三角函数图像与性质知识点总结和经典题型.docx

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三角函数图像与性质知识点总结和经典题型

函数图像与性质知识点总结和经典题型

1．正弦函数、xx函数、正切函数的图像

2．三角函数的单调区间：

求三角函数的单调区间：

一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A、的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间；

的递增区间是，递减区间是；

的递增区间是，递减区间是，

的递增区间是，

3．对称轴与对称中心：

的对称轴为，对称中心为；

的对称轴为，对称中心为；

无对称轴，对称中心为；

对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。

4．函数

最大值是，最小值是，周期是，频率是，相位是，初

相是；其图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心。

y＝Asin（ωx＋φ）＋B的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：

①A的确定：

根据图象的最高点和最低点，即A＝；

②B的确定：

根据图象的最高点和最低点，即B＝；

③ω的确定：

结合图象，先求出周期，然后由T＝（ω>0）来确定ω；

④φ的确定：

把图像上的点的坐标带入解析式y＝Asin（ωx＋φ）＋B，然后根据φ的范围确定φ即可，例如由函数y＝Asin（ωx＋φ）＋K最开始与x轴的交点（最靠近原点）的横坐标为－（即令ωx＋φ＝0，x＝－）确定φ.

5.三角函数的伸缩变化

先平移后伸缩

的图象

得的图象

得的图象

得的图象

得的图象．

先伸缩后平移

的图象

得的图象

得的图象

得的图象得的图象．

6．由y＝Asin（ωx＋）的图象求其函数式：

给出图象确定解析式y=Asin（ωx+）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置。

7．求三角函数的周期的常用方法：

经过恒等变形化成“、”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法。

函数y＝Asin（ωx＋φ）和y＝Acos（ωx＋φ）的最小正周期为，

y＝tan（ωx＋φ）的最小正周期为.

8．五点法作y=Asin（ωx+）的简图：

五点取法是设x=ωx+，由x取0、、π、、2π来求相应的x值及对应的y值，再描点作图。

9.求三角函数值域（最值）的方法：

（1）利用sinx、cosx的有界性；

由于正xx函数的值域都是[－1,1]，因此对于∀x∈R，xx有－1≤sinx≤1，－1≤cosx≤1，.

（2）形式复杂的函数应化为y＝Asin（ωx＋φ）＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；

（3）换元法：

把sinx或cosx看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域（最值）问题．

利用换元法求三角函数最值时注意三角函数有界性，如：

y＝sin2x－4sinx＋5，令t＝sinx（|t|≤1）.

三角函数的图象及常用性质

函数

y＝sinx

y＝cosx

y＝tanx

单调性

在[－

＋2kπ，

＋2kπ]（k∈Z）上单调递增；在[

＋2kπ，

＋2kπ]（k∈Z）上单调递减

在[－π＋2kπ，2kπ]（k∈Z）上单调递增；在[2kπ，π＋2kπ]（k∈Z）上单调递减

在（－

＋kπ，

＋kπ）（k∈Z）上单调递增

对称性

对称中心：

（kπ，0）（k∈Z）；对称轴：

x＝

＋kπ（k∈Z）

对称中心：

（

＋kπ，0）（k∈Z）；对称轴：

x＝kπ（k∈Z）

对称中心：

（

，0）（k∈Z）

四．典例解析

题型1：

三角函数的图象

例1．（全国，5）函数y＝－xcosx的部分图象是（）

解析：

因为函数y＝－xcosx是奇函数，它的图象关于原点对称，所以排除A、C，当x∈（0，）时，y＝－xcosx＜0。

答案为D。

题型2：

三角函数图象的变换

（xx）将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位xx，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是

（A）（B）

（C）（D）

解析：

将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位xx，所得函数图象的解

析式为y＝sin（x－）再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是.

题型3：

三角函数图象的应用

例1：

函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（x∈R，A>0，ω>0,0<φ<）的部分图象如图所示．求f（x）的解析式；

解：

由图可知A＝2，＝，则＝4×∴ω＝.

又f（－）＝2sin[×（－）＋φ]＝2sin（－＋φ）＝0∴sin（φ－）＝0

∵0<φ<，∴－<φ－<∴φ－＝0，即φ＝∴f（x）＝2sin（x＋）．

例2．已知函数y＝sin（ωx＋φ）（ω>0，－π≤φ<π）的图象如图所示，则φ＝________.

解析：

由图可知，＝2π－π，

∴T＝π，∴＝π，∴ω＝，

∴y＝sin（x＋φ）．

又∵sin（×π＋φ）＝－1，

∴sin（π＋φ）＝－1，

∴π＋φ＝π＋2kπ，k∈Z.

∵－π≤φ<π，∴φ＝π.答案：

π

例3．已知函数y＝sin（ωx＋φ）（ω>0，|φ|<π）的图象如图所示，则φ＝________.

解析：

由图象知T＝2（－）＝π.

∴ω＝＝2，把点（，1）代入，可得2×＋φ＝，φ＝.

例4．（xx卷改编）已知函数f（x）＝Acos（ωx＋φ）的图象如图所示，f（）＝－，则f（0）＝________.

解析：

＝π－π＝，∴ω＝＝3.

又（π，0）是函数的一个上升段的零点，

∴3×π＋φ＝＋2kπ（k∈Z），得φ＝－＋2kπ，k∈Z，

代入f（）＝－，得A＝，∴f（0）＝.

解：

由函数图象可知

解1：

以点N为第一个零点，则

解2：

以点为第一个零点，则

解析式为将点M的坐标代入得

小结：

题型4：

三角函数的定义域、值域

已知函数.

（1）求的最小正周期；

（2）求在区间上的最大值和最小值.

解：

（1）∵

∴函数的最小正周期为.

（2）由，∴，

∴在区间上的最大值为1，最小值为.

题型5：

三角函数的单调性

例．求下列函数的单调区间：

y+1

解：

因为函数的单调递增区间为，

故

故函数的单调递增区间为