北京高考数学真题及答案理科.docx
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北京高考数学真题及答案理科
绝密★启封前机密★使用完毕前
2013年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理）（北京卷）
本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）
、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项。
（1）
已知集合A{1,0,1},B{x|1wx1}，则AIB
（5）函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线yex关于y轴对称，则f（x）
（A）e（B）e
（C）ex1（D）ex1
22
（6）若双曲线与与1的离心率为,3，则其渐近线方程为
满足
（A）y2x
1
（C）y-x
2
（7）直线l过抛物线C:
x24y的焦点且与
4
（A）4
3
（C）8
3
2xy1
（8）设关于x,y的不等式组xm0,
ym0x02y°2.求得m的取值范围是
（A）（,4）
（C）―t）
（B）y2x
（D）y—x
2
y轴垂直，则I与C所围成的图形的面积等于
（B）2
（D）专
3
0,
表示的平面区域内存在点P（x0,y0）,
（B）（d
5
（D）（,-）
3
第二部分（非选择题共110分）
、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）在极坐标系中，点（2,_）到直线sin2的距离等于
6
（10）
（11）
（12）将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给
4人，每人至少
1张•如果分给同
人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是
（13）向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示.若
（14）
（,R），则一
如图，在棱长为2的正方体
中点，点P在线段D!
E上.
为.
ABCDA1B1C1D1中，E为BC的
点P到直线cg的距离的最小值
b
I
I
三、解答题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（15）（本小题共13分）
在厶ABC中，a3，b2.6，B2A.
（I）求cosA的值；
（n）求c的值.
（16）（本小题共13分）
下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图•空气质量指数小于100表示空气质量
优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染.某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天.
（I）求此人到达当日空气重度污染的概率；
（n）设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望;
（川）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？
（结论不要求证明）
（17）（本小题共14分）
如图，在三棱柱ABCABQ!
中，AAGC是边长为4的正方形，平面ABC平面AAQQ,AB3,BC5.
（I）求证：
AA1平面ABC;
（n）求二面角A!
BGB!
的余弦值；
（川）证明：
在线段BC1上存在点D，使得ADA1B•并求
BC1
（18）（本小题共13分）
设L为曲线C:
y—在点（1,0）处的切线.
x
（I）求L的方程；
（n）证明：
除切点（i,o）之外，曲线c在直线L的下方.
（19）（本小题共14分）
2
已知A,B,C是椭圆W:
-y21上的三个点，O是坐标原点.
4
（I）当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积；
（n）当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由.
（20）（本小题共13分）
已知｛aj是由非负整数组成的无穷数列•该数列前n项的最大值记为An，第n项之后各
项an!
an2,L的最小值记为B.,dnA.B..
（I）若｛an｝为2,1,4,3,2,1,4,3,L，是一个周期为4的数列（即对任意nN*,an4an）,写出d1,d2da的值；
（n）设d是非负整数.证明：
dnd（n1,2,3,L）的充分必要条件为｛务｝是公差为d的等差数列；
（川）证明：
若a!
2,dn1（n1,2,3,L），则｛an｝的项只能是1或者2，且有无穷多项
为1.
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
绝密★考试结束前
2013年普通高等学校招生全国统一考试
、选择题（共
数学（理）
8小题，每小题
（北京卷）参考答案
40分）
（4）C
解：
（I）因为a3,b2・.6,
所以2sinAcosAsinA
故cosA6.
3
所以sinB
asinC所以c5.
sinA
（16）（共13分）
解：
设Ai表示事件“此人于3月i日到达该市”（i1,2,L,13）.
1
根据题意，P（A），且AiIAj（ij）.
13
（I）设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则BA5UA8.
所以P（B）P（AsUA8）P（A5）P（A8）—.
13
（n）由题意可知，x的所有可能取值为0,1,2，且
P（X
1）
P（A3UA6UA7UA11）
P（A3）P（A6）P（A7）
P（An）
4
13，
P（X
2）
P（A1UA2UA12UA13）
P（AdP（A2）P（A12）
Pg）
4
13，
P（X
0）
1P（X1）P（X2）
5
13.
所以X的分布列为:
X
0
1
2
P
5
4
4
13
13
13
故X的期望EX0—1—2—12.
13131313
（川）从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.
（17）（共14分）
解：
（I）因为AA1C1C为正方形，所以AA1AC.
所以AAi平面ABC.
所以cosn,m
nm16
1不恳125'
由题知二面角A1BC1B1为锐角,
25
由ADA1B
解得25
此时，-BD9
BC125
（18）（共13分）
解：
（I）设仆）叭，则f（x）屮.
xx
所以f⑴1.
所以L的方程为yX1•
（H）令g（x）x1f（x），则除切点之外，曲线C在直线L的下方等价于
g（x）0（x0，x1）•
g（x）满足g
（1）
0，且
g（x）1
2
x1Inxf（x）2
x
当0x1<0,Inx<0,所以g（x）<0，故g（x）单调递减;
当x>1时，x21>0,lnx>0,所以g（x）>0,故g（x）单调递增.
所以，g（x）g
（1）0（x0,x1）.
所以除切点之外，曲线C在直线L的下方.
（19）（共14分）
2解：
（I）椭圆W:
—y21的右顶点B的坐标为（2,0）.
4
因为四边形OABC为菱形，所以AC与OB相互垂直平分.
所以可设A（1,m），代入椭圆方程得丄m21，即m乜.
42
11
所以菱形OABC的面积是-|OB||AC|-22|m|3.
（H）假设四边形OABC为菱形.
因为点B不是W的顶点，且直线AC不过原点，所以可设AC的方程为
ykxm（k0,m0）.
222
（14k）x8kmx4m40.
设A（X!
yj,C（X2,y2），则
所以AC的中点为M（
4kmm、
2）
14k14k
1
因为M为AC和OB的交点，所以直线OB的斜率为丄.
4k
1
因为k（）1，所以AC与OB不垂直.
4k
所以OABC不是菱形，与假设矛盾.
所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形.
20）（共13分）
解：
（I）d1d21,d3d43.
（n）（充分性）因为｛a.｝是公差为d的等差数列，且d>0,所以
ai因此Anan,Bnan1,dnanan1d（n1,2,3,L）．
假设｛a.｝（n>2）中存在大于2的项.
设m为满足am2的最小正整数,
则m>2，并且对任意1wkm,akw2.
又因为a12,所以Am12,且Amam2．
于是，BmAmdm211,Bm1min｛am,Bm｝>2.
故dm1Am1Bm1W220，与dm11矛盾.
所以对于任意n>1，有anW2，即非负整数列｛an｝的各项只能为1或2.因为对任意n>1,anw2a1,
所以An2．
故BnAndn211.
因此对于任意正整数n，存在m满足mn，且am1，即数列｛an｝有无穷多项为1.
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