第四章四边形的性质探索.docx

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第四章四边形的性质探索

第四章四边形的性质探索

§4.1.1平行四边形的性质

（一）

教学目标：

1、行四边形的概念。

2、行四边形的性质。

教学重点

平行四边形的性质。

教学难点

平行四边形的性质的理解。

教学过程

一、引入课题

将一张纸对折，剪下两张叠放的三角形纸片，设法找到某一边的中点，记作点O，将上层的三角形纸片绕点O旋转180°,下层的三角形纸片保持不动。

此时：

（1）两张纸片拼成了怎样的图形？

它是四边形吗？

（2）这个图形中有哪些相等的角？

有没有互相平行的线段？

（3）用简洁的语言刻画这个图形的特征，并与同伴交流。

“两组对边分别平行的四边形”就叫做平行四边形。

今天，我们就来探讨第三章：

四边形性质探索的第一节：

平行四边形的性质。

二、讲授新课

1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，在这个定义中，有两个条件：

（1）四边形；

（2）两组对边分别平行。

平行四边形用符号“

”表示，平行四边形ABCD记作“

ABCD”读作“平行四边形ABCD”。

平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫它的对角线。

线段BD就是

ABCD的一条对角线。

2、平行四边形的性质：

平行四边形的对边相等。

平行四边形的对角相等。

三、随堂练习。

课本随堂练习第1、2题。

四、小结

这节课我们探索了平行四边形的概念和性质。

现在来总结一下：

两组对边分别平行的四边形叫平行四边形。

平行四边形的性质：

1、对边平行。

2、对边相等。

3、对角相等。

五、作业

课本习题4.1第1、2、3题。

§4.1.2平行四边形的性质

（二）

教学目标：

1、平行四边形的性质。

2、平行线之间的距离。

教学重点

1、平行四边形的对角线互相平分。

2、平行线之间的距离处处相等。

教学难点

正确理解两条平行线间的距离的概念。

教学过程

一、引入课题

上节课我们学习了平行四边形的性质，现在来回忆一下：

如图，四边形ABCD是平行四边形，请同学们说出

ABCD的有关性质。

二、讲授新课

1、做一做

如图，

ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O。

（1）图中有哪些三角形是全等的？

有哪些线段是相等的？

（2）能设法验证你的猜想吗？

大家可以用测量的方法，也可以用复制纸片并借助旋转、折纸等方法，去想，去探索。

平行四边形的另一性质：

平行四边形的对角线互相平分。

用几何语言表示如下：

ABCD的对角线AC、BD相交于点O

OA=OCOB=OD。

2、讲解例题

［例1］如图，四边形ABCD是平行四边形，DB⊥AD，求BC、CD及OB的长。

3、想一想

在笔直的铁轨上，夹在两根铁轨之间的枕木是否一样长？

4、讲解例题

［例2］已知直线a∥b,过直线a上任意两点A、B分别向直线b作垂线，交直线b于点C、点D。

（如图）

（1）线段AC、BD所在的直线有怎样的位置关系？

（2）比较线段AC、BD的长短。

若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等，这个距离称为平行线之间的距离。

即：

两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离。

5、议一议

举出生活中的几个实例，反映“平行线之间的垂线段处处相等”的几何事实。

三、随堂练习

课本随堂练习，第1题。

四、小结（略）

五、作业

课本习题4.2第1、2题。

§4.2.1平行四边形的判定

（一）

教学目标：

1、平行四边形的判别方法。

2、平行四边形的判别方法。

教学重点

平行四边形的判别条件。

教学难点

平行四边形的判别条件的应用。

教学过程

一、引入课题

上节课我们探讨了平行四边形的定义和性质，现在来复习一下：

1、什么叫做平行四边形？

2、平行四边形的性质有那些？

小明的爸爸钉制时，用了下面的方法，你能按这种方法钉制出平行四边形吗？

如图，将两根细木条AC、BD的中点重叠，并用钉子固定，则四边形ABCD是平行四边形。

我们这节课所要探讨的重点：

平行四边形的判别。

二、讲授新课

接下来我们再用下面的方法来钉制一个平行四边形，如图，将两根同样长的木条AB、CD平行放置，再用木条AD、BC加固，得到的四边形ABCD就是平行四边形。

自己动手做一做，你能说出它的道理吗？

平行四边形的判别方法：

两对角线互相平分的四边形是平行四边形。

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

例1、如图，AC∥ED，点B在AC上且AB=ED=BC，找出图中的平行四边形。

分析：

要从图形中找出平行四边形，需要按平行四边形的判别方法来找.从已知条件着手，因为AC∥ED，AB=ED=BC，所以可知：

AB∥ED且AB=ED，ED∥BC且ED=BC.因此，四边形ABDE、BCDE是平行四边形。

解：

四边形ABDE、BCDE都是平行四边形。

三、随堂练习

课本随堂练习，第1题。

四、小结

平行四边形的判别方法；

五、作业

课本习题4.3第1、2题

§4.2.1平行四边形的判别

（二）

教学目标：

1、经历并了解平行四边形的判别方法探索过程，使学生逐步掌握说理的基本方法。

2、探索并了解平行四边形的判别方法。

能根据判别方法进行有关的应用。

3、在探索过程中发展学生的合理推理意识、主动探究的习惯。

教学重点：

平行四边形的判别方法。

教学难点：

根据判别方法进行有关的应用。

教学过程：

一、引入课题

用两根长40cm的木条和两根长30cm的木条作为四边形的四条边，如图所示，能否拼成一个四边形是平行四边形？

两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

二、讲授新课

1、做一做

在图中，AC=BD=16,AB=CD=EF=15,CE=DF=9。

图中有哪些互相平行的线段？

2、议一议

一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形吗？

3、平行四边形的判别方法：

（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

（4）两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。

三、随堂练习

1、有两条边相等，并且另外的两条边也相等的四边形一定是平行四边形吗？

2、比一比：

如图，四个全等三角形拼成一个大的三角形，找出图中所有的平行四边形，并说明理由。

四、小结

平行四边形的判别方法；

五、作业

课本习题4.4第1、2题

§4.3菱形

教学目标：

1、菱形的定义。

2、菱形的性质。

3、菱形的判定。

教学重点

菱形的性质及判定方法。

教学难点

菱形性质和直角三角形的知识的综合应用。

教学过程

一、引入课题

前面我们探讨了平行四边形的性质和判别条件，下面我们来共同回忆一下。

大家来看一个衣帽架（出示衣帽架，并按课本P68的图片进行变换），这个衣帽架中有你熟悉的图形吗？

衣帽架中的平行四边形的邻边相等。

我们把这样的平行四边形叫做菱形。

这节课我们就来探讨一下菱形。

二、讲授新课

你能给菱形下定义吗？

一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

菱形是一种特殊的平行四边形，特殊之处在于它是有一组邻边相等。

如图，在菱形ABCD中，AB=AD，对角线AC、BD相交于点O.

（1）图中有哪些线段是相等的？

哪些角是相等的？

（2）图中有哪些等腰三角形、直角三角形？

（3）两条对角线AC、BD有什么特定的位置关系？

菱形性质：

菱形的四条边都相等。

菱形的两条对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。

想一想

（1）菱形是轴对称图形吗？

如果是，那么它有几条对称轴？

对称轴之间有什么位置关系？

（菱形是轴对称图形，它有两条对称轴，这两条对称轴是菱形的对角线，所以两条对称轴互相垂直。

）

（2）如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？

大家拿出准备好的白纸，小剪刀来动手做一做。

议一议

木工在做菱形的窗格时，总是保证四条边框一样长，你能说出其中的道理吗？

菱形的判别方法：

一组邻边相等的平行四边形是菱形。

对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

四条边都相等的四边形是菱形。

例1］如下图，

ABCD的两条对角线AC、BD相交于O点，AB=

AO=2，OB=1

（1）AC、BD有怎样的位置关系？

（2）四边形ABCD是菱形吗？

为什么？

.

三、小结

菱形的定义、菱形的性质、菱形的判别方法。

四、作业

课本习题4.5第1、2题。

§4.4.1矩形、正方形

（一）

教学目标：

1、经历探索矩形的有关性质和判别条件的过程，在直观操作活动和简单的说理过程中发展学生初步的合情推理能力，主动探究习惯，逐步掌握说理的基本方法。

2、探索并掌握矩形的性质及矩形的判别条件。

3、应用定义、性质等知识，解决有关问题。

教学重点

1、矩形的性质。

2、矩形的判别方法的应用。

教学难点

矩形的本质属性、判别及性质的综合应用。

教学过程

一、引入课题

平行四边形具备什么条件时，就成了矩形？

二、讲授新课

在一个平行四边形活动框架上，用两根像皮筋分别套在相对的两个顶点上，拉动一对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状：

（1）随着∠α的变化，两条对角线的长度分别是怎样变化的？

（2）当∠α是锐角时，两条对角线的长度有什么关系？

当∠α是钝角时呢？

（3）当∠α是直角时，平行四边形变成矩形；此时两条对角线的长度有什么关系？

矩形性质：

矩形的四个角都是直角。

矩形的对角线平分且相等。

［例1］如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC、BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=4cm。

（1）判定△AOB的形状。

.

（2）求对角线的长。

想一想

对角线相等的平行四边形是怎样的四边形？

为什么？

与同伴交流。

三、随堂练习

课本随堂练习第1题

议一议

（1）矩形是轴对称图形吗？

如果是，它有几条对称轴？

如果不是，简述你的理由.

（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半，你能用矩形的有关性质解释这个结论吗？

四、小结

1、矩形的定义

2、矩形的性质：

对边平行且相等

四个角都是直角

对角线平分且相等

轴对称图形

3、矩形的判别条件：

要判别一个四边形是矩形，首先要先判别它是平行四边形，然后找直角。

五、作业

课本习题4.6第1、2题

§4.4.2矩形、正方形

（二）

教学目标：

1、经历探索正方形有关性质和判别条件的过程。

在简单的操作活动和说理过程中，发展学生初步的合情推理能力，主动探究习惯，逐步掌握说理的基本方法。

2、探索并掌握正方形的有关性质，正方形的判别条件。

教学重点

正方形的定义。

教学难点

正方形的性质的应用。

教学过程

一、引入课题

在小学学过的平行四边形、矩形、菱形、正方形这些特殊的四边形中，我们已经研究了平行四边形、菱形、矩形的定义、性质和判别条件，而正方形还没有研究过，根据小学学过的正方形的知识，你能说出它有哪些性质吗？

二、讲授新课

一组邻边相等的矩形叫做正方形。

正方形是平行四边形、菱形、矩形？

正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质。

想一想：

正方形是轴对称图形吗？

如是，它有几条对称轴？

［例1］如图，四边形ABCD是正方形，两条对角线相交于点O，求∠AOB、∠OAB的度数。

做一做

将一张长方形纸对折两次（可演示），然后剪下一个角，打开，怎样剪才能剪出一个正方形？

（剪刀线与折痕成多少度的角？

）

议一议

正方形、矩形、菱形及平行四边形四者之间有什么关系呢？

三、随堂练习

课本随堂练习第1、2题。

四、小结

正方形的定义：

一组邻边相等的矩形。

正方形的性质与平行四边形、矩形、菱形的性质可比较。

五、作业

课本习题4.7第1、2、3题

§4.6.1梯形

（一）

教学目标：

1、经历探索梯形的有关概念、性质的过程，在简单的操作活动中发展学生的说理意识，主动探究的习惯，初步体会平移、轴对称的有关知识在研究梯形性质中的运用。

2、探索并掌握梯形的有关概念和基本性质，探索并了解等腰梯形同一底上的两个内角相等，两条对角线相等等性质。

教学重点

1、梯形的有关概念。

2、梯形的基本性质。

教学难点

添加辅助线，把梯形问题转化成平行四边形或三角形问题。

教学过程

一、引入课题

在日常生活中，还有一类四边形也经常用于实践中。

大家看这幅图中有你熟悉的图形吗？

（课本第119页的图片）

图中有梯子、跳箱、堤坝的横截面，它们中都含有梯形.

那今天我们就来研究梯形.（trapezoid）

二、讲授新课

梯形的定义：

一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫梯形。

不平行的两边叫梯形的腰.

夹在两底之间的垂线段叫做梯形的高.

如图：

梯形ABCD中，AD∥BC.

上底是AD，下底为BC，腰是AB、CD，线段AE是梯形ABCD的高。

1条腰与底垂直的梯形叫做直角梯形，两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。

做一做

在一张信纸或有平行线条的纸上作一个等腰梯形，连接两条对角线（如下图），图中有哪些相等的线段？

有哪些相等的角？

这个圆形是轴对称图形吗？

设法验证你的猜想.

等腰梯形的基本性质：

等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等.

议一议

在下图中，四边形ABCD是等腰梯形，将腰AB平移到DE的位置。

（1）DE把四边形ABCD分成了怎样的两个图形？

（2）图中有哪些相等的线段、相等的角？

［例1］如图，在等腰梯形ABCD中，AD=2，BC=4，高DF=2，求腰DC的长.

三、随堂练习

课本随堂练习第1、2题。

四、小结

梯形的定义及其性质。

五、作业

课本习题4.8第1、2题。

§4.6.2梯形

（二）

教学目标：

1、经历探索梯形的判别条件的过程，在简单的操作活动中发展学生的说理意识。

2、探索并掌握“同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形”这一判别条件。

教学重点

梯形的判别条件。

教学难点

解决梯形问题的基本方法。

教学过程

一、引入课题

上节课我们研究了特殊的梯形——等腰梯形的概念及其性质，下面我们来共同回忆一下：

什么样的梯形是等腰梯形？

下面我们来做一做

在下图中的每个三角形中画一条线段

（1）怎样画才能得到一个梯形？

（2）在哪些三角形中，能够得到一个等腰梯形呢？

我们这节课就来探讨等腰梯形的判定。

二、讲授新课

等腰梯形的判定方法

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C，DE∥AB且交BC于点E。

（1）AB=DE吗？

为什么？

（2）∠DEC=∠C吗？

（3）由此你能得出什么结论？

等腰梯形的判定：

同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。

［例2］如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A、∠C互补，梯形ABCD是等腰梯形吗？

三、随堂练习

课本随堂练习第1、2题。

4、小结

五、作业

课本习题4.9第1、2、3题。

§4.7.1探索多边形的内角和与外角和

（一）

教学目标：

1、经历探索多边形内角和公式的过程，进一步发展学生的合情推理意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系。

2、2、探索并了解多边形的内角和公式，进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力。

教学重点

多边形的内角和。

教学难点

多边形的内角和的公式推导。

教学过程

一、引入课题

前面我们学习了三角形、平行四边形，今天我们要学习什么内容呢？

请看大屏幕（出示投影片：

石英钟、六角螺母、五角星、地板砖等）

二、讲授新课

1、什么叫多边形呢？

在平面内，由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形。

我们了解了多边形的有关概念后，看一幅图及问题（出示投影片）

（1）上图中广场中心的边缘是一个五边形，你能设法求出它的五个内角的和吗？

与同伴交流.

（2）小明、小亮分别利用下面的图形求出了该五边形的五个内角的和.你知道他们是怎么做的吗？

（3）还有其他的方法吗？

2、想一想

（1）按如下图

（1）所示的方法，六边形能分成多少个三角形？

n边形（n是大于或等于3的自然数）呢？

（2）你能确定n边形的内角和吗？

n边形的内角和为（n－2）·180°.

3、想一想

观察下图中的多边形，它们的边、角有什么特点？

在平面内，内角都相等，边也都相等的多边形叫做正多边形。

4、议一议

（1）一个多边形的边都相等，它的内角一定都相等吗？

（2）一个多边形的内角都相等，它的边一定都相等吗？

（3）正三角形、正四边形（正方形）、正五边形、正六边形、正八边形的内角分别是多少度？

三、随堂练习

课本随堂练习第1题

四、课时小结

本节课我们研究了多边形的定义及其内角和公式，重点探讨了多边形的内角和公式。

即：

n边形的内角和等于（n－2）·180°,它揭示了多边形内角和与边数之间的关系。

五、作业

课本习题4.10第1、2、3题。

§4.7.2探索多边形的内角和与外角和

（二）

教学目标：

1、经历探索多边形的外角和公式的过程.进一步发展学生的合情推理意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系。

2、探索并了解多边形的外角和公式，进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力。

教学重点

多边形的外角和公式及其应用。

教学难点

多边形的外角和公式的应用。

教学过程

一、引入课题

［师］大家清早跑步吗？

小明每天坚持跑步，他怎样跑步呢？

看大屏幕（出示投影片）

清晨，小明沿一个五边形广场周围的小跑，按逆时针方向跑步。

（1）小明每从一条街道转到下一条街道时，身体转过的角是哪个角？

在图中标出它们.

（2）他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？

（3）在上图中，你能求出∠1+∠2+∠3+∠4+∠5吗？

你是怎样得到的？

下面大家来看小亮的思考：

（出示投影片§4.7.2B）

如图所示，过平面内一点O分别作与五边形ABCDE各边平行的射线OA′、OB′、OC′、OD′、OE′，得到∠α、∠β、∠γ、∠δ、∠θ,其中：

∠α=∠1,∠β=∠2,∠γ=∠3,∠δ=∠4,∠θ=∠5.

∠α、∠β、∠γ、∠δ、∠θ恰好组成一个周角。

这样，∠1、∠2、∠3、∠4、∠5的和等于360°

二、讲授新课

那什么是多边形的外角、外角和呢？

我们可类似三角形的外角定义来定义多边形的外角。

多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角。

在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和。

多边形的外角和都等于360°.

［例1］一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？

分析：

这是多边形的内角和公式与外角和公式的简单应用.根据题意，可列方程解答。

解：

设这个多边形是n边形，则它的内角和是（n－2）·180°,外角和等于360°，所以：

（n－2）·180°=3×360°

解得：

n=8

这个多边形是八边形。

三、随堂练习

课本随堂练习第1、2题。

四、课时小结

本节课我们探讨了多边形的外角及其外角和公式.知道多边形的外角和与多边形的边数无关，它恒等于360°，因而，求解有关多边形的角的计算题；有时直接应用外角和公式会比较简便。

五、作业

课本习题4.11第1、2、3题。

§4.8中心对称图形

教学目标：

1、经历观察、发现，探索中心对称图形的有关概念和基本性质的过程，积累一定的审美体验。

2、了解中心对称图形及其基本性质，掌握平行四边形是中心对称图形。

教学重点

中心对称图形的定义及其性质。

教学难点

中心对称图形的定义。

教学过程

一、引入课题

如下图所示，在一个平行四边形纸板上，连结两条对角线，得到交点O，用图钉过点O将纸板固定在一张纸上，并描下此时四边形ABCD的轮廓.绕点O旋转平行四边形纸板，使得点A移动到点C的位置。

（1）此时的纸板与原来的位置是否重合？

（2）指出旋转中心，求出旋转角的度数。

（3）根据上面的过程，你能验证平行四边形的哪些性质？

与同伴交流。

二、讲授新课

在平面内，一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。

假设点A是某个中心对称图形上的一点，绕O点旋转180°后，它变成了点C，点A和点C就是一对对应点，而且O是AC的中点.（如图）

再看平行四边形是中心对称图形，点B绕O点旋转180°后，它与点D重合，点B和点D就是一对对应点，从平行四边形的性质也可知：

O是BD的中点.

由此大家能否总结出中心对称图形的性质吗？

中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。

下面大家拿出扑克牌，看看这些牌的牌面哪些是中心对称图形？

红桃2、方块2、黑桃2、黑桃10、方块J、梅花10、方块K、黑桃4。

想一想

除了平行四边形，你还能找到哪些多边形是中心对称图形？

在正多边形中，只要边数为偶数，那它就是中心对称图形.

三、课堂练习

课本随堂练习第1、2、题。

四、课时小结

本节课我们学习了中心对称图形的有关概念和它的基本性质.能判定一个图形是否是中心对称图形.

五、作业

课本习题4.12第1、2题。

§4.9平面图形的密铺

教学目标：

1、经历探索多边形密铺（镶嵌）条件的过程，进一步发展学生的合情推理能力。

2、通过探索平面图形的密铺，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以密铺，并能运用这几种图形进行简单的密铺设计。

教学重点

多边形密铺的条件。

教学难点

运用三角形、四边形或正六边形进行简单的密铺设计。

教学过程

一、引入课题

用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺.

这节课我们来探索平面图形的密铺.

二、讲授新课

（1）用形状、大小完全相同的三角形能否密铺？

（2）用同一种四边形可以密铺吗？

用硬纸板剪制若干形状、大小完全相同的四边形做实验，并与同伴交流.

（3）在用三角形密铺的图案中，观察每个拼接点处有几个角？

它们与这种三角形的三个内角有什么关系？

（4）在用四边形密铺的图案中，观察每个拼接点处的四个角与这种四边形的四个内角有什么关系？

想一想，议一议

（1）正六边形能否密铺？

简述你的理由.

（2）分析如下图，讨论正五边形不能密铺.

（3）还能找到能密铺的其他正多边形吗

三、随堂练习

1.如图，在一个正方形的内部按图示

（1）的方式剪去一个正三角形，并平移，形成如图

（2）所示的新图案，以这个图案为“基本单位”能否进行密铺？

说说你的理由.

答案：

可以进行密铺.因为正方形是可以密铺的.这个题只是在整个密铺图案中，将其中一个正方形的某一部分平移到了另一正方形的相应部位，因而它也是可以密铺的.

2.利用习题3.7第三题所得的“鱼”形图案能否密铺？

根据上面的思路，自己独立设计一个可以密铺的“基本单位”图形.