奥数知识点总复习.docx

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奥数知识点总复习

第一部分常用数据和公式:

圆周率常取数据

3.14×1＝3.143.14×2＝6.283.14×3＝9.42

3.14×4＝12.563.14×5＝15.73.15×6＝18.84

3.14×7＝21.983.14×8＝25.123.14×9＝28.26

常用特殊数的乘积

25×4＝100125×8＝1000125×3＝375125×4＝500

625×16＝1000025×8＝20037×3=111

7×11×13＝1001

常用平方数

112＝121122＝144132＝169142＝196152＝225

162＝256172＝289182＝324192＝361102＝100

202＝400302＝900402＝1600502＝2500602＝3600

452＝2025552＝3025652＝4225752＝5625852＝7225

常用立方数：

23＝833＝2743＝6453＝125

63＝21673＝34383＝51293＝729

比赛场数：

淘汰赛：

n-1循环赛：

100以内的质数：

2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97

常用的分数与小数的互化

＝0.25＝0.75

＝0.125＝0.375＝0.625＝0.875

＝0.04＝0.08＝0.12＝0.16

常用数列求和公式：

1＋2＋3＋……＋n＝

1＋3＋5＋……＋（2n－1）＝n2

12＋22＋32＋……＋n2＝

13＋23＋33＋……＋n3＝（1＋2＋3＋……＋n）2＝〔〕2

1＋2＋3＋…＋（n－1）＋n＋（n－1）＋…＋3＋2＋1＝n2

常用裂项公式

1×2＋2×3＋3×4＋……＋n（n＋1）＝n（n＋1）（n+2）

1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋……＋n（n＋1）（n＋2）＝n（n＋1）（n+2）（n+3）

＋＋＋……＋＝

）

＝×﹝－﹞

将单位分数拆成两个或多个单位分数和或差的形式。

＝＝＋＋

＝＝－－

常用计算公式：

1、＝×1001＝×7×11×13

＝×10101＝×3×7×13×37

2、平方差公式：

α2－b2＝（α＋b）（α－b）

3、完全平方公式：

（α＋b）2＝α2＋2αb＋b2

（α－b）2＝α2－2αb＋b2

4、α÷（b×c÷d×e÷f）＝α÷b÷c×d÷e×f

α－（b－c＋d－e＋f）＝α－b＋c－d＋e－f

5、0.＝；0.＝；0.0＝

0.α＝

6、圆柱体的表面积＝2πrh＋2πr2＝2πr（h＋r）

圆柱体的体积︰πr2h

圆锥体的体积＝πr2h

球的表面积＝4πr2球的体积＝πr3

第二部分应用题

和差问题

和差问题是根据大小两个数的和与两个数的差求大小两个数各是多少的应用题。

解答和差问题的基本公式是：

（和＋差）÷2＝较大数

（和－差）÷2＝较小数

和倍问题

己知几个数的和及这几个数之间的倍数关系，求这几个数的应用题叫和倍问题。

解答和倍问题，一般是先确定较小的数为标准数（或称1倍数），再根据其他几个数与较小数的倍数关系，确定总和相当于标准数的多少倍，然后用除法求出标准数，再求出其他各数，最好采用画线段图的方法。

和÷（倍数＋1）＝小数

1倍数×倍数＝大数

差倍问题

己知两个数的差及它们之间的倍数关系，求这两个数的应用题叫差倍问题。

解答差倍问题，一般以较小数作为标准数（1倍数），再根据大小两数之间的倍数关系，确定差是标准数的多少倍，然后用除法先求出较小数，再求出较大数。

解答这类问题，先画线段图，帮助分析数量关系。

差÷（倍数－1）＝小数

1倍数×倍数＝大数

年龄问题

己知两个人或几个人的年龄，求他们年龄之间的某种数量关系；或己知某些人年龄之间的数量关系，求他们的年龄等，这种题称为年龄问题。

年龄问题的特点是：

一般用和差或者和倍问题的方法解答。

（1）两人的年龄之差是固定不变的量，称为定差。

（关键量）

（2）两个人的年龄同时都增加同样的数量。

（3）两个年龄之间的倍数关系，随着年龄的增长，也在发生变化。

植树问题

在首尾不相接的路线上植树，段数与棵数关系可分为三类：

（1）两端都种树段数=棵数－1

（2）一端种一端不种段数=棵数

（3）两端都不种段数=棵数＋1

在首尾相接的路线上种树（如圆、正方形、闭合曲线等）段数=棵数

平均数

求平均数必须知道总数和份数，常用公式：

平均数=总数÷份数

总数=平均数×份数

份数=总数÷平均数

相遇问题

行程问题又分为相遇问题、追及问题、火车过桥问题等。

路程=速度×时间

时间=路程÷速度

速度=路程÷时间

相遇问题的特点是两个运动物体或人，同时或不同时从两地相向而行，或同时同地相背而行，要解答相遇问题，掌握以下数量关系：

速度和×相遇时间＝路程

路程÷速度和＝相遇时间

速度÷相遇时间=速度和

追及问题

运动的物体或人同向而不同时出发，后出发的速度快，经过一段时间追上先出发的，这样的问题叫做追及问题，解答追及问题的基本条件是“追及路程”和“速度差”。

追及问题的基本数量关系是：

追及时间=追及路程÷速度差

追及路程=速度差×追及时间

速度差=追及路程÷追及时间

流水行船问题

船在江河里航行，前进的速度与水流动的速度有关系。

船在流水中行程问题，叫做行船问题（也叫流水问题），船顺流而下的速度和逆流而上的速度与船速、水速的关系是：

顺水速度=船速＋水速

逆水速度=船速－水速

由于顺水速度是船速与水速的和，逆水速度是船速与水速的差，因此行船问题就是和差问题，所以解答行船问题有时需要驼用和差问题的数量关系。

船速=（顺水速度＋逆水速度）÷2

水速=（顺水速度－逆水速度）÷2

因为行船问题也是行程问题，所以在行船问题中也反映了行程问题的路程、速度与时间的关系。

顺水路程=顺水速度×时间

逆水路程=逆水速度×时间

火车过桥问题

过桥问题的一般数量关系是：

路程=桥长＋车长

车速=（桥长＋车长）÷通过时间

通过时间=（桥长＋车长）÷车速

车长=车速×通过时间－桥长

桥长=车速×通过时间－车长

还原问题

还原问题又叫逆推问题。

己知一个数的结果，再经过逆运算反求原数，叫做还原问题。

解决这类题要从结果出发，逐步向前一步一步推理，每一步运算都是原来运算的逆运算（即变加为减，变减为加，变乘为除，变除为乘）。

方阵问题

很多的人或物按一定条件排成正方形（简称方阵），再根据己知条件求总人数，这类题叫方阵问题。

在解决方阵问题时，要搞清方阵中一些量（如层数，最外层人数，最里层人数，总人数）之间的关系。

方阵问题的基本特点是：

（1）方阵不管在哪一层，每边的人数都相同，每向里面一层，每边上的人数减少2，每一层就少8。

（2）每层人数=（每边人数－1）×4

（3）每边人数=每层人数÷4＋1

（4）实心方阵人数=每边人数×每边人数

幻方与数阵

幻方的特点：

一个幻方每行、每列、每条对角线上的几个数的和都相等。

这个相等的和叫“幻和”。

填幻方有两种方法：

奇阶：

1、九子排列法2、罗伯法3、巴舍法。

偶阶：

1、对称交换法2、圆心方阵法。

数阵有三种基本类型：

（1）封闭型，

（2）辐射型（3）综合型

解数阵问题一般思路是从和相等入手，确定重处长使用的中心数，是解答解数阵类型题的解题关键。

一般答案不唯一。

奇数与偶数

加法：

偶数＋偶数=偶数

奇数＋奇数=偶数

偶数＋奇数=奇数

减法：

偶数－偶数=偶数

奇数－奇数=偶数

偶数－奇数=奇数

乘法：

偶数×偶数=偶数

奇数×奇数=奇数

偶数×奇数=偶数

盈亏问题

解盈亏问题通常是比较法和对应法结合使用。

公式是：

（同盈同亏用减法，一亏一盈用加法）两次分配结果差÷两次分配数差=人数

牛吃草问题

牛吃草问题涉及三种数量：

A.原有的草。

B.新长出的草。

C.牛吃掉的草。

牛吃草问题解法一般分为三步：

⑴求每天新生的草量；

⑵求原有草量；

⑶求出最终的问题。

（类似于行程问题中的追及问题）

还原问题

解题关键：

在从后往前推算的过程中，每一步都是做同原来相反的运算，原来加的，运算时用减；原来减的，运算时用加；原来乘的，运算时用除；原来除的，运算时用乘。

假设问题

假设法是解答应用题时经常用到的一种方法。

所谓“假设法”就是依据题目中的己知条件或结论作出某种设想，然后按照己知条件进行推算，根据数量上出现的矛盾，再适当调整，从而找到正确答案。

浓度问题

溶质的重量＋溶剂的重量＝溶液的重量

溶质的重量÷溶液的重量×100%＝浓度

溶液的重量×浓度＝溶质的重量

溶质的重量÷浓度＝溶液的重量

利润问题

利润问题和商品出售问题与我们平时的生活实际的联系是十分密切的，解答利润问题你必须理解以下的关系式。

（1）利润=卖价－成本

（2）利润的百分数=（卖价－成本）÷成本×100﹪

（3）卖价=成本×（1＋利润率）

（4）成本=卖价÷（1＋利润率）

（5）折扣＝实际售价÷原售价×100%（折扣＜1）

（6）利息＝本金×利率×时间

（7）税后利息＝本金×利率×时间×（1－20%）

工程问题

1在解答工程问题时，常把“一项工程”看作单位“1”，根据工作总量、

工作效率和工作时间三者之间的关系进行解题。

2解题时，要善于运用常见的数学思想方法—如假设法、转化法、代换法。

余数问题

一个带余数除法算式包含4个数：

被除数÷除数=商……余数。

它们的关系也可表示为：

被除数=除数×商＋余数，

或（被除数－余数）÷除数=商。

钟表问题

1解答钟表问题，我们首先想办法把有些能转化成相遇或追及问题的题目转化为相遇或追及问题来解答。

需记住以下常用数据：

钟表上有12个大格，60个小格，每大格对应30度，每个小格对应6度。

分针每分钟走：

6度；时针每分钟走：

0.5度；速度差：

5.5度

2解答钟表上的时间快慢问题，关键是抓住单位时间内的误差，然后根据某一时间段内含多少个单位时间，就可以求出这一时间段内的误差。

分数应用题的计算

1解答较复杂的分数应用题，一定要找准单位“1”，如果单位“1”的量是变化的，就要从题目中找出不变的量，把不变的量看作单位“1”，将己知条件进行转化，找出所求数量相当于单位“1”的几分之几，再列式解答。

2还可以借助线段图来帮助理解题意，列式解答。

3对较复杂的分数应用题，还可以列方程来解答。

比和比例

解答按比例分配的应用题，关键是根据题目的己知条件，找出部分量与总量之间的关系。

把己知数量与份数对应起来，转化为求一个数的几分之几来做。

第三部分数论

㈠整除：

能被2、3、5、9、7、11、13整除的数的特征

若一个整数的末位是2的倍数，则这个数能被2整除。

若一个整数的各位数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。

若一个整数的末两位能被4（25）整除的数，这个数就能被4（25）整除。

若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。

若一个整数的末三位与前面的隔出数的差能被7整除，则原数能被7整除。

若一个整数的各位数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。

若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除；

若一个整数的末三位与前面的隔出数的差能被11整除，则原数能被11整除。

若一个整数的末三位与前面的隔出数的差能被13整除，则这个数能被13整除。

若一个数能同时被a、b整除，且a、b互素，则这个数能被ab整除

若一个整数的末n位能被2ⁿ整除，则这个数能被2ⁿ整除（n＝1，2，3，……）

㈡分解质因数

1、把一个合数写成几个质数相乘的形式，叫做分解质因数。

2、一个自然数的约数的个数：

等于各个质因数的指数加1后的乘积。

3、一个数的完全平方数，各个质因数的个数，恰好是平方前这个数各个质因数个数的2倍。

4、一个完全平方数各个质因数的个数都是偶数。

㈢最大公约数与最小公倍数

求两个数的最大公约数一般有三种方法：

（1）分解质因数法

（2）短除法

（3）辗转相除法

求几个数的最小公倍数的方法也有三种：

（1）分解质因数法

（2）短除法

（3）a×b=（a,b）×[a,b]

㈣同余

整数a、b除以整数c，得到的余数相同，我们就说整数a、b对于模c同余。

记作：

a≡b（modc）

“同余”的四个常用定理

同余定理

（一）如果a≡b（modm），则m︱（a－b）

若两数同余，他们的差必是除数的倍数。

例如，73≡23（mod10）则10︱（73－23）73与23的差是10的倍数。

同余定理

（二）如果a≡b（modm），

c≡d（modm）,

则a±c≡b±d（modm）

两数和的余数等于余数的和。

例如，73≡3（mod10）

两数差的余数等于余数的差。

84≡4（mod10）

73+84≡3+4≡7（mod10）

84－73≡4－3≡1（mod10）

同余定理（三）如果a≡b（除数m），

c≡d（除数m）,

则a×c≡b×d（除数m）

两数积的余数等于余数的积。

例如，73≡3（除数10）

84≡4（除数10）

73×84≡3×4≡2（除数10）

同余定理（四）如果a≡b（除数m）

则an≡bn（除数m）

某数乘方的余数，等于余数的乘方。

例如，40≡1（mod13）

4031≡131≡1（mod13）

第四部分图形面积

S圆＝S正方形S圆＝S正方形

α

b

c

d

α×d＝c×b

＝＝＝＝

面积：

α＋b＝c＋d

燕尾定理：

S△AOC︰S△BOC＝AD︰DBS1︰S2＝S3︰S4＝CD︰DB

S△AOB︰S△AOC＝BF︰FC

S△AOB︰S△BOC＝AE︰EC

任意四边形蝴蝶定理：

（1）S1×S2＝S3×S4

（2）（S1＋S3）︰（S2＋S4）＝AO︰OB

梯形蝴蝶定理：

S1︰S2＝α2︰d2

S1︰S2︰S3︰S4＝α2︰d2︰αb︰αb

S3＝S4

S1︰S4＝S3︰S2＝（S1＋S3）︰（S2＋S4）＝AO︰OB

第五部分数学杂题

一笔画和多笔画

（1）凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成；画时可以任一偶点为起点，最后能以这个点为终点画完此图。

（2）凡是只有两个奇点（其余均为偶点）的连通图，一定可以一笔画完；画时必须以一个奇点为起点，另一个奇点为终点。

（3）多笔画定理：

有2n（n＞1）个奇点的连通图形，可以用n笔画完（彼此无公共线），而且至少要n次画完.

最大最小

1、解答最大最小的问题，可以进行枚举比较。

在有限的情况下，通过计算，将所有情况的结果列举出来，然后比较出最大值或最小值。

2、运用规律。

（1）两个数的和一定，则它们的差越接近，乘积越大；当它们相等（差为0）时，乘积最大。

3、考虑极端情况。

如“连接两点间的线段最短”、“作对称点”、“联系实际考虑问题”等。

比较大小

估算最常用的技巧是“放大缩小”，即先对某个数或算式进行适当的“放大”或“缩小”，确定它的取值范围，再根据其他条件得出结果，调整放缩幅度的方法有两条：

一是分组（分段），并尽可能使每组所对应的标准相同；

另一种方法是按近似数乘除法计算法则，比要求的精确度多保留一位，进行计算。

分数的比较

分母相同的分数比较大小，分子大的分数比较大。

分子相同的分数比较大小，分母大的分数反而小。

分子和分母都不相同的分数比较大小，可以把它们转化成分母相同的分数比较大小；也可以把它们转化成分子相同的分数比较大小。

重要结论：

分子和分母的差都相等时，分子和分母都比较大的分数大。

乘法原理

如果完成一件事需要n个步骤，在第一个步骤中有m1种不同方法，在第二个步骤中有m2种不同方法，…在第n个步骤中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法。

加法原理

如果完成一件事有几类方法，在第一类方法中有m1种不同的选择，在第二类方法中有m2种不同选择……在第n类方法中有mn种不同的选择，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法。

抽屈原则

抽屉原则一：

把n+1（或更多）个苹果放到n个抽屉里，那么至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果。

抽屉原则二：

把m×n+1个（或更多个）苹果放进n个抽屉里，必须一个抽屉里有（m+1）个（或更多的）苹果。

说明：

应用抽屉原则解题，要从最坏的情况去思考。

※概率的古典定义

　　如果一个试验满足两条：

（1）试验只有有限个基本结果；

（2）试验的每个基本结果出现的可能性是一样的。

这样的试验，称为古典试验。

　　对于古典试验中的事件A，它的概率定义为：

P（A）＝，n表示该试验中所有可能出现的基本结果的总数目。

m表示事件A包含的试验基本结果数。

※相互独立事件同时发生的概率:

P（A·B）＝P（A）×P（B）