶振型敏感的结构的结果精度影响是非常大的。
相比较因为初始向量集包含了“静态响应”，LDR方法避免了高阶振型截取所带来的误差，可以证明，基于唯一一组荷载相关向量的动力分析，可产生比使用相同数量的精确振型法更精确的结果。
12.1.4质量参与系数和荷载参与系数
SAP2000程序分别输出了模态分析中结构的质量参与系数、静荷载参与系数和动荷载参与系数，它们总体反映了模态分析截断高阶振型与所有振型精确分析所存在的某一类型的误差，这一点我们在前面也已经谈到了。
我国2002版结构规范中存在对于结构模态分析中所考虑振型质量累计参与系数的要求，《高层建筑混凝土结构技术规程（JGJ3-2002）》中5.1.13条第二款规定对于B级高度高层建筑和复杂高层建筑，“计算振型数应使振型参与质量不小于总质量的90%”。
另外为了控制结构扭转效应的潜在破坏能力，规范规定了结构扭转响应的上限，《高层建筑混凝土结构技术规程（JGJ3-2002）》中4.3.5条规定：
“结构扭转为主的第一周期Tt与平动为主的第一周期T1之比，A级高度建筑不应大于0.9；B级高度的建筑、混合结构高层建筑及复杂高层建筑不应大于0.85”。
为了满足这一条，首先需要判断结构的第一平动周期和第一扭转周期，该判断也需要使用本节所提到的质量参与系数的概念。
SAP2000针对于三个自由方向的加速度、所有静荷载情况和所有非线性变形荷载输出结构的静荷载和动荷载的模态分析参与系数，其中这两个系数的主要意义在于使用模态积分时程分析相关时程模态所考虑的振型数目是否足够。
1.质量参与系数
SAP2000对于质量参与系数的计算是基于一个特定方向上的单位基底加速度以及由于该作用引起的基底剪力来进行的。
此种工况的稳态解不包含阻尼或弹性力，因此对于x方向上的单位基底加速度，模态响应方程可以写为：
（12.15）
x方向的总基底抵抗剪力（包括N个振型）是：
（12.16）
对于在任何方向的单位基底加速度，精确的基底抵抗剪力必须等于该方向上的所有质量分量之和。
因此，质量参与系数定义为该参与质量除以该方向上的总质量。
即：
（12.17a）
（12.17b）
（12.17c）
振型有效质量系数提供了振型对于六个整体坐标方向中每一个方向加速度荷载响应的计算重要性的一种量度。
因此它对于确定反应谱分析和地震时程分析的准确性非常有用。
振型有效质量系数不提供任何除加速度荷载以外的其他荷载时程分析准确性的信息。
SAP2000质量参与系数的输出项目及其意义见表12-1。
表12-1质量参与系数输出项意义
序号
输出项目
单位
说明
1
OutputCase
文本
输出工况名
2
StepType
文本
输出步类型，对于模态分析工况为Mode，即模态分析
3
StepNum
无
输出步，对于模态分析工况，为振型排序号
4
Period
秒
该振型的周期值
5
UX、UY、UZ
无
该振型，X、Y和Z三个方向的质量参与比，此时全部质量为1
6
SumUX、SumUY、SumUZ
无
X、Y和Z三个方向的质量参与比振型顺序累加值
7
RX、RY、RZ
无
该振型，绕X、Y和Z三个轴的质量参与比，此时全部质量为1
8
SumRX、SumRY、SumRZ
无
绕X、Y和Z三个轴的质量参与比振型顺序累加值
如果模态分析工况考虑所有振型，则结构在每个自由度方向上结构质量参与系数的累计值为100%。
对于高规中要求的结构模态分析截取所需要达到的累积质量90%的参与，我们主要是通过查看最后一个振型输出项目中第六项进行控制的，该项输出给出了X、Y和Z三个方向各振型质量参与系数的累加值。
因为对于地震作用和风荷载作用等我们关心的主要是水平方向的响应，因此，如果SumUX和SumUY在最后一个振型累加值大于0.9，就说明该模态分析工况中振型截取数量是满足规范要求的。
通过程序所输出的质量参与系数，我们可以判断结构每一个模态属于某一方向的平动振型、还是扭转振型，确定第一平动振型和第一扭转振型后就可以判断是否满足规范要求的第一扭转周期与第一平动周期的限值要求。
对于判断某一个振型是平动振型还是扭转振型,主要是通过查看第五输出项中的UX和UY以及第七输出项中RZ这三项的系数对比关系来确定的，如果RZ小于UX和UY的和，则说明为平动振型，反之则说明为扭转振型。
如果确定为平动振型后，通过比较UX和UY的系数对比关系，可以确定是哪个方向的平动为主，哪个方向的质量参与系数大，就说明该振型是哪个方向的平动振型。
对于一般平面比较规则的结构，前两个振型一般为两个主方向的平动振型，第三个振型为扭转振型，而且此时质量参与系数对比关系非常清晰，这时就比较容易判断振型的属性。
但是实际结构可能是比较复杂的，我们对于结构平动和扭转是从理伦上进行区分的，但实际结构可能是耦联效应很强的，一个振型可能在平动的基础上带有一定的扭转，这时UX、UY和RZ之间可能就相差不大，这时我们在使用上面的判断规则的基础上，应该更多的考虑概念设计结构体系的调整，不应该一味的追求满足规范的条文。
另外，对于质量参与系数方面，还有一个问题需要注意，有些时候可能结构的前几个模态的UX、UY和RZ参与系数都很小（一般小于0.01甚至更小），这时候一方面可能是结构本身存在局部振动，而且该局部振动频率小于整体结构的第一振型频率，局部振动可以通过振型动态视图输出来查看，此时在确定结构第一平动或扭转模态时需要注意这一点，避免误选局部振型作为第一振型，也可以通过模态分析定义中的频率偏移和截断频率的定义来抑制局部振型的捕捉输出；另一方面可能是结构某些部位的连接或剖分出了问题，或结构存在自由点，这时常常伴随结构该振型的周期会非常长（一般大于100秒以上），这时说明结构是存在问题的，需要对模型进行检查从而避免这些问题。
如果结构的某一模态为平动振型，往往还需要我们判断结构该振型的平动角，特别是结构的第一平动振型，其参数也反映了结构地震作用基底剪力的方向角。
对此我们也可以通过质量参与系数来确定。
例如，与第一个振型相关的基底剪力的X轴角度可以由下式给出：
（12.18）
2.静荷载参与系数
静荷载参与系数标示了已计算振型相对于给定静荷载响应的吻合程度，它描述了对该静力荷载进行拟静力模态时程分析所得到结果的精确程度。
该评测手段首先由Wilson提出。
目前我国规范对于该系数还没有明确的要求。
但是为了能够为用户提供尽可能多的模态信息参量，在SAP2000中文版中保留了这些系数的输出。
Wilson通过使用截断向量集来求解由静力荷载模式所引起的响应，以计算静力位移，并在此基础上定义了静荷载参与系数。
如方程（12.4）所示，荷载可以写作：
（12.19）
此时，与荷载条件j相关的总外力功为：
（12.20）
根据方程（12.7），如果忽略惯性力与阻尼力，与截断振型解相关的总外力功是：
（12.21）
对于荷载条件j，定义静荷载参与系数rj为由截断振型集所作的总功与由荷载模式所作的总外力功之比。
即：
（12.22）
当采用拟静力时程分析求解静力解时，静荷载参与系数的值对任何施加的静力荷载都应接近100%；如果分析是非线性的，对所有非线性变形荷载，静荷载参与比的值同样应接近100%。
当然，结合我们前面所谈到的模态分析方法，可以知道当采用瑞兹向量时，对所有开始的荷载矢量，静荷载参与比的值应总是为100%。
但当采用特征向量时，
升级会员 