高中数学复习.docx

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高中数学复习

高考数学基础知识汇总

第一部分集合

（1）含n个元素的集合的子集数为2^n,真子集数为2^n－1；非空真子集的数为2^n-2；

（2）注意：

讨论的时候不要遗忘了的情况。

（3）

第二部分函数与导数

1．映射：

注意①第一个集合中的元素必须有象；②一对一，或多对一。

2．函数值域的求法：

①分析法；②配方法；③判别式法；④利用函数单调性；

⑤换元法；⑥利用均值不等式；⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（、、等）；⑨导数法

3．复合函数的有关问题

（1）复合函数定义域求法：

①若f（x）的定义域为〔a，b〕,则复合函数f[g（x）]的定义域由不等式a≤g（x）≤b解出②若f[g（x）]的定义域为[a,b],求f（x）的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g（x）的值域。

（2）复合函数单调性的判定：

①首先将原函数分解为基本函数：

内函数与外函数；

②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性；

③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。

注意：

外函数的定义域是内函数的值域。

4．分段函数：

值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。

5．函数的奇偶性

⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件；

⑵是奇函数；

⑶是偶函数；

⑷奇函数在原点有定义，则；

⑸在关于原点对称的单调区间内：

奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性；

（6）若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性；

6．函数的单调性

⑴单调性的定义：

①在区间上是增函数当时有；

②在区间上是减函数当时有；

⑵单调性的判定

1定义法：

注意：

一般要将式子化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号；

②导数法（见导数部分）；

③复合函数法（见2

（2））；

④图像法。

注：

证明单调性主要用定义法和导数法。

7．函数的周期性

（1）周期性的定义：

对定义域内的任意，若有（其中为非零常数），则称函数为周期函数，为它的一个周期。

所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。

如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。

（2）三角函数的周期

①；②；③；

④；⑤；

⑶函数周期的判定

①定义法（试值）②图像法③公式法（利用

（2）中结论）

⑷与周期有关的结论

①或的周期为；

②的图象关于点中心对称周期为2；

③的图象关于直线轴对称周期为2；

④的图象关于点中心对称，直线轴对称周期为4；

8．基本初等函数的图像与性质

⑴幂函数：

（；⑵指数函数：

；

⑶对数函数:

；⑷正弦函数:

；

⑸余弦函数：

；（6）正切函数：

；⑺一元二次函数：

；

⑻其它常用函数：

1正比例函数：

；②反比例函数：

；特别的

2函数；

9．二次函数：

⑴解析式：

①一般式：

；②顶点式：

，为顶点；

③零点式：

。

⑵二次函数问题解决需考虑的因素：

①开口方向；②对称轴；③端点值；④与坐标轴交点；⑤判别式；⑥两根符号。

⑶二次函数问题解决方法：

①数形结合；②分类讨论。

10．函数图象：

⑴图象作法：

①描点法（特别注意三角函数的五点作图）②图象变换法③导数法

⑵图象变换：

1平移变换：

ⅰ，2———“正左负右”

ⅱ———“正上负下”；

3伸缩变换：

ⅰ，（———纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍；

ⅱ，（———横坐标不变，纵坐标伸长为原来的倍；

4对称变换：

ⅰ；ⅱ；

ⅲ；ⅳ；

5翻转变换：

ⅰ———右不动，右向左翻（在左侧图象去掉）；

ⅱ———上不动，下向上翻（||在下面无图象）；

11．函数图象（曲线）对称性的证明

（1）证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；

（2）证明函数与图象的对称性，即证明图象上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点在的图象上，反之亦然；

注：

①曲线C1:

f（x,y）=0关于点（a,b）的对称曲线C2方程为：

f（2a－x,2b－y）=0;

②曲线C1:

f（x,y）=0关于直线x=a的对称曲线C2方程为：

f（2a－x,y）=0;

③曲线C1：

f（x,y）=0,关于y=x+a（或y=－x+a）的对称曲线C2的方程为f（y－a,x+a）=0（或f（－y+a,－x+a）=0）;

④f（a+x）=f（b－x）（x∈R）y=f（x）图像关于直线x=对称；

特别地：

f（a+x）=f（a－x）（x∈R）y=f（x）图像关于直线x=a对称；

⑤函数y=f（x－a）与y=f（b－x）的图像关于直线x=对称；

12．函数零点的求法：

⑴直接法（求的根）；⑵图象法；⑶二分法.

13．导数

⑴导数定义：

f（x）在点x0处的导数记作；

⑵常见函数的导数公式:

①；②；③；

④；⑤；⑥；⑦；

⑧。

⑶导数的四则运算法则：

⑷（理科）复合函数的导数：

⑸导数的应用：

①利用导数求切线：

注意：

ⅰ所给点是切点吗？

ⅱ所求的是“在”还是“过”该点的切线？

②利用导数判断函数单调性：

ⅰ是增函数；ⅱ为减函数；

ⅲ为常数；

③利用导数求极值：

ⅰ求导数；ⅱ求方程的根；ⅲ列表得极值。

④利用导数最大值与最小值：

ⅰ求的极值；ⅱ求区间端点值（如果有）；ⅲ得最值。

14．（理科）定积分

⑴定积分的定义：

⑵定积分的性质：

①（常数）；

②；

③（其中。

⑶微积分基本定理（牛顿—莱布尼兹公式）：

⑷定积分的应用：

①求曲边梯形的面积：

；

3求变速直线运动的路程：

；③求变力做功：

。

第三部分三角函数、三角恒等变换与解三角形

1．⑴角度制与弧度制的互化：

弧度，弧度，弧度

⑵弧长公式：

；扇形面积公式：

。

2．三角函数定义：

角中边上任意一点为，设则：

3．三角函数符号规律：

一全正，二正弦，三两切，四余弦；

4．诱导公式记忆规律：

“函数名不（改）变，符号看象限”；

5．⑴对称轴：

；对称中心：

；

⑵对称轴：

；对称中心：

；

6．同角三角函数的基本关系：

；

7．两角和与差的正弦、余弦、正切公式：

①

②③。

8．二倍角公式：

①；

②；③。

9．正、余弦定理：

⑴正弦定理：

（是外接圆直径）

注：

①；②；③。

⑵余弦定理：

等三个；注：

等三个。

10。

几个公式:

⑴三角形面积公式：

；

⑵内切圆半径r=；外接圆直径2R=

11．已知时三角形解的个数的判定：

第四部分立体几何

1．三视图与直观图：

注：

原图形与直观图面积之比为。

2．表（侧）面积与体积公式：

⑴柱体：

①表面积：

S=S侧+2S底；②侧面积：

S侧=；③体积：

V=S底h

⑵锥体：

①表面积：

S=S侧+S底；②侧面积：

S侧=；③体积：

V=S底h：

⑶台体：

①表面积：

S=S侧+S上底S下底；②侧面积：

S侧=；③体积：

V=（S+）h；

⑷球体：

①表面积：

S=；②体积：

V=。

3．位置关系的证明（主要方法）：

⑴直线与直线平行：

①公理4；②线面平行的性质定理；③面面平行的性质定理。

⑵直线与平面平行：

①线面平行的判定定理；②面面平行线面平行。

⑶平面与平面平行：

①面面平行的判定定理及推论；②垂直于同一直线的两平面平行。

⑷直线与平面垂直：

①直线与平面垂直的判定定理；②面面垂直的性质定理。

⑸平面与平面垂直：

①定义---两平面所成二面角为直角；②面面垂直的判定定理。

注：

理科还可用向量法。

4.求角：

（步骤-------Ⅰ。

找或作角；Ⅱ。

求角）

⑴异面直线所成角的求法：

1平移法：

平移直线，2构造三角形；

3②补形法：

补成正方体、平行六面体、长方体等，4发现两条异面直线间的关系。

注：

理科还可用向量法，转化为两直线方向向量的夹角。

⑵直线与平面所成的角：

①直接法（利用线面角定义）；②先求斜线上的点到平面距离h，与斜线段长度作比，得sin。

注：

理科还可用向量法，转化为直线的方向向量与平面法向量的夹角。

⑶二面角的求法：

①定义法：

在二面角的棱上取一点（特殊点），作出平面角，再求解；

②三垂线法：

由一个半面内一点作（或找）到另一个半平面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角，再求解；

③射影法：

利用面积射影公式：

其中为平面角的大小；

注：

对于没有给出棱的二面角，应先作出棱，然后再选用上述方法；

理科还可用向量法，转化为两个班平面法向量的夹角。

5.求距离：

（步骤-------Ⅰ。

找或作垂线段；Ⅱ。

求距离）

⑴两异面直线间的距离：

一般先作出公垂线段，再进行计算；

⑵点到直线的距离：

一般用三垂线定理作出垂线段，再求解；

⑶点到平面的距离：

①垂面法：

借助面面垂直的性质作垂线段（确定已知面的垂面是关键），再求解；

5等体积法；

理科还可用向量法：

。

⑷球面距离：

（步骤）

（Ⅰ）求线段AB的长；（Ⅱ）求球心角∠AOB的弧度数；（Ⅲ）求劣弧AB的长。

6．结论：

⑴从一点O出发的三条射线OA、OB、OC，若∠AOB=∠AOC，则点A在平面∠BOC上的射影在∠BOC的平分线上；

⑵立平斜公式（最小角定理公式）：

⑶正棱锥的各侧面与底面所成的角相等，记为，则S侧cos=S底；

⑷长方体的性质

①长方体体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为则：

cos2+cos2+cos2=1；sin2+sin2+sin2=2。

②长方体体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为则有cos2+cos2+cos2=2；sin2+sin2+sin2=1。

⑸正四面体的性质：

设棱长为，则正四面体的：

1高：

；②对棱间距离：

；③相邻两面所成角余弦值：

；④内切2球半径：

；外接球半径：

；

第五部分直线与圆

1．直线方程

⑴点斜式：

；⑵斜截式：

；⑶截距式：

；

⑷两点式：

；⑸一般式：

，（A，B不全为0）。

（直线的方向向量：

（，法向量（

2．求解线性规划问题的步骤是：

（1）列约束条件；

（2）作可行域，写目标函数；（3）确定目标函数的最优解。

3．两条直线的位置关系：

4．直线系

5．几个公式

⑴设A（x1,y1）、B（x2,y2）、C（x3,y3），⊿ABC的重心G：

（）；

⑵点P（x0,y0）到直线Ax+By+C=0的距离：

；

⑶两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0的距离是；

6．圆的方程：

⑴标准方程：

①；②。

⑵一般方程：

（

注：

Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆A=C≠0且B=0且D2+E2－4AF>0；

7．圆的方程的求法：

⑴待定系数法；⑵几何法；⑶圆系法。

8．圆系：

⑴；

注：

当时表示两圆交线。

⑵。

9．点、直线与圆的位置关系：

（主要掌握几何法）

⑴点与圆的位置关系：

（表示点到圆心的距离）

①点在圆上；②点在圆内；③点在圆外。

⑵直线与圆的位置关系：

（表示圆心到直线的距离）

①相切；②相交；③相离。

⑶圆与圆的位置关系：

（表示圆心距，表示两圆半径，且）

①相离；②外切；③相交；

④内切；⑤内含。

10．与圆有关的结论：

⑴过圆x2+y2=r2上的点M（x0,y0）的切线方程为：

x0x+y0y=r2；

过圆（x-a）2+（y-b）2=r2上的点M（x0,y0）的切线方程为：

（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=r2；

⑵以A（x1，y2）、B（x2,y2）为直径的圆的方程：

（x－x1）（x－x2）+（y－y1）（y－y2）=0。

第六部分圆锥曲线

1．定义：

⑴椭圆：

；

⑵双曲线：

；⑶抛物线：

略

2．结论

⑴焦半径：

①椭圆：

（e为离心率）；（左“+”右“-”）；

②抛物线：

⑵弦长公式：

；

注：

（Ⅰ）焦点弦长：

①椭圆：

；②抛物线：

＝x1+x2+p=；（Ⅱ）通径（最短弦）：

①椭圆、双曲线：

；②抛物线：

2p。

⑶过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为：

（同时大于0时表示椭圆，时表示双曲线）；

⑷椭圆中的结论：

①内接矩形最大面积：

2ab；

②P，Q为椭圆上任意两点，且OP0Q，则；

③椭圆焦点三角形：

<Ⅰ>．，（）；<Ⅱ>．点是内心，交于点，则；

④当点与椭圆短轴顶点重合时最大；

⑸双曲线中的结论：

①双曲线（a>0,b>0）的渐近线：

；

②共渐进线的双曲线标准方程为为参数，≠0）；

③双曲线焦点三角形：

<Ⅰ>．，（）；<Ⅱ>．P是双曲线－=1（a＞0，b＞0）的左（右）支上一点，F1、F2分别为左、右焦点，则△PF1F2的内切圆的圆心横坐标为；

④双曲线为等轴双曲线渐近线为渐近线互相垂直；

（6）抛物线中的结论：

①抛物线y2=2px（p>0）的焦点弦AB性质：

<Ⅰ>．x1x2=；y1y2=－p2；

<Ⅱ>．；<Ⅲ>．以AB为直径的圆与准线相切；<Ⅳ>．以AF（或BF）为直径的圆与轴相切；<Ⅴ>．。

②抛物线y2=2px（p>0）内结直角三角形OAB的性质：

<Ⅰ>．；<Ⅱ>．恒过定点；

<Ⅲ>．中点轨迹方程：

；<Ⅳ>．，则轨迹方程为：

；<Ⅴ>．。

③抛物线y2=2px（p>0），对称轴上一定点，则：

<Ⅰ>．当时，顶点到点A距离最小，最小值为；<Ⅱ>．当时，抛物线上有关于轴对称的两点到点A距离最小，最小值为。

3．直线与圆锥曲线问题解法：

⑴直接法（通法）：

联立直线与圆锥曲线方程，构造一元二次方程求解。

注意以下问题：

①联立的关于“”还是关于“”的一元二次方程？

②直线斜率不存在时考虑了吗？

③判别式验证了吗？

⑵设而不求（代点相减法）：

--------处理弦中点问题

步骤如下：

①设点A（x1，y1）、B（x2,y2）；②作差得；③解决问题。

4．求轨迹的常用方法：

（1）定义法：

利用圆锥曲线的定义；

（2）直接法（列等式）；（3）代入法（相关点法或转移法）；⑷待定系数法；（5）参数法；（6）交轨法。

第七部分平面向量

⑴设a=（x1,y1）,b=（x2,y2），则：

①a‖b（b≠0）a=b（x1y2－x2y1=0；

②a⊥b（a、b≠0）a•b=0x1x2+y1y2=0.

⑵a•b=|a||b|cos=x2+y1y2；

注：

①|a|cos叫做a在b方向上的投影；|b|cos叫做b在a方向上的投影；

6a•b的几何意义：

a•b等于|a|与|b|在a方向上的投影|b|cos的乘积。

⑶cos=；

⑷三点共线的充要条件：

P，A，B三点共线；

附：

（理科）P，A，B，C四点共面。

第八部分数列

1．定义：

⑴等差数列；

⑵等比数列

；

2．等差、等比数列性质

等差数列等比数列

通项公式

前n项和

性质①an=am+（n－m）d,①an=amqn-m;

②m+n=p+q时am+an=ap+aq②m+n=p+q时aman=apaq

③成AP③成GP

④成AP,④成GP,

等差数列特有性质：

1项数为2n时：

S2n=n（an+an+1）=n（a1+a2n）；；；

2项数为2n-1时：

S2n-1=（2n-1）；；；

3若；若；

若。

3．数列通项的求法：

⑴分析法；⑵定义法（利用AP,GP的定义）；⑶公式法：

累加法（；

⑷叠乘法（型）；⑸构造法（型）；（6）迭代法；

⑺间接法（例如：

）；⑻作商法（型）；⑼待定系数法；⑽（理科）数学归纳法。

注：

当遇到时，要分奇数项偶数项讨论，结果是分段形式。

4．前项和的求法：

⑴拆、并、裂项法；⑵倒序相加法；⑶错位相减法。

5．等差数列前n项和最值的求法：

⑴；⑵利用二次函数的图象与性质。

第九部分不等式

1．均值不等式：

注意：

①一正二定三相等；②变形，。

2．绝对值不等式：

3．不等式的性质：

⑴；⑵；⑶；

；⑷；；

；⑸；（6）

。

4．不等式等证明（主要）方法：

⑴比较法：

作差或作比；⑵综合法；⑶分析法。

第十部分复数

1．概念：

⑴z=a+bi∈Rb=0（a,b∈R）z=z2≥0；

⑵z=a+bi是虚数b≠0（a,b∈R）；

⑶z=a+bi是纯虚数a=0且b≠0（a,b∈R）z＋＝0（z≠0）z2<0；

⑷a+bi=c+dia=c且c=d（a,b,c,d∈R）；

2．复数的代数形式及其运算：

设z1=a+bi,z2=c+di（a,b,c,d∈R），则：

（1）z1±z2=（a+b）±（c+d）i；⑵z1.z2=（a+bi）•（c+di）＝（ac-bd）+（ad+bc）i；⑶z1÷z2=（z2≠0）;

3．几个重要的结论：

；⑶；⑷

⑸性质：

T=4；；

（6）以3为周期，且；=0；

（7）。

4．运算律：

（1）

5．共轭的性质：

⑴；⑵；⑶；⑷。

6．模的性质：

⑴；⑵；⑶；⑷；

第十一部分概率

1．事件的关系：

⑴事件B包含事件A：

事件A发生，事件B一定发生，记作；

⑵事件A与事件B相等：

若，则事件A与B相等，记作A=B；

⑶并（和）事件：

某事件发生，当且仅当事件A发生或B发生，记作（或）；

⑷并（积）事件：

某事件发生，当且仅当事件A发生且B发生，记作（或）；

⑸事件A与事件B互斥：

若为不可能事件（），则事件A与互斥；

（6）对立事件：

为不可能事件，为必然事件，则A与B互为对立事件。

2．概率公式：

⑴互斥事件（有一个发生）概率公式：

P（A+B）=P（A）+P（B）；

⑵古典概型：

；

⑶几何概型：

；

第十二部分统计与统计案例

1．抽样方法

⑴简单随机抽样：

一般地，设一个总体的个数为N，通过逐个不放回的方法从中抽取一个容量为n的样本，且每个个体被抽到的机会相等，就称这种抽样为简单随机抽样。

注：

①每个个体被抽到的概率为；

②常用的简单随机抽样方法有：

抽签法；随机数法。

⑵系统抽样：

当总体个数较多时，可将总体均衡的分成几个部分，然后按照预先制定的

规则，从每一个部分抽取一个个体，得到所需样本，这种抽样方法叫系统抽样。

注：

步骤：

①编号；②分段；③在第一段采用简单随机抽样方法确定其时个体编号；

④按预先制定的规则抽取样本。

⑶分层抽样：

当已知总体有差异比较明显的几部分组成时，为使样本更充分的反映总体的情况，将总体分成几部分，然后按照各部分占总体的比例进行抽样，这种抽样叫分层抽样。

注：

每个部分所抽取的样本个体数=该部分个体数

2．总体特征数的估计：

⑴样本平均数；

⑵样本方差；

⑶样本标准差=；

3．相关系数（判定两个变量线性相关性）：

注：

⑴>0时，变量正相关；<0时，变量负相关；

⑵①越接近于1，两个变量的线性相关性越强；②接近于0时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。

4．回归分析中回归效果的判定：

⑴总偏差平方和：

⑵残差：

；⑶残差平方和：

；⑷回归平方和：

－；⑸相关指数。

注：

①得知越大，说明残差平方和越小，则模型拟合效果越好；

②越接近于1，，则回归效果越好。

5．独立性检验（分类变量关系）：

随机变量越大，说明两个分类变量，关系越强，反之，越弱。

第十四部分常用逻辑用语与推理证明

1．四种命题：

⑴原命题：

若p则q；⑵逆命题：

若q则p；

⑶否命题：

若p则q；⑷逆否命题：

若q则p

注：

原命题与逆否命题等价；逆命题与否命题等价。

2．充要条件的判断：

（1）定义法----正、反方向推理；

（2）利用集合间的包含关系：

例如：

若，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件；

3．逻辑连接词：

⑴且（and）：

命题形式pq；pqpqpqp

⑵或（or）：

命题形式pq；真真真真假

⑶非（not）：

命题形式p.真假假真假

假真假真真

假假假假真

4．全称量词与存在量词

⑴全称量词-------“所有的”、“任意一个”等，用表示；

全称命题p：

；

全称命题p的否定p：

。

⑵存在量词--------“存在一个”、“至少有一个”等，用表示；

特称命题p：

；

特称命题p的否定p：

；

第十五部分推理与证明

1．推理：

⑴合情推理：

归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过观察、分析、比较、联想，在进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们称为合情推理。

①归纳推理：

由某类食物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理，简称归纳。

注：

归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。

②类比推理：

由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理，简称类比。

注：

类比推理是特殊到特殊的推理。

⑵演绎推理：

从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理叫演绎推理。

注：

演绎推理是由一般到特殊的推理。

“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：

⑴大前提---------已知的一般结论；

⑵小前提---------所研究的特殊情况；

⑶结论---------根据一般原理，对特殊情况得出的判断。

二．证明

⒈直接证明

⑴综合法

一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。

综合法又叫顺推法或由因导果法。

⑵分析法

一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、定理、公理等），这种证明的方法叫分析法。

分析法又叫逆推证法或执果索因法。

2．间接证明------反证法

一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这种证明方法叫反证法。

附：

数学归纳法（仅限理科）

一般的证明一个与正整数有关的一个命题，可按以下步骤进行：

⑴证明当取第一个值是命题成立；

⑵假设当命题成立，证明当时命题也成立。

那么由⑴⑵就可以判定命题对从开始所有的正整数都成立。

这种证明方法叫数学归纳法。

注：

①数学归纳法的两个步骤缺一不可，用数学归纳法证明问题时必须严格按步骤进行；

3的取值视题目而4定，5可能是1，6也可能是2等。

第十六部分理科选修部分

1．排列、组合和二项式定理

⑴排列数公式:

=n（n-1）（n-2）…（n-m＋1）=（m≤n,m、n∈N*）,当m=n时为全排列=n（n-1）（n-2）…3.2.1=n!

;

⑵组合数公式：

（m≤n）,；

⑶组合数性质：

；

⑷二项式定理：

①通项：

②注意二项式系数与系数的区别；