答案 ②
解析 ②中由xy＝0不能推出x＝0且y＝0，则②不正确；①③正确．
一、充分条件的判断
例1 下列命题中，p是q的充分条件的是________（填序号）．
①p：
（x－2）（x－3）＝0，q：
x－2＝0；
②p：
两个三角形面积相等，q：
两个三角形全等；
③p：
a>2且b>2，q：
a＋b>4，ab>4.
答案 ③
解析 ①∵（x－2）（x－3）＝0，
∴x＝2或x＝3，不能推出x－2＝0.
∴p不是q的充分条件．
②∵两个三角形面积相等，不能推出两个三角形全等，
∴p不是q的充分条件．
③由a>2且b>2⇒a＋b>4，ab>4，
∴p是q的充分条件．
反思感悟 充分条件的两种判定方法
（1）定义法：
①确定谁是条件，谁是结论；
②尝试从条件推结论，若由条件能推出结论，则条件是结论的充分条件，否则就不是充分条件．
（2）命题判断法：
①如果命题：
“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；
②如果命题：
“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件．
跟踪训练1 判断下列说法中，p是q的充分条件的是________．（填序号）
①p：
“x＝1”，q：
“x2－2x＋1＝0”；
②设a，b是实数，p：
“a＋b>0”，q：
“ab>0”；
③已知a，b为正实数，p：
a>b>1，q：
a2>b2>0.
答案 ①③
解析 ①当x＝1时，x2－2x＋1＝0，故p⇒q，所以p是q的充分条件．
②由a＋b>0不能推出ab>0，故p不是q的充分条件．
③因为a>b>1⇒a2>b2>0，所以p是q的充分条件．
二、必要条件的判断
例2 在下列各命题中，q是p的必要条件吗？
为什么？
（1）p：
x－2＝0；q：
（x－2）（x－3）＝0；
（2）p：
两个三角形相似；q：
两个三角形全等；
（3）p：
m<－2；q：
方程x2－x－m＝0无实根．
解
（1）∵x－2＝0⇒（x－2）（x－3）＝0，
∴q是p的必要条件．
（2）∵两个三角形相似推不出两个三角形全等，
∴q不是p的必要条件．
（3）∵方程x2－x－m＝0无实根，
∴Δ＝b2－4ac＝1－4×1×（－m）＝1＋4m<0，
解得m<－
.
∵m<－2⇒m<－
，
∴q是p的必要条件．
反思感悟 必要条件判定方法
（1）定义法：
首先分清条件和结论，然后判断p⇒q和q⇒p是否成立，最后得出结论．
（2）集合法：
对于涉及取值范围的判断题，可从集合的角度研究，若两个集合具有包含关系，则小范围⇒大范围，大范围推不出小范围．
（3）传递法：
由推式的传递性：
p1⇒p2⇒p3⇒…⇒pn，则pn是p1的必要条件．
跟踪训练2 在以下命题中，分析p与q的关系：
（1）p：
x>2同时y>3，q：
x＋y>5；
（2）p：
一个四边形的四个角都相等，q：
四边形是正方形．
（3）p：
α为锐角，q：
α＝45°；
（4）p：
（x＋1）（x－2）＝0，q：
x＋1＝0.
解
（1）由于p⇒q，故p是q的充分条件，q是p的必要条件．
（2）由于q⇒p，故q是p的充分条件，p是q的必要条件．
（3）由于q⇒p，故p是q的必要条件，q是p的充分条件．
（4）由于q⇒p，故p是q的必要条件，q是p的充分条件．
三、充分条件与必要条件的应用
例3 已知命题p：
－2≤x≤10，q：
1－m≤x≤1＋m（m>0），若p是q的必要条件，但不是充分条件．求实数m的取值范围．
解 p：
－2≤x≤10，q：
1－m≤x≤1＋m（m>0）．
因为p是q的必要条件，但不是充分条件，
所以q是p的充分条件但不是必要条件，
即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}，
故有
或
解得m≤3.又m>0，
所以实数m的取值范围为（0,3]．
延伸探究
若本例中“p是q的必要条件但不是充分条件”改为“p是q的充分条件但不是必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围．
解 p：
－2≤x≤10，q：
1－m≤x≤1＋m（m>0）．
因为p是q的充分条件但不是必要条件，
设p代表的集合为A，q代表的集合为B，
所以AB.
所以
或
解不等式组得m>9或m≥9，
所以m≥9，
即实数m的取值范围是[9，＋∞）．
反思感悟 充分条件与必要条件的应用技巧
（1）应用：
可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题．
（2）求解步骤：
先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式（组）进行求解．
跟踪训练3 已知集合A＝{y|y＝x2－3x＋1，x∈R}，B＝{x|x＋2m≥0}；命题p：
x∈A，命题q：
x∈B.
（1）若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；
（2）若p是q的必要条件，求实数m的取值范围．
解 由已知可得A＝
＝
，
B＝{x|x≥－2m}．
（1）若p是q的充分条件，
则p⇒q，所以A⊆B，
所以－2m≤－
，所以m≥
，
即m的取值范围是
.
（2）若p是q的必要条件，
则q⇒p，所以B⊆A，
所以－2m≥－
，解得m≤
.
即m的取值范围是
.
1．若p是q的充分条件，则q是p的（ ）
A．充分条件
B．必要条件
C．既不是充分条件也不是必要条件
D．既是充分条件又是必要条件
答案 B
解析 因为p是q的充分条件，所以p⇒q，所以q是p的必要条件．
2．“同位角相等”是“两直线平行”的（ ）
A．充分条件但不是必要条件
B．必要条件但不是充分条件
C．既是充分条件，也是必要条件
D．既不是充分条件也不是必要条件
答案 C
3．“－21或x<－1”的（ ）
A．充分条件但不是必要条件
B．必要条件但不是充分条件
C．既不是充分条件也不是必要条件
D．既是充分条件，也是必要条件
答案 C
解析 ∵－21或x<－1，且x>1或x<－1⇏－21或x<－1”的既不充分也不必要条件．
4．“x2＝2x”是“x＝0”的________条件，“x＝0”是“x2＝2x”的________条件（用“充分”“必要”填空）．
答案 必要 充分
解析 由于x＝0⇒x2＝2x，所以“x2＝2x”是“x＝0”的必要条件，“x＝0”是“x2＝2x”的充分条件．
5．若“x>1”是“x>a”的充分条件，则a的取值范围是________．
答案 （－∞，1]
解析 因为x>1⇒x>a，所以a≤1.
1．知识清单：
（1）充分条件、必要条件的概念．
（2）充分条件、必要条件的判断．
（3）充分条件与必要条件的应用．
2．方法归纳：
转化法．
3．常见误区：
充分条件、必要条件不唯一；求参数范围能否取到端点值．
1．（多选）使x>3成立的充分条件可以是（ ）
A．x>4B．x>0
C．x>2D．5答案 AD
解析 x>4⇒x>3,53.
2．（多选）使x>1成立的一个必要条件是（ ）
A．x>0B．x>3
C．x>2D．x>－1
答案 AD
解析 x>1⇒x>0，x>1⇒x>－1，其他选项均不可由x>1推出．
3．下列命题中，p是q的充分条件的是（ ）
A．p：
ab≠0，q：
a≠0
B．p：
a2＋b2≥0，q：
a≥0且b≥0
C．p：
x2>1，q：
x>1
D．p：
a>b，q：
>
答案 A
解析 根据充分条件的概念逐一判断．
4．下面四个条件中，使a>b成立的充分但是不必要条件是（ ）
A．a≥b＋1B．a>b－1
C．a2>b2D．|a|>|b|
答案 A
解析 由a≥b＋1>b，从而a≥b＋1⇒a>b；反之，如a＝4，b＝3.5，则4>3.5,4≤3.5＋1，故a>b⇏a≥b＋1.
5．“a>b”是“a>|b|”的（ ）
A．充分条件但不是必要条件
B．必要条件但不是充分条件
C．既是充分也是必要条件
D．既不是充分条件也不是必要条件
答案 B
解析 由a>|b|⇒a>b，而由a>b推不出a>|b|.
∴“a>b”是“a>|b|”的必要条件但不是充分条件．
6．已知a，b都是实数，那么“
>
”是“|a|>|b|”的________条件，“|a|>|b|”是“
>
”的________条件．（填“充分”或“必要”）
答案 充分 必要
解析
>
可得a>b≥0可以推出|a|>|b|，
但|a|>|b|不可以推出
>
.
7．已知p：
a≤x≤a＋1，q：
0答案 （0,3） ∅
解析 令M＝{x|a≤x≤a＋1}，N＝{x|0∵p是q的充分条件，∴M⊆N，
∴
解得0由p是q的必要条件，N⊆M，
∴
无解．
8．下列不等式：
①x<1；②0其中，可以为x2<1的一个充分条件的所有序号为________．
答案 ②③④
解析 由于x2<1，即－19．指出下列各题中，p是q的什么条件：
（1）在△ABC中，p：
∠A>∠B，q：
BC>AC；
（2）p：
a＝3，q：
（a＋2）（a－3）＝0；
（3）p：
a<1.
解 在
（1）中，由大角对大边，且∠A>∠B知BC>AC，反之也正确，所以p既是q的充分条件，也是q的必要条件；
在
（2）中，若a＝3，则（a＋2）（a－3）＝0，但（a＋2）（a－3）＝0不一定得出a＝3，所以p是q的充分条件但不是必要条件；
在（3）中，当a＝－2，b＝－1时，满足a＝2>1；
当a＝2，b＝－1时，满足
＝－2<1，但a>b.
所以p既不是q的充分条件，也不是必要条件．
10．已知p：
，q：
0（1）若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；
（2）若p是q的必要条件，求实数m的取值范围．
解 记A＝
，
B＝{x|0（1）若p是q的充分条件，则A⊆B.
注意到B＝{x|0①若A＝∅，即
≥
，解得m≤0，此时A⊆B，符合题意．
②若A≠∅，即
<
，解得m>0，
要使A⊆B，应有
解得0综上可得，实数m的取值范围是（－∞，3]．
（2）若p是q的必要条件，则B⊆A.
分两种情况讨论：
①若
≥
，即m≤0时，A＝∅，不符合题意．
②若A≠∅，即
<
，解得m>0.
要使B⊆A，应有
解得m≥3.
综上可得，实数m的取值范围是[3，＋∞）．
11．对任意实数a，b，c，下列命题中，真命题是（ ）
A．“ac>bc”是“a>b”的必要条件
B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件
C．“ac>bc”是“a>b”的充分条件
D．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件
答案 B
解析 “a＝b”⇒“a－b＝0”⇒“（a－b）c＝0”⇒“ac＝bc”，∴“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件．
12．（多选）下列选项中，可以作为一元二次方程ax2＋2x＋1＝0（a≠0）有一个正根和一个负根的充分条件的是（ ）
A．a<0B．a>0C．a<－1D．a<1
答案 AC
解析 因为一元二次方程ax2＋2x＋1＝0（a≠0）有一正根和一负根．
所以
即
解得a<0.
13．设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的________条件（填“充分”或“必要”）．
答案 充分
解析 若“四边形ABCD为菱形”，则“对角线AC⊥BD”成立；而若“对角线AC⊥BD”成立，则“四边形ABCD不一定为菱形”，所以“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分条件．
14．下列式子：
①a<0其中能使
<
成立的充分条件有________．（填序号）
答案 ①②④
解析 当a<0<0<
；
当b<
<0；
当b<0<0<
；
当0<
，
所以能使
<
成立的充分条件有①②④.
15．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么（ ）
A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C．丙既是甲的充分条件，又是甲的必要条件
D．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
答案 A
解析 因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲．
又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙⇒乙，但乙⇏丙，如图．
综上，有丙⇒甲，但甲⇏丙，
即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．
16．若p：
－2关于x的方程x2＋ax＋b＝0有两个小于1的不等正根，则p是q的什么条件？
解 若a＝－1，b＝
，则Δ＝a2－4b<0，关于x的方程x2＋ax＋b＝0无实根，故p⇏q.
若关于x的方程x2＋ax＋b＝0有两个小于1的不等正根，不妨设这两个根为x1，x2，
且0则x1＋x2＝－a，x1x2＝b.
于是0<－a<2,0即－2所以p是q的必要条件，但不是充分条件．
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