微积分曹定华修订版课后题答案第九章习题详解.docx
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微积分曹定华修订版课后题答案第九章习题详解
判定下列级数的收敛性:
习题9-1
CO
⑵'（、n1-n）；
n4
2（—1）nn42n
COr
'Tn丄n1n1
「（一1）n2;
nT
（8）
n
a（-1）nnzo2n1
解:
（1）该级数为等比级数,
111
公比为一，且a0,故当|一卜：
1,即a1时，级数收敛，当|一|亠1即0：
：
：
a乞1
aaa
时,
级数发散•
（2）TSn
=（迈-.1）（七-一2）川（百-」n）
qQ
、c.n-、、n）发散•
n=1
ACOACOA°°1
是调和级数71去掉前3项得到的级数，而调和级数、-发散，故原级数—
n仝nn三n
发散•
1+（-1）nQn4Qn
22丿
“1a（「1）m1
而肯，7（亠是公比分别为1的收敛的等比级数，所以由数项级数的基本性质知n壬2n经22
（5）tIn—Inn-ln（n1）n+1是Sn=（ln1-In2）（In2-In3）|"[lnn-ln（n1）]
QO
故ng—,所以级数j亠发散•
qQ
.limS不存在，从而级数「（-1）n2发散•n—门n丄
n+1
（7）tlimU=lim1-0
nYnYn
00n+1
.级数D发散•
n二n
2.判别下列级数的收敛性，若收敛则求其和:
limSn故级数收敛，且其和为丄.
n—*44
oO
nn
故limUn不存在，所以级数7cos一发散.
n‘：
n£2
qooa
3*.设7Un（Un>0）加括号后收敛，证明、•Un亦收敛.
n理n』
odQOaoQO
证：
设7Un（Un0）加括号后级数7An收敛，其和为S.考虑原级数VUn的部分和Sn八，Uk,并注
n=in・ndk-1
意到Uko（k=1,2,丨1（），故存在n。
使
又显然Sn：
：
：
Sn1对一切n成立，于是,
{&}是单调递增且有上界的数列，因此，极限limSn存在，即原
n_sc
qQ
级数7Un亦收敛•
n4
习题9-2
判定下列正项级数的收敛性:
（1）
cO
n1（n1）（n2）
cO
n=1
nan（n2）
QO
⑷心n（n25），
匸宀（a>0）；
n11a
二-^n（a,b>0）;
n1ab
（a>0）;
（8）
n2n-1
（9）
n
3
n，
n-1n2
（10）
%、、n
;
n-1n!
（11）
357（2n1）nj4710：
（3n1）
（12）
（13）
QO
（14）、'
n
（15）
QO
二2sin詰;
（16）
n=1
QO
z
n=1
ncos2罟2n
解:
因为
（n1）（n2）1,
:
:
:
而v收敛,
nnmn
由比较判别法知级数
□O
Z
n=1
收敛.
（n1）（n2）
（2）
因为
nmUn
limJ—=1工0，故原级数发散•i「n•1
（3）
因为
n2n（n1）
（4）因为
n
>
n（n1）n11
发散，由比较判别法知，级数
打丄2发散.nTn（n+1）
1.n（n25）001，而心.n（n25）3
是收敛的p一级数（p1）,由比较判别法
2
知,级数…收敛.
/（n2+5）
（5）因为
limn—产：
1
1a二lim
n—产：
1•an
艸11an
而当a1时,
当a=1时,
n41a
^—=1发散，故'、
当0:
a：
：
1时lim」
n—-Tan
1
=1=0，故lim——-发散；
综上所述，当
0:
:
:
a<1时,
级数
11lim发散，当a1时，lim收敛.
n:
-1an
n.；：
1•an
（6）因为
而当b・1时,
当b=1时,
abn
limn—1
=lim
bn
n—abn
abn
bn
二丄收敛,
n^bn
J收敛；
n
nvab
n=x'1发散，故而由a-0,
当。
”1时，nma^n
nda■bn
发散;
综上所述知，当0：
：
：
b^1时，级数
、发散;当b>1时,
级数
收敛.
（7）因为惨
n2a-n2-a
2an
-lim.一
n八-n2a-n2_a
-a）（a0）发散.
（8）因为
n4n3
冋吟Jim：
2宀1
nm昇收敛.
1
而V4收敛，故级数7n^1n
:
:
3n
、、丄发散.
n
n土n2
—发散.n£n!
r2n32彳
=lim1,
n¥3n+43
由达朗贝尔比值判别法知原级数收敛.
1
2x1
鸾收釦
2n
2（x1）
22x12ln2
U*（n+1）2
二x叭尹訐？
二0知n叫吉=n叫歹■o1
□0
由达朗贝尔比值判别法知，级数V
n=1
二2nn
-一n仍收敛，由比较判别
3n
n43
匚］n
法的极限形式知，级数2nsin-n收敛.
n43
2nnncos—3n
（16）因为n—n而与（12）题类似地可证级数
n
'、、•-n收敛，由比较判别法知级数
n
心2
nn:
-ncos——Z
n4
收敛.
2n
试在（0,+8内讨论x在什么区间取值时，下列级数收敛:
QO
⑵、n3
n=1
解:
（1）因为
IIxn1
Un1x
limlim
n_‘Unnn1=lim坐xnn1
原级数发散；
由达朗贝尔比值判别法知，当X1时,
当0：
：
：
x：
：
：
1时，原级数收敛；
而当X=1时,
原级数变为调，它是发散的.
n三n
综上所述，当
7n
0.x：
1时，级数V—收敛.
nmn
（2）因为
..Ulimn—「’U
n
xx
2由达朗贝尔比值判别法知，当-1即x2时，原级
数发散；
1即0x2时，原级收敛.
而当
x
厂1即"2时，原级数变为'
3
n
n=1
，而由
QO
=•：
：
知n3发散，综上所述，当0：
：
：
x：
：
：
2
n=1
oO
时，级数
vn3（x）n收敛.
n丘2
9-3
习题
1.判定下列级数是否收敛，如果是收敛级数，指出其是绝对收敛还是条件收敛:
□aa
:
』（F
n4M）n<2n
sinnxZ
2nJn
=（—1）n1
n4
1.n
sin;
nnn
oO
z
n-1
102n1
（-1）n
n=nx
J.:
sin（2nx）
n!
解:
（1）
这是一个交错级数
2n-1
limUn=0,
nj
j2n-1
2n-1
2n1
由莱布尼茨判别法知
COA
、（-1）n
n=1
2n-1
又E（-1）
2n-1
na2n-1
，由
lim
ny-
2n—1
J（-$
n=1
1
—条件收敛•
2n-1
（2）因为
（-1）22
（_1）22n
：
=3
故
2n（—1）n』愛'故
而收敛，故亦收敛，由比较判别法知
n吕2n£2
对收敛•
（3）因为
sinnx
n2
绝对收敛•
（4）因为
而'丄收敛,
绝对收敛•
及:
丄发散，知级数
oO
z
（-1）n2
（1）22n
<2,而级数'」&收敛，由比较判别法知、-n一
收敛,
sinnx
n2
|（-1）n1
lim
n•；：
^sin-1
mn
・nsin—n
n
=1
由比较判别法的极限形式知，级数a|（T）n1
1
1
<
1
+|1I
2n
102Z
2n
102n4
（5）因为
2n1022
丄1
n
oa
z
n=12n-1
发散，所以级数
所以级数
心（-1严2n
qQ”
收敛，因此，级数7sinnx
nT
n2
■^sinJ收敛，从而级数（-1）时1nnn
.n
sin
mn
而级数+收敛的等比级数（q』）；由比值
n#2n2
•:
二1/11I
判别法，易知级数躺收敛，因而7二1门收敛，由比较判别法知级数、
110-n4210-
n=1
n=1
n2n1
210一
qQ
敛，所以原级数7
2n102nJ
绝对收敛.
（6）当x为负整数时，级数显然无意义；当x不为负整数时，此交错级数满足莱布尼茨判别法的
条件，故它是收敛的，但因a
'—发散，故原级数当X不为负整数时仅为条件收敛
（7）因为
sin（2nx）n!
1
<—
n!
由比值判别法知
1—收敛（tlim（n1）!
n-n!
=0）,从而由比较判别法知
□a
z
n-1
n!
sin（2nx）n!
收敛，所以级数
fsinm，绝对收敛.
n!
讨论级数V（-1）
nz!
n二丄的收敛性
np
（p>0）.
解:
当p1时，由于
np
二丄
nmnp
-收敛，故级数1（_1）n」
1
p绝对收敛.
n=1
当0:
:
：
p乞1时，由于Unp（n1）p
二Un1,
limun=0，由莱布尼茨判别法知交错级数
n.匚
°°1
V（_1严1
nA
np
收敛，然而，当0：
：
：
p空1时,
二（T）
n-11
np
二1ndnp
p发散，故此时，级数（-1）
n-11
np
条件收敛.
综上所述，当0：
：
：
p冬1时，原级数条件收敛
;当p>1时，原级数绝对收敛•
COQO
v/22
3v.设级数7an及bn都收敛，证明级数
oOQO
7anbn及一i.an•bn2也都收敛.
n=1
证：
因为0习anbn|Janl|bn|ibn2
QO
及Vbn2都收敛,
□OCO.
故V2an2?
^bn2收敛,n32nm2
00（11
从而a2an2-bn2收敛，由正项级
122丿
数的比较判别法知
Zanbn也收敛，从而级数送anbn绝对收敛
•又由
qQqQcQ
（anbn）^an2-2anbnbn2,及，a.^^bn2,以及7anbn收敛，利用数项级数的基本性质知，
（an2-2anbn-bn2）收剑，亦即n1
od
、（an
n4
-bj2收敛.
习题9-4
指出下列幕级数的收敛区间:
（1）
con
v.x
（0!
=1）；
nOn!
n!
n
⑵nx；
n」n
xn
"R;
:
:
x2n1f（x2）n
n卫
2nn，
解:
因为p=limn-^c
=lim
n厂n1
an1
an
n、—（x-1）n•
n=0n
—=0，所以收敛半径r:
:
幕级数打—的收心n!
敛区间为
（-e,e）.
n
x1
当X=2时，级数V=7—2是收敛的P一级数（P=2>1）；
2
n22
nn=0n
oOxn悶1
当x=-2时，级数a「二P（-1）"1是交错级数，它满足莱布尼茨判别法的条件，故它收敛nzQ2nnmn
旳xn
综上所述，级数v〒—的收敛区间为[-2,2].
y2n
（4）此级数缺少偶次幕的项，不能直接运用定理
间•
条件，故它们都收敛•
（5）此级数为（x+2）的幕级数.
1所以收敛半径r2，即|x2|<2时，也即-4.x0时级数绝对收敛•当|x2|2即x：
：
：
-4P
或x0时，原级数发散•
旳1
当x=-4时，级数变为a（-1）n1是收敛的交错级数，
n=0n
001
当x=0时，级数变为调和级数,它是发散的•
nmn
综上所述，原级数的收敛区间为[-4,0）.
（6）此级数（x-1）的幕级数
1
故收敛半径r.
2
113
于是当|x-1|即x时，原级数绝对收敛
222
113
当|xT|即x或x时，原级数发散
222
3:
:
1
当x时，原级数变为是调和级数，发散
2n1:
:
1
当x时，原级数变为7（-1）n，是收敛的交错级数
2n二n
综上所述，原级数的收敛区间为
求下列幕级数的和函数:
CO
（2）所给级数的收敛半经r=1，设S（x）=v2nx2nJ,当|x|：
：
：
1时，有
n¥
故Z2nx2n」=—2x>2（|x|c1）n壬（1-X）
（3）可求所给级数的收敛半径为1.
X
所以g（x）二一oIn（1-x）dx二xIn（1-x）-xln（1_x）；
所以S（x）=11In（1-x）,|x|：
：
：
1,且x=0.
lx丿
当x_1时，级数为'、•
COdCOA
—和'（-1）n1n2n（n1）
，它们都收敛•且显然有S（0）=0.
n（n1）11-1In（1—x）X（-1,0）-.（0,1）x=0,x_1
（4）可求得所给级数的收敛半径为
r=1且x_1时，级数发散，设S（x）八，
n=0
nxn」,则
0s（x）dx二\x
n卫1-X
11
S（x）y口
，即JnxnJ
（1）
解:
（1-x）2'所以'（2n1）xn=2x'nxn_l
n=0
QO
xn
n£
求下列级数的和:
:
:
2
、、、'
n，
n±5
:
:
2n-1
（1）考察幕级数
od
z
oO
n^（2n-1）2n'
⑷二n（n1）
nd
2n
，可求得其收敛半径r=1
，且当X—1时，级数的通项
Un
2
nmiun—nmn
八：
，因而
lim山=0,故当x_1时,
n—,>-
oOoo
级数vn2xn发散，故幕级数v
2n
二nx
的收敛区
间为（-1,1）.
设S（x）=n2xn（|xp：
：
1）,则S（x）=xtn2xn*
oO
2n4
令S（x）八nx
n=1
x/
.0S（x）dx二'nx
n=1
oO
n-1
=xnx再令£（x）八nx
nT
则J0S2（x）dx=送1-x
故S2（x）
x
1_x（1_x）2（|x|"），从而有"g
2・
（1-x）
S（x）
=xSi（x）=
xx2
（1-X）3
qQ
（2）考察幕级数
112
（）
55
3
1」
5
15
32
1
—x2n，可求得收敛半径r=1，设
1-x2■
COACO
I2n二c\丁2n_2
x，则3（x）='x
11+x
S1（x）V（0）寸石
（s,（0）"）•
1.八
s（xr尹仁,（沪），
从而
QO
*n-厂…
n生（2n-1）22y21
「2
（3）考察幕级数（2n-1）x2nJ，可求得其级数半经为r=1,因为
--x■■
令S（x）二'2nx2n4，则p0（x）dx八x2n
取XJ，得
2
（4）考察幕级数an（n1）xn，可求得其收敛半径r=1
（i）
解:
oO
设S（x）八n（n1）xn（|x|：
：
：
1）
n4
x:
:
:
:
则［0S（x）dx=^nxn书=x?
送nxnA.
n2n^
oO
又设S/x）八nx
ni
从而Si（x）
n」则
x
0Sdx）dx
0V
一n一、x
n4
1-x
1_x
1
=（1-x）2
习题9-5
将下列函数展开成
x的幕级数:
2x
cos；
2
x
sin—;⑶
2
A2
n
⑸cos（x）.
（1）
2xcos一
2
1cosx
11:
:
x2n
（2n）!
.x
sin
2
八（-1）n
nW
1x
（2n+1）!
迈丿
2n1
（-二：
:
：
X；：
「：
）
（3）
2-xxe
二x'」（
n£n!
oO
2、nn
-x）（-1）
n=S
12n1
x（_：
-：
：
X：
-）n!
1
1-x2
1丄•丄
2|H-x1x
（5）
cos
n
二cosxcos-
4
n
sinxsin
4
2.将下列函数在指定点处展开成幕级数，并求其收敛区间:
1
（1）
在X0—1；
3-
x
1
⑶
2
在X0-1；
x
4x3
解:
（1
1
）因为=
1
二*
1
3-x
21-
X-1
2
而
（2）cosx,在x0=—；
3，
1
（4）2，在xo=3.
x
x-1
（|D卜：
1即-Vx3）.
2
所以
1Mfx-1Y腭（X-1）n
n~1
2n卫.2律2n1
（―1：
：
x：
：
3）.
收敛区间为：
（-1,3）
nnIn2n2
（2）cosx=cos（x）=cos-cos（x）—sinsin（x）[333333
收敛区间为（Y,•二）.
11111111
（3）（—）-
x2+4x+321+x3+x4[+口8忙_1
~4~由|x?
1且|x—1|v.1得一1vxc3，故收敛区间为（-1,3）
二_'（-[）
_n=0
（x-3）n
故收敛区间为（0,6）
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