内轮差数学建模.docx
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内轮差数学建模
摘要………………………………………………………………………………2
1、问题重述………………………………………………………………………3
2、模型假设和符号说明………………………………………………………3
3、问题分析……………………………………………………………………5
4、数据分析……………………………………………………………………6
5、问题一的解答……………………………………………………………7
6、问题二的解答………………………………………………………………7
6.1、模型一的建立……………………………………………………………7
6.1.1、模型的准备……………………………………………………8
6.1.2、编程分析1………………………………………………………8
6.2.1、模型二的建立…………………………………………………10
6.2.2模型二的准备……………………………………………………11
6.1.3、编程分析2……………………………………………………12
7、问题三的解答………………………………………………………………14
8、模型的评价、改进及推广…………………………………………………14
8.1模型评价……………………………………………………………14
8.2模型的改进…………………………………………………………15
8.3模型的推广…………………………………………………………15
参考文献…………………………………………………………………………15
附录………………………………………………………………………………15
摘要
本文讨论的是关于内轮差的问题，属于求解最优解的优化模型。
我们根据从相关文献中收集到的数据利用MATLAB软件进行了统计分析，对车辆转弯时的内轮差进行求解。
车辆在转弯时，后轮并不是沿着前轮的轨迹行驶的，会产生偏差，这种偏差叫“内轮差”，车身越长，形成的内轮差就越大。
大型车事故中，很大一部分与“内轮差”有关。
因此，如何减小内轮差，避免事故的发生显得尤为重要。
本文通过对已有的数据的分析，根据相关的数学建模知识，解决了题目要求的实际问题。
针对问题一：
我们通过搜集相关文献与资料来了解半挂车，非半挂车的内轮差受哪些因素的影响，并且要通过对不同数据的分析来了解那些事影响内轮差的主要因素。
针对问题二：
建立相应物理模型，分析汽车转弯时产生内轮差的因素是如何来影响汽车的内轮差的，并且通过建立的物理模型对不同车型在转弯时的内轮差进行求解，来进一步通过求解出的公式及结果来了解和掌握影响内轮差的主因与内轮差之间的具体关系。
针对问题三：
通过对问题一和问题二建立的模型，并且收集不同类型车的相关数据，采用MATLAB软件分析不同因素对内轮差影响的大小。
由此得到的结果，分析轴距，轮距，最小转弯半径对内轮差的影响，并提出相应的解决方案。
关键词：
内轮差影响因素解决方案最小转弯半径轴距后轮距
1、问题重述
车辆在转弯时，后轮并不是沿着前轮的轨迹行驶，会产生偏差，这种偏差叫“内轮差”，车身越长，形成的“内轮差”就越大。
大型车事故中，很大一部分与“内轮差”有关。
大型车转弯时，如果车头正好挨着骑车人，车身中后段多半会把骑车人蹭倒，而且此时司机多半处于“视觉盲区”，无法及时反应，导致骑车人被卷入车底发生事故。
如果驾驶员在路口转弯时，车速更慢一点，转弯半径更大一些，非机动车驾驶人离大型车远一些，事故就不会发生了。
然而内轮差被太多人忽略了，在马路上时常会见到电动车驾驶人或行人遇到转弯大货车时，紧贴转弯车辆停车，以为车头能通过就安全了。
其实，转弯的车子，前面部分过去了，后面部分照样可能带倒你。
本文需要解决的问题有：
问题一：
试分析确定影响内轮差的因素。
问题二：
建立模型分析内轮差因素影响的原因，求解各种类型汽车的内轮差。
问题三：
怎样减小内轮差。
2、模型假设和符号说明
模型假设
假设1：
收集的数据时合理、正确的。
假设2：
假设汽车的前后轮距是一样的。
假设3：
假设路况、车况都是理想的。
假设4：
假设车速相对稳定。
假设5：
轮胎无微小形变，整个车体可视为刚体。
模型一：
r
最小转弯半径
l
轴距
d
后轮距
R1
前内轮转弯半径
R2
后内轮转弯半径
右前轮的偏转角
左前轮的偏转角
L1
前轮组到汽车重心间的距离
L2
后轮组到汽车重心间的距离
m
汽车的质量
k
常数
汽车的转向角
v
车速
R
内轮差
模型二：
r
最小转弯半径
L1
牵引车的轴距
L2
半挂车的轴距
R1
牵引车前内轮转弯半径
R2
牵引车后内轮转弯半径
R3
半挂车内轮转弯半径
d1
牵引车后轮距
d2
半挂车后轮距
3、问题分析
内轮差是由于车辆转弯时前后轮轨迹的不同造成的一定的偏差，计算为车辆转弯时前内轮的转弯半径与后内轮的转弯半径之差。
许多的交通事故都是因为行人和司机不了解内轮差和不重视内轮差而导致的。
因此研究内轮差是很有必要，很有意义的。
根据日常生活经验可以猜想到车身越长，转弯半径越大，速度越快，车身越重，转弯半径越大。
针对问题一：
内轮差的影响因素按日常生活经验及查找不同类型车的数据来推测为以下几点：
1、车的最小转弯半径。
2、车身的长度。
3、车身的轴距，轮距。
4、车的种类。
针对问题二：
内轮差的计算公式为：
前内轮的转弯半径-后内轮的转弯半径
根据图一中的几何关系，用勾股定理可以化简的到非挂式汽车的求解公式为内轮差=
。
由此我们查出三种不同型号的车的最小转弯半径r,两后轮之间的轴距d,同侧前后轮之间的距离l参数，在假设条件成立的情况下根据公式计算出它们的内轮差。
另外，通过查找文献资料发现重心的位置也是影响因素之一。
重心靠前的汽车，速度越高，方向盘需要转动的角度越大；然而，对于重心靠后的汽车，速度越大，方向盘需要转动的角度越小。
这种现象可以从汽车行驶理论中得出半径与车速的关系式
根据公式可得最小转弯半径r与v,m,L1,L2有关。
针对问题二：
通过我们对问题一的建模求解得到的目标函数可知，内轮差和最小转弯半径r，两后轮之间的距离d，同侧前后轮之间的距离l参数有关。
为了研究这些参数对内轮差的影响，我们也进行了相应的测试，对这些因素进行分析。
针对问题三：
通过对模型二的求解，我们可以由内轮差与影响因素的关系得出控制内轮差的相应措施，从而解决了问题三。
4、数据分析
为了求得三种不同车型车的内轮差，我们通过查阅相关资料得到轴距，轮距最小转弯半径的一些参数，来考虑轴距、轮距以及最小转弯半径对汽车内轮差的影响。
不同车型的参数表
表一：
非挂式车的相关数据
车身
宝马7系列
奇瑞QQ6
富康汽车
黄海大客车
奥迪A6L
五征1800轻卡
一汽CA6123TH2
轴距l（m）
3.21
2.34
2.54
6.265
3.012
3.250
6.100
轮距d（m）
1.65
1.42
1.424
1.81
1.608
1.415
1.847
最小转弯半径r（m）
6.35
4.8
5.25
12
5.200
6.200
11.500
表二：
半挂式车的数据
联合重卡375马力
奔驰ACTROSS435马力
北奔V3重卡马力
陕汽德龙F300
东风天龙450马力
最小转弯半径r
12.300
11.500
12.300
11.300
11.500
前轴距l1
1.350
1.350
1.350
1.400
1.350
后轴距l2
3.825
3.300
3.825
3.175
3.300
牵引车后轮距d1
1.83
1.800
1.800
1.800
1.820
半挂车后轮距l2
1.83
1.800
1.800
1.800
1.820
5、问题一的解答
内轮差的影响因素按日常生活经验及查找不同类型车的数据来推测为以下几点：
1、车的最小转弯半径。
2、车身的长度。
3、车身的轴距，轮距。
4、车的种类。
6、问题二的解答
针对问题二我们建立的模型如下。
6.1、模型一的建立
图一：
第一类汽车转弯模型
6.1.1、模型的准备
由图一可得方程：
（1）
（2）
由此可得到R1,R2：
（3）
（4）
内轮差：
R=R1-R2=
（5）
用转向角表示为：
（6）
由模型可得到一个约束条件
不相等，但满足：
（7）
终上所述，可以得到如下模型：
R=
（8）
6.1.2、编程分析1
一．最小转弯半径对内轮差的影响：
由图可以看出：
内轮差随着最小转弯半径的增大而呈现减小的趋势，因此我们可以得出最小转弯半径对内轮差有影响：
内轮差随着最小转弯半径的增大而减小。
二．轴距对内轮差的影响：
由图可得：
内轮差随着轴距的增大而增大，且趋势很显著，因此我们可以得出轴距对内轮差有影响：
内轮差随着轴距的增大而增大。
三．轮距对内轮差的影响：
由图可得：
内轮差随着轮距的增大而增大。
但增大的情况相对轴距较小，因此我们可以得出：
内轮差随着轮距的增大而缓慢增大。
由所建的模型可知：
内轮差的大小与汽车的轴距，轮距，最小转弯半径有关，根据所查的数据，通过matlab编程计算可得：
非挂式车不同型号的车的内轮差（单位：
米）
车型号
宝马7系列
奇瑞QQ6
富康汽车
黄海大客车
奥迪A6L
五征1800轻卡
一汽CA6123TH2
最大内轮差（m）
1.1676
0.8559
0.8919
2.0741
1.3683
1.1848
2.0806
6.2.1、模型二的建立
第二类汽车转弯模型
6.2.2模型二的准备
模型二是分析半挂车的内轮差，由上图的模型，根据勾股定理可以得到以下方程：
（1）
（2）
（3）
可得到：
（4）
（5）
（6）
内轮差：
R=R1-R3
=
—
+
（7）
6.1.3、编程分析2
由此我们可以用MATLAB软件得到不同因素对内轮差的影响：
一、最小转弯半径对内轮差的影响
由图可知对半挂式车而言最小转弯半径越大，内轮差越小。
二、牵引车轴距对内轮差的影响
由图可知半挂式汽车的牵引车的轴距越大，车子的内轮差越大。
三、半挂车的轴距对内轮差的影响
由图可知，半挂式汽车的半挂车的轴距越大，内轮差越大，并且影响的程度比牵引车轴距的影响更大。
四、半挂式车的牵引车的后轮距对内轮差的影响
由图可知，半挂式车的牵引车的后轮距越大，可减小内轮差。
五、半挂式车的挂车的后轮距对内轮差的影响
由图可知，半挂式车的挂车的后轮距越大，内轮差越大。
与牵引车的后轮距的影响相反。
由所建的模型可知：
内轮差的大小与汽车的牵引车挂车的轴距，轮距，最小转弯半径有关，根据所查的数据，通过matlab编程计算可得：
半挂式车不同型号的车的内轮差（单位：
米）
车
型
联合重卡375马力
奔驰ACTROSS435马力
北奔V3重卡马力
陕汽德龙F300
东风天龙450马力
内轮差（米）
0.7311
0.6009
0.7300
0.5750
0.6015
7、问题三的解答
问题二通过计算大致模拟出了不同汽车转弯时的内轮差，问题二求解的是最大的内轮差是在不考虑重心位置并且不考虑速度队最小转弯半径的影响的的前提下求解的。
根据公式
，我们可以看出速度的大小和的位置对最小转弯半径是有影响的。
最小速度越大，最小转弯半径也就越大，同时重心位置的不同，对最小转弯半径也是有影响的。
因此我们可以提出以下几个建议以减小内轮差。
1、慢速行驶，以尽可能的减小最小转弯半径的大小。
2、减小轴距，即在设计生产汽车时，尽量减小汽车的轴距。
3、汽车的轴距越大也能增大汽车在转弯时的内轮差，所以在生产汽车时要注意汽车的轮距。
4、除了考虑汽车的因素，还应考虑路面状况，司机的状态等等因素。
5、行人在转弯处行走注意保持人车距离，尽量不要靠近车辆，可根据以上模型来估算车辆的内轮差，认准安全距离。
8、模型的评价、改进及推广
8.1模型评价
优点:
（1）我们根据建立的多个模型能够更加清楚明白的通过模型看出求解的过程
（2）根据问题二我们也可以更好的通过图表来看出轴距、轮距以及最小转弯半径对汽车内轮差的影响过程
（3）通过建立的简单的模型我们可以解决很多普遍的问题，使我们的模型更具实用性
缺点：
（1）由于所搜集到的数据太少使我们对模型一和模型二的求解结果不够精确
（2）由于我们在模型假设的过程中所忽略的影响因素太多，导致了计算结果的误差
8.2模型的改进
（1）在进行模型一、模型二的求解时我们需要搜集更多的相关数据。
（2）在考虑影响内轮差的相关因素时我们需要考虑一些除轴距、轮距、最小转弯半径的其他因素，能更好的为减少内轮差提供措施，在改进模型中我们可以对车辆的速度，车辆的质量，车辆的当前性能与状况以及路面的状况等因素。
8.3模型的推广
我们建立的模型可以对各种不同的汽车进行内轮差的分析与计算，也可以更进一步的为如何减少车子的内轮差，为减少事故发生提供相应有效的措施，解决一些有关事故的纠纷问题，也可以对不同车型的内轮差进行计算，从而对这方面的交通安全知识进行推广，减少车祸的产生。
参考文献
《汽车构造图解》
《数学实验与建模》国防工业出版社，吴礼斌，李柏年编著
《数学模型方法》华中理工大学出版社，齐欢编著
《全国大学生数学建模竞赛优秀论文汇编》全国大学生数学建模竞赛组委会编
附录
模型一的程序：
clear
symsrld
R=sqrt（（sqrt（r^2-l^2）-d）^2+l^2）-sqrt（r^2-l^2）+d;
subs（R,{r,l,d},{[6.354.85.25125.2006.20011.500],[3.212.342.546.2653.0123.2506.100],[1.651.421.4241.811.6081.4151.847]}）%求内轮差
y1=subs（R,{l,d},{[3.212.342.546.2653.0123.2506.100],[1.651.421.4241.811.6081.4151.847]}）;
y2=subs（R,{r,d},{[6.354.85.25125.2006.20011.500],[1.651.421.4241.811.6081.4151.847]}）;
y3=subs（R,{r,l},{[6.354.85.25125.2006.20011.500],[3.212.342.546.2653.0123.2506.100]}）;
subplot（3,1,1）
ezplot（r,y1
（1）,[512]）
title（'r对内轮差的影响'）
subplot（3,1,2）
ezplot（l,y2
（1）,[06]）
title（'l对内轮差的影响'）
subplot（3,1,3）
ezplot（d,y3
（1）,[1,3]）
title（'d对内轮差的影响'）
模型二的程序：
clear
symsrl1l2d1d2
R=sqrt（（sqrt（r^2-l1^2）-d1）^2+l1）-sqrt（（sqrt（r^2-l1^2）-0.5*d1）^2-l2^2）+0.5*d2;
subs（R,{rl1l2d1d2},{[12.30011.512.311.311.5],[1.351.351.351.41.35],[3.8253.33.8253.1753.3],[1.831.801.81.81.82],[1.831.801.81.81.82]}）%求内轮差
y1=subs（R,{l1l2d1d2},{[1.351.351.351.41.35],[3.8253.33.8253.1753.3],[1.831.801.81.81.82],[1.831.801.81.81.82]}）;
y2=subs（R,{r,l2d1d2},{[12.30011.512.311.311.5],[3.8253.33.8253.1753.3],[1.831.801.81.81.82],[1.831.801.81.81.82]}）;
y3=subs（R,{rl1d1d2},{[12.30011.512.311.311.5],[1.351.351.351.41.35],[1.831.801.81.81.82],[1.831.801.81.81.82]}）;
y4=subs（R,{rl1l2d2},{[12.30011.512.311.311.5],[1.351.351.351.41.35],[3.8253.33.8253.1753.3],[1.831.801.81.81.82]}）;
y5=subs（R,{rl1l2d1},{[12.30011.512.311.311.5],[1.351.351.351.41.35],[3.8253.33.8253.1753.3],[1.831.801.81.81.82]}）;
subplot（5,1,1）
ezplot（r,y1
（1）,[5120.50.6]）
title（'r对内轮差的影响'）
subplot（5,1,2）
ezplot（l1,y2
（1）,[06]）
title（'l1对内轮差的影响'）
subplot（5,1,3）
ezplot（l2,y3
（1）,[06]）
title（'l2对内轮差的影响'）
subplot（5,1,4）
ezplot（d1,y4
（1）,[06]）
title（'d1对内轮差的影响'）
subplot（5,1,5）
ezplot（d2,y5
（1）,[06]）
title（'d2对内轮差的影响'）
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